土的抗剪强度与极限平衡理论

一、任务介绍

土的抗剪强度是指土体抵抗剪切破坏的能力，其数值等于土体产生剪切破坏时滑动面上的剪应力。抗剪强度是土的主要力学性质之一，也是土力学的重要组成部分。土体是否达到剪切破坏状态，除了取决于其本身的性质之外，还与它所受到的应力组合密切相关。不同的应力组合会使土体产生不同的力学性质。土体破坏时的应力组合关系称为土体破坏准则。土体的破坏准则是一个十分复杂的问题。到目前为止，还没有一个被人们普遍认为能完全适用于土体的理想的破坏准则。

首先，土的抗剪强度取决于其自身的性质，即土的物质组成、土的结构和土所处于的状态等。土的性质又与它所形成的环境和应力历史等因素有关。其次，土的性质还取决于土当前所受的应力状态。因此，只有深入进行对土的微观结构的详细研究，才能认识到土的抗剪强度的实质。目前，人们已能通过采用电子显微镜，X射线的透视和衍射，差热分析等新技术和新方法来研究土的物质成分、颗粒形状、排列、接触和连接方式等，以便阐明土的抗剪强度的实质。这是近代土力学研究的新领域之一。

二、理论知识

1．库仑定律

在土压力理论的研究中，假定破裂面的形状，依据极限状态下破裂棱体的静力平衡条件来确定土压力，这类土压力理论最初是由法国的库仑（C．A．Coulomb）于1773年提出的，称为库仑理论。

库仑公式表示了土的抗剪强度τf与法向应力σ的关系（见图4－20（a）），具体如下。

τf＝σtanφ 　（4－1a）

式中：τf——砂土的抗剪强度，kN／m2；

σ——砂土试样所受的法向应力，kN／m2；

φ——砂土的内摩擦角。

对于黏性土和粉土而言，τf和σ之间的关系基本上呈一条直线，但是，该直线并不通过原点，而是与纵坐标轴形成一截距c（见图4－2（b）），其方程如下。

τf＝σtanφ＋c 　（4－1b）

式中：c——黏性土或粉土的黏聚力，kN／m2。

图4－2 抗剪强度τf与法向应力σ的关系曲线

由（4－1）式可以看出，砂土的抗剪强度是由法向应力产生的内摩擦力σtanφ（tanφ称为内摩擦系数）形成的；而黏性土和粉土的抗剪强度则是由内摩擦力和黏聚力形成的。在法向应力σ一定的条件下，c和φ值愈大，抗剪强度τf愈大，所以，称c和φ为土的抗剪强度指标，可以通过试验测定。c和φ反映了土体抗剪强度的大小，是土体非常重要的力学性质指标。对于同一种土，在相同的试验条件下，c、φ值为常数，但是，当试验方法不同时，c、φ值则有比较的大差异，这一点应引起足够的重视。

后来，由于土的有效应力原理的研究和发展，人们认识到，只有有效应力的变化才能引起土体强度的变化，因此，又将上述的库仑公式改写为

τf＝c′＋σ′tanφ′＝c′＋（σ－u）tanφ′ 　（4－2）

式中：σ′——土体剪切破裂面上的有效法向应力，kN／m2；

u——土中的超静孔隙水压力，kN／m2；

c′——土的有效黏聚力，kN／m2；

φ′——土的有效内摩擦角。

c′和φ′称为土的有效抗剪强度指标。对于同一种土，c′和φ′的数值在理论上与试验方法无关，应接近于常数。

注意：公式（4－1）称为土的总应力抗剪强度公式，公式（4－2）称为土的有效应力抗剪强度公式，实际应用中应区分开。

莫尔（Mohr，1910）继续库仑的早期研究工作，提出土体的破坏是剪切破坏的理论，认为在破裂面上，法向应力σ与抗剪强度τf之间存在着函数关系，即

τf＝f（σ） 　（4－3）

这个函数所定义的曲线为一条微弯的曲线，称其为莫尔破坏包线或抗剪强度包线，如图4－3所示。如果代表土单元体中某一个面上σ和τ的点落在破坏包线以下，如A点，表明该面上的剪应力τ小于土的抗剪强度τf，土体不会沿该面发生剪切破坏。B点正好落在破坏包线上，表明B点所代表的截面上剪应力等于抗剪强度，土单元体处于临界破坏状态或极限平衡状态。C点落在破坏包线以上，表明土单元体已经破坏。实际上C点所代表的应力状态是不会存在的，因为剪应力τ增加到抗剪强度τf时，不可能再继续增长。

图4－3 莫尔－库仑破坏包线

2．土中某点的应力状态

我们先来研究土体中某点的应力状态，以便求得实用的土体极限平衡条件的表达式。为简单起见，下面仅研究平面问题。

在地基土中任意点取出一个微分单元体，设作用在该微分体上的最大和最小主应力分别为σ1和σ3。而且，微分体内与最大主应力σ1作用平面成任意角度σ的平面m—n上有正应力σ和剪应力τ，如图4－4（a）所示。为了建立σ、τ与σ1、σ3之间的关系，取微分三角形斜面体abc为隔离体，如图4－4（b）所示。将各个应力分别在水平方向和垂直方向上投影，根据静力平衡条件得平面m—n上的应力为

