液体压力的计算

液体静力学主要是研究液体静止时的平衡规律及这些规律的应用。液体静止指的是液体内部质点间没有相对运动。如盛装液体的容器，相对地球静止、匀速、匀加速运动都属液体静止。

1．液体静压力

作用在液体上的力有质量力和表面力。质量力有重力和惯性力。

表面力作用在液体表面上，是外力。单位面积上作用的表面力称为应力，有法向应力和切向应力。当液体静止时，液体质点间没有相对运动，不存在摩擦力，所以静止液体的表面力只有法向力。

液体内某点单位面积上所受到的法向力，称为静压力，即

或

p＝F/A 　（2－7）

液体质点间的内聚力很小，不能受拉，只能受压，所以，液体的静压力具有以下两个重要特性：①液体静压力的方向总是作用在内法线方向上；②静止液体内任一点的压力在各个方向上都相等。

【例1－1】 如图2－3所示，液压缸活塞直径为D，输入液压力为p，问产生的总作用力F等于多少？

图2－3 液体静压力作用在活塞上的简图

解 根据液体静压力定义，总作用力F等于液体静压力p与该固体壁面－活塞面积A的乘积，即

2．压力的表示方法及单位

压力的表示方法分为绝对压力和相对压力两种。绝对压力是以绝对真空作为基准所表示的压力；相对压力是以大气压力pa作为基准所表示的压力。

由于大多数测压仪表所测得的压力都是相对压力，故相对压力也称表压力。如果液体中某点处的绝对压力小于大气压，这时，在这个点上的绝对压力比大气压小的那部分数值就称为真空度。

绝对压力、相对压力和真空度的关系为

绝对压力＝相对压力＋大气压力

真空度＝大气压力－绝对压力

绝对压力、相对压力和真空度的关系如图2－4所示。

关于压力的单位，我国法定压力单位为帕斯卡，简称帕，符号为Pa，1Pa＝1N/m2。由于帕（Pa）太小，工程上常用兆帕（MPa）来表示。

压力单位及其他非法定计量单位的换算关系为

1MPa＝106Pa 1bar（巴）≈1kgf/cm2＝105Pa

3．液体静力学基本方程

在重力G作用下，密度为ρ的静止液体受表面压力p0的作用，液体内任一点A处压力是多少呢？

如图2－5所示，取一高度为h的垂直小液柱，其质量FG＝ρghΔA，在平衡状态下，小液柱力平衡方程为

图2－4 绝对压力、相对压力和真空度的关系

图2－5 重力下的静止液体

pΔA＝p0ΔA＋ρghΔA

p＝p0＋ρgh 　（2－8）

式（2－8）即为液体静力学的基本方程。

由液体静力学基本方程可得出如下几点规律。

（1）静止液体内任一点处的压力由两部分组成：一部分是液面上的压力p0；另一部分是ρg与该点离液面的深度h的乘积。当液面上只受大气压力pa作用时，点A处的静压力则为p＝pa＋ρgh。

（2）同一容器中液体的静压力随液体深度h的增加而线性增加。

（3）连通器内同一液体中深度h相同的各点压力都相等。由压力相等的各点组成的面称为等压面。静止液体中的等压面是一个水平面。

4．帕斯卡原理

根据静压力基本方程（p＝p0＋ρgh），盛放在密闭容器内的静止液体，其外加压力p0发生变化时，液体中任一点的压力均将发生同样大小的变化。这就是说，在密闭容器内，施加于静止液体上的压力将以等值同时传到各点。这就是静压传递原理或称帕斯卡原理，p1＝p2。

在液压系统中，液压泵产生的压力远大于液体自重（h小于5m）产生的压力，因此，可认为液压系统中静止液体压力基本相等。

【例2－2】 如图2－6所示，在一个密闭容器内，已知大缸D＝100mm，小缸d＝20mm，大活塞上重物的质量G＝1 000kg，求小活塞上用多大的力F2才可顶起该重物？

解 重物重力为

G＝mg＝1 000×9．8＝9 800N

根据帕斯卡原理，两缸内压力处处相等，于是有F2×πd2/4＝G×πD2/4，得

F2＝392N

5．伯努利方程

十八世纪中叶，瑞士数学家丹尼尔·伯努利发现了伯努利方程。

伯努利方程是能量守恒定律在流动液体中的表现形式。

如图2－7所示，设理想液体作恒定流动，取一流束（流线的集合，某一瞬时，液流中各处质点运动状态的一条条曲线称为流线），截面A1的压力为p1、流速为v1、高度为z1；截面A2的压力为p2、流速为v2、高度为z2，则截面A1和截面A2的单位体积的能量相等，即

