地基最终变形计算

一、任务介绍

地基最终变形是指地基在建筑物荷载作用下达到压缩稳定后地基表面的沉降量，是建筑物地基基础设计的重要内容，是进一步研究地基变形与时间的关系的前提。地基最终变形的计算方法较多，目前常用室内土的压缩指标来进行计算。本任务主要介绍现工程中常用的单向压缩分层总和法、规范法。

二、理论知识

1．单向压缩分层总和法

1）基本假定

单向压缩分层总和法的基本假定条件如下，如图3－5所示。

（1）假设基底压力为线性分布。

（2）附加应力采用弹性理论计算。

（3）只发生铅直向压缩变形，不考虑侧向变形。

（4）将地基分成若干层，认为整个地基的最终沉降量s为各层沉降量si之和。

图3－5 单向压缩分层总和法

2）计算公式

如图3－6所示，在荷载p1作用下，土体已压缩稳定，试样高度为h1，孔隙比为e1，试样截面积为A1。现在荷载由p1增加到p2，荷载增量Δp＝p2－p1，在荷载p2的作用下，土样压缩稳定后的高度为h2，孔隙比为e2，截面积为A2，因为实验是在侧限条件下进行的，故A1＝A2。

图3－6 土的侧限压缩示意图

设压缩前的颗粒体积Vs＝1，则Vv＝e1，V＝1＋e1，试样内颗粒的总体积为

同理，可得压缩后颗粒体积为

在压缩过程中，颗粒不可压缩，因而式（3－12）和（3－13）相等，有

因为h1－h2＝s，所以

如图3－7所示，第i层土层厚度为hi，在自重应力下已压缩稳定，在受到由建筑荷载引起的附加应力后，土层压缩量为si。由于假设土层只发生铅直向压缩变形，不考虑侧向变形，故土样处于侧限条件下，根据式（3－15），可得

图3－7 分层总和法单层土体压缩示意图

式中：e1i——第i层土的自重应力平均值p1i对应的压缩曲线上的孔隙比；

e2i——第i层土的自重应力平均值与附加应力平均值之和p2i对应的压缩曲线上的孔隙比；

hi——第i层土的厚度，m。

其中 　

式中：σczi、σcz（i－1）——第i层土底面、顶面处得自重应力，kPa。

将地基变形计算深度zn范围的土划分为若干个分层，如图3－5所示，按式（3－16）分别计算各分层的压缩量，其总和即为基础最终沉降量。

3）计算步骤

采用分层总和法计算基础最终沉降量时，通常假定地基土压缩时不发生侧向变形，即采用侧限条件下的压缩指标。为了弥补这样计算得到的变形偏小的缺点，通常以基础中心点的沉降代表基础的沉降量。具体的计算步骤如下。

（1）土层分层。

将基础下的土层分为若干薄层，分层的原则是：①不同土层的分界面；②地下水位处；③应保证每薄层内附加应力分布线近似于直线，以便较准确地求出分层内附加应力平均值，一般可采用上薄下厚的方法分层；④每层土的厚度应小于基础宽度的0．4倍。

（2）计算自重应力。

按计算公式计算出铅直自重应力在基础中心点沿深度z的分布，并按一定的比例将其绘于z深度线的左侧。

注意：若开挖基坑后土体不产生回弹，自重应力从地面算起；地下水位以下采用土的浮重度计算。

（3）计算附加应力。

计算附加应力在基底中心点处沿深度z的分布，按一定的比例将其绘于z深度线右侧。

注意：附加应力应从基础底面算起。

（4）确定压缩层深度。

从理论上讲，在无限深度处仍有微小的附加应力，仍能引起地基的变形。考虑到在一定的深度处，附加应力已很小，它对土体的压缩作用已不大，可以忽略不计。因此在实际工程计算中，可采用基底以下某一深度zn作为基础沉降计算的下限深度。工程中常用的确定zn的方法为：①该深度处符合σzn≤0．2σczn的要求；②在高压缩性土层中则要符合σzn≤0．1σczn的要求。

（5）计算各分层的自重应力、附加应力的平均值。

在计算各分层的自重应力平均值与附加应力平均值时，可将薄层底面与顶面的计算值相加除以2（即取算术平均值）。即各分层的自重应力平均值为，附加应力平均值为。

（6）确定各分层压缩前后的孔隙比。

由各分层平均自重应力p1i、平均自重应力与附加自重应力的和p2i在相应的压缩曲线上查得初始孔隙比e1i、压缩稳定后的孔隙比e2i。

（7）计算各分层的压缩量。

（8）计算地基最终变形量。

2．规范法

为了简化分层总和法的计算过程，《建筑地基基础设计规范》（GB 50007—2011）中推荐了一种计算基础最终沉降量的方法，其实质是在分层总和法的基础上，采用平均附加应力的概念，按天然土层界面分层（以简化由于过多分层所引起的繁琐计算），并结合大量工程沉降观测的统计分析，以沉降计算经验系数对地基最终沉降量结果加以修正。

1）计算公式

在侧限条件下，将－Δe＝aΔp，代入式（3－15）得

假设地基是均质的，在侧限条件下土的压缩模量不随深度变化，如图3－8所示，由式（3－18）可知

zi深度范围内土体的变形量为

zi－1深度范围内土体的变形量为

hi＝zi－zi－1范围内土的变形量为

式中：Δpi——zi深度范围内附加应力平均值，kPa；

Δpi－1——zi－1深度范围内附加应力平均值，kPa。

图3－8 规范法的分层示意图

图3－9 平均附加应力系数的物理意义

如图3－9所示，Δpizi为zi深度范围内附加应力面积A1234；Δpi－1zi－1为zi－1深度范围内附加应力面积A1256。令，则有

式中——对应zi、zi－1深度的平均附加应力系数。

计算出相应的附加应力面积后，可制成平均附加应力系数表格（见表3－2、表3－3）供查用。因此，《规范》称此方法为应力面积法。

将Δpi＝αip0，Δpi－1＝αi－1p0代入式（3－21），则有

式中：s′i——第i层土变形量，mm；

Es——土的压缩模量，MPa；

p0——基底附加应力，kPa；——对应zi、zi－1深度的附加应力系数，可查表3－2、表3－3；

zi、zi－1——基础底面至第i层底面和第i－1层底面的距离，m。

对于成层土，式（3－22）可改写为

表3－2 矩形基底铅直均布荷载作用角点下的平均铅直向附加应力系数α

续表

续表

表3－3 矩形基底铅直三角形荷载作用角点下的平均铅直向附加应力系数α

续表

2）计算步骤

（1）确定计算深度zn。

zn应满足由该深度向上取计算厚度Δz（Δz由基础宽度b查表3－4确定）所得的计算变形量Δs′n应小于等于zn深度范围内总的计算变形量s′的2．5％，即应满足下列要求。

表3－4 Δz值表

若zn以下存在软弱土层时，还应向下继续计算，至软弱土层中Δs′n满足式（3－24）为止。

式（3－24）中s′i包括相邻建筑的影响，可按应力叠加原理，采用角点法计算。当无相邻建筑物荷载影响，基础宽度在1～30m范围内时，基础中心点的沉降计算深度可按下式计算。

zn＝b（ 2．5－0．4lnb）　（3－25）

式中：b——基础宽度；

lnb——b的自然对数。

在计算深度范围内存在基岩时，zn可取自基岩表面；若存在较厚的坚硬黏性土，其孔隙比小于0．5且压缩模量大于50MPa时，以及存在较厚的密实砂卵石层其压缩模量大于80MPa时， zn可取自该层土表面。