图2－6 帕斯卡原理应用

图2－7 伯努利方程

这就是理想液体作恒定流动的伯努利方程。方程中第一项为单位液体体积的压力能p，第二项为单位液体体积的位能ρgz，第三项为单位液体体积的动能ρv2/2，上述三种能量都具有压力单位。

伯努利方程物理意义：在密闭管道内作恒定流动的理想液体具有压力能、位能、动能三种能量，流动时可以互相转换，但总和为一定值。

实际液体需克服由于黏性所引起的摩擦阻力，设因黏性在两断面消耗的能量即能量损失为ρghw。

由于在通流截面上实际速度u是一个变量，若用平均流速v代替，则必然引起动能偏差，故必须引入动能修正系数α，紊流时取α＝1，层流时取α＝2。于是实际液体总流的伯努利方程为

应用伯努利方程计算时注意以下两点：

（1）截面1和截面2应选取顺流（否则ghw为负值），且应选在缓变的断面上，通常将特殊位置的水平面作为基准面；

（2）截面中心在基准面以上时，z取正值，反之取负值。

在液压系统中，若流速不超过6m/s，高度不超过5m，则位能和动能相对压力能来说可忽略不计。

6．液体流动时的压力损失

在液压传动中，能量损失有压力损失和流量损失两种，主要表现为压力损失，就是伯努利方程中的ρghw项。压力损失大，表明系统能量浪费大、效率低，液压能转变为热能，使系统温度升高，所以要尽量减少压力损失。压力损失分为两类：沿程压力损失和局部压力损失。

1）沿程压力损失

液体沿等直径直管流动时因摩擦所产生的能量损失称为沿程压力损失。这种压力损失是由液体流动时的内、外摩擦力所引起的。

如图2－8所示，假设不可压缩液体在水平圆管中作恒流层流动，管中有一定压力，液体重力可忽略不计，圆管半径为R，直径为d。

图2－8 圆管中的流速分布

在管轴上取一半径为r、长度为l的微小流管为研究对象，两端压力为p1、p2，其他液体对该圆管侧面的内摩擦力为F，液体的动力黏度为μ。

推导参考 根据牛顿内摩擦力定律公式（2－3） F＝μAdu/dr＝μ2πrldu/dr

则微小流管的受力平衡方程为 （p1－p2）πr2－μ2πrldu/dr＝0

du＝Δprdr/2μl

对上式积分，当r＝R时，u＝0，得 u＝Δp（R2－r2）/4μl

所以，水平圆管内液体质点在直径方向上的流速呈抛物线规律分布。

在管壁处　r＝R， vmin＝0

在管轴处　r＝0， vmax＝Δp R2/4μl＝

对上式积分，求得通过整个通流截面的流量，即

Δp就是沿程压力损失，记为Δpf，则

式中：d为圆管直径；l为长度；Δp为两端压差；μ为动力黏度。

因为q＝vπd2/4，μ＝ρν，Re＝dv/ν，代入并整理得

式中：λ为沿程阻力系数。λ的理论值为64/Re，水在作层流流动时的实际阻力系数和该理论值是很接近的。由于靠近管壁的液层会冷却等原因，液压油在金属圆管中作层流时，常取λ＝75/Re，在橡胶管中取λ＝80/Re。Δpf与管壁的粗糙度ε无关，也适用于非水平管。

紊流时的沿程压力损失仍用式（2－12）来计算，只是λ值不仅与雷诺数Re有关，而且与管壁表面粗糙度ε有关。对于光滑管，当2 320≤Re＜105时，λ＝0．316 4Re－0．25。

圆管通流截面上的平均流速为

上式与vmax比较可知：液体在水平圆管作恒流层流动时，其中心处的最大流速正好等于其平均流速的两倍，即vmax＝2v。

2）局部压力损失

液体流经弯管、接头、截面突变、阀口及滤网等局部障碍时，液流会产生旋涡，引起油液质点间，以及质点与固体壁面间相互碰撞和剧烈摩擦而产生的压力损失称为局部压力损失。

局部压力损失的计算公式为

式中：ζ为局部阻力系数，一般由实验测得；v为液体的平均流速，一般情况下均指局部阻力出口的流速。

3）管路系统中的总压力损失

管路系统中的总压力损失等于所有直管中的沿程压力损失和局部压力损失之和，即

Δpw＝∑（Δpf＋Δpr） 　（2－15）

实际数值比上式计算出的压力损失要大一些。

液压系统中液压泵的压力pp为

pp＝p缸＋Δpw 　（2－16）

从压力损失的公式中可以看出，减小流速，缩短管道长度，适当增大管径，减少管道截面的突变，提高管道内壁的加工质量，尽量少用阀，都可以减少压力损失。其中流速的影响最大，故流速有限制。