（2）土层分层。

土层分层的原则是：①不同土层的分界面；②在zn深度向上划分一个验算层，厚度为Δz（其值见表3－3）。

（3）计算各分层的压缩量。

（4）计算地基最终变形量。

（5）验算计算深度zn的取值。

验算是否满足式（3－25），若不满足，计算深度zn应向下继续计算，直至满足为止。

（6）计算地基最终变形量的修正值。

根据大量沉降观测资料与式（3－27）的计算结果比较发现：对于较紧密的地基土，公式计算值较实测沉降值偏大；对于较软弱的地基土，按公式计算得出的沉降值偏小。这是由于在公式推导过程中做了某些假定，有些复杂情况在公式中得不到反映：如使用弹性力学公式计算弹塑性地基土的应力，将三向变形假定为单向变形，非均质土层按均质土层计算等。因此，《规范》对式（3－27）采用乘以经验系数的方法进行修正，即

式中：φs——沉降计算经验系数，可按当地沉降观测资料和经验确定，也可以按表3－5确定。

表3－5 沉降计算经验系数φs

表3－5中，fak为地基承载力特征值（见项目7）；Es为计算沉降计算深度范围内土地压缩模量的当量值，按下式计算

式中：Ai——第i层土平均附加应力系数沿该土层厚度的积分值；

Esi——第i层土的压缩模量，MPa。

三、任务实施

1．用分层总和法计算地基变形

【例3－2】 某建筑物地基中的应力分布及土的压缩试验资料如图3－10和表3－6所示。试计算第二层土的变形量。

图3－10 例3－2应力分布图

表3－6 例3－2土层压缩试验资料

【解】 （1）计算第二层土的自重应力平均值。

（2）计算第二层土的附加应力平均值。

（3）自重应力与附加应力之和。

（4）查压缩曲线求e1、e2。

e1＝0．944， e2＝0．877

（5）计算第二层的变形量。

【例3－3】 如图3－11所示，某柱下独立基础底面尺寸为2．0m×3．0m，基础埋深d＝1．2m，上部荷载F＝1 200kN。地基第一层土厚4m，土的重度γ1＝18kN／m3；第二层土厚6m，土的重度γ2＝16kN／m3；土层压缩资料如表3－7所示。试计算基础中心点的沉降量。

图3－11 例3－3示意图

表3－7 例3－3土层压缩资料

【解】 （1）计算基底附加压力。

（2）土层分层。

分层厚度不超过0．4b＝0．8m，第一层土基底以下厚2．8m，可以分层4层，每层厚度均取0．7m；第二层土分层厚度取0．8m。

（3）列表计算，具体如表3－8所示。

表3－8 例3－3中参数计算

（4）确定压缩层深度。

该题可按σz／σcz＜0．2来确定压缩层深度，在z＝4．4m处，σz／σcz＝26．3／97．6＝0．27＞0．2，在z＝5．2m处，σz／σcz＝19．5／110．1＝0．18＜0．2，所以压缩层深度可取为基底下5．2m处。

（5）计算地基最终变形量。

2．用规范法计算地基变形

【例3－4】 柱荷载F＝1 190kN，基础底面尺寸为2．0m×4．0m，基础埋深d＝1．5m，地基土层如图3－12所示，地基承载力fa＝120kPa，试用规范法计算基础中心点的沉降量。

图3－12 例3－4示意图

【解】 （1）计算基底附加压力。

（2）确定地基沉降计算深度。基础不存在相邻荷载的影响，故可按下式计算。

zn＝b（2．5－0．4lnb）＝2（2．5－ln2）m＝4．445m≈4．5m

此沉降量初步确定计算至粉质黏土层底面。

（3）土层分层。按照分层原则，在黏土层与粉质黏土层分界处分层，同时按照表3－3，Δz取0．3m。

（4）列表计算；具体如表3－9所示。注意查平均附加应力系数表时，表格给出的是均布的矩形荷载角点下的平均附加应力系数，而对于基础的中点来说，应分为四块相同的小面积，查得的平均附加应力系数应乘以4。

表3－9 例3－4中各参数计算

（5）验算计算深度zn取值。sn／∑si＝0．15／6．78＝0．022＜0．025，故取zn＝4．5符合要求。

（6）确定沉降经验系数φs。

有p0≥fa，根据表3－4，可查得φs＝1．2。

（7）计算地基最终变形量修正值。

s＝φs∑si＝1．2×6．78cm＝8．14cm

四、任务小结

最终沉降量的计算，工程中常用的为单向压缩分层总和法、规范法。

1．单向分层总和法

（1）计算公式：　

（2）分层厚度要求： 　hi≤0．4b

（3）压缩层深度一般要求满足： 　σzn≤0．2σczn

2．规范法

（1）计算公式：　

（2）压缩层深度一般要求满足：　

（3）需要对沉降计算值进行修正，沉降计算系数φs取值见表3－4。

五、拓展提高

规范法实质上是一种简化了的分层总和法。由分层总和法计算步骤知道，分层厚度不得大于0．4b，要计算各分层处的自重应力、附加应力及它们的平均值，而压缩性指标也都是随深度变化的，其计算工作量相当大，因此很有必要简化分层总和法。规范法大致从以下几个方面采取了简化措施。

（1）不按0．4b分层，基本上每天然土层就作为一层来计算变形量，省去了分层总和法中压缩性指标随深度变化的麻烦。

（2）采用平均附加应力系数使繁琐的计算工作表格化、简单化。

（3）地基变形计算深度重新作了规定。分层总和法以地基附加应力与自重应力之比为0．2或0．1作为控制标准（简称应力比法），该法已沿用成习，并有相当经验。但它没有考虑到土层的构造与性质，过于强调荷载对压缩层深度的影响，而对于基础大小这一更为重要的因素则重视不足。规范法采用相对变形作为控制标准（简称变形比法），即要求在计算深度处向上取一定厚度土层的计算沉降量不大于计算深度范围内总沉降量的0．025倍。可见，变形比法纠正了应力比法的上述毛病，使之更切合实际。

（4）引入沉降计算经验系数。上述简化措施必然会带来一些误差，再加上分层总和法本身理论上的误差一起，使计算结果与实际情况常有出入。大量沉降观测资料结果表明：当地基土层较密实时，计算沉降值偏大；当土层较软弱时，计算沉降值偏小。为此，规范引入经验系数进行修正，由于该系数是从大量的工程实际沉降观测资料中，经数理统计分析得出的，它综合反映了许多因素的影响，因此，规范法更接近于实际。

由此可见，规范法和分层总和法的基本原理、基本假定是一致的，但计算方法上规范法较为简单、方便，所以在工业与民用建筑的常规设计中，多采用规范法计算基础的最终沉降量。

六、拓展练习

1．基础长4．8m，宽3m，基底附加压力p0＝170kPa，基础底面标高处的土自重应力为20kPa，地基为均质黏土层，γ＝16kN／m3，基底下厚度为1．2m，黏土层下为不可压缩岩层。试计算基础中心点的最终沉降量，本题的土层压缩试验资料见表3－10。

表3－10 习题1土层压缩试验资料

2．某柱下独立基础，底面尺寸为2．0m×2．0m，基础埋深d＝1．2m，上部柱传来的中心荷载F＝500kN，地基表层为粉质黏土，γ＝18．5kN／m3，Es＝5．2MPa，厚度为3．0m，下为岩石。试用规范法计算该柱基中心点的最终沉降量。

3．某柱基础底面尺寸为2．0m×3．0m，基础埋深d＝1．0m，上部荷载F＝1 000kN，地基为均质黏土，重度γ＝18kN／m3，压缩模量Es＝1．5MPa，地基承载力特征值为120kPa。试分别用分层总和法与规范法计算该基础中心点的最终沉降量，本题的土层压缩试验资料见表3－11。

表3－11 习题3土层压缩试验资料