图4－4 土中任一点的应力

图4－5 用莫尔应力圆求正应力和剪应力

由材料力学可知，以上σ、τ与σ1、σ3之间的关系也可以用莫尔应力圆的图解法表示，即在直角坐标系中（见图4－5），以σ为横坐标轴，以τ为纵坐标轴，按一定的比例尺，在σ轴上截取OB＝σ3、OC＝σ1，以O1为圆心，以（σ1－σ3）／2为半径，绘制出一个应力圆。并从O1C开始逆时针旋转2α角，在圆周上得到点A。可以证明，A点的横坐标就是斜面m—n上的正应力σ，而其纵坐标就是剪应力τ。事实上，可以看出，A点的横坐标为

而A点的纵坐标为

上述用图解法求应力所采用的圆通常称为莫尔应力圆。由于莫尔应力圆上点的横坐标表示土中某点在相应斜面上的正应力，纵坐标表示该斜面上的剪应力，所以，可以用莫尔应力圆来研究土中任一点的应力状态。

3．莫尔－库仑破坏准则

为了建立实用的土体极限平衡条件，将土体中某点的莫尔应力圆和土体的抗剪强度与法向应力关系曲线（简称抗剪强度线）画在同一个直角坐标系中（见图4－6），这样，就可以判断土体在这一点上是否达到极限平衡状态。

由前述可知，莫尔应力圆上的每一点的横坐标和纵坐标分别表示土体中某点在相应平面上的正应力σ和剪应力τ，如果莫尔应力圆位于抗剪强度包线的下方（见图4－6中的曲线Ⅰ），即通过该点任一方向的剪应力τ都小于土体的抗剪强度τf，则该点土不会发生剪切破坏，处于弹性平衡状态。若莫尔应力圆恰好与抗剪强度线相切（见图4－6中的曲线Ⅱ），切点为B，则表明切点B所代表的平面上的剪应力τ与抗剪强度τf相等，此时，该点土体处于极限平衡状态。若抗剪强度包线是摩尔应力圆的一条割线（见图4－6中的曲线Ⅲ），说明土中过这一点的某些平面上，剪应力早已超过土的抗剪强度τf，该点已被剪坏。事实上这种应力状态是不可能存在的，因为在任何物体中，产生的任何应力都不可能超过其强度。

图4－6 莫尔应力圆与土的抗剪强度之间的关系

图4－7 无黏性土极限平衡条件推导示意图

根据莫尔应力圆与抗剪强度线相切的几何关系，就可以建立起土体的极限平衡条件。

下面，以图4－7中的几何关系为例，说明如何建立无黏性土的极限平衡条件。

土体达到极限平衡条件时，莫尔应力圆与抗剪强度线相切于B点，延长CB与τ轴交于A点，由图中关系可知

OB＝OA

再由切割定理，可得

σ1σ3＝OB2＝OA2

在△AOC中，有

因此，有

又由于

所以，有

对黏性土和粉土而言，可以类似地推导出其极限平衡条件，为

这可以从图4－8中的几何关系求得：作EO平行BC，通过最小主应力σ3的坐标点A作一圆与EO相切于E点，与σ轴交于I点。

由前面推导可知

下面找出IG与c的关系（G点为最大主应力坐标点）。

由图4－9中角度关系可知△EBD为等腰三角形，ED＝BD＝c，∠DEB＝45°－，则有

图4－8 黏性土与粉土极限平衡条件推导示意图

在△GIF中

而且 　OG＝OI＋IG

所以

同理可以证明

还可以证明

由图4－9中的几何关系可以求得剪切面（破裂面）与大主应力面的夹角关系，因为

2α＝90°＋φ

则　 　（4－13）

即剪切破裂面与大主应力σ1作用平面的夹角为（共轭剪切面）。

由此可见，土与一般连续性材料（如钢、混凝土等）不同，是一种具有内摩擦强度的材料。其剪切破裂面不产生于最大剪应力面，而是与最大剪应力面成的夹角。如果土质均匀，并且试验中能保证试件内部的应力、应变均匀分布，则试件内将会出现两组完全对称的破裂面，如图4－9所示。

图4－9 土的破裂面确定

式（4－10）至式（4－14）都是表示土单元体达到极限平衡时（破坏时）主应力的关系，这就是基于莫尔－库仑理论的破坏准则，也是土体达到极限平衡状态的条件，故而，也称之为极限平衡条件。

理论分析和试验研究表明，在各种破坏理论中，对土最适合的是莫尔－库仑强度理论。归纳总结莫尔－库仑强度理论，可以表述为如下三个要点。

（1）剪切破裂面上，材料的抗剪强度是法向应力的函数，可表示为

τf＝f（σ）

（2）当法向应力不很大时，抗剪强度可以简化为法向应力的线性函数，即表示为库仑公式

τf＝c＋σtanφ

（3）土单元体中，任何一个面上的剪应力大于该面上土体的抗剪强度，土单元体即发生剪切破坏，用莫尔－库仑理论的破坏准则表示，即为式（4－9）和式（4－13）的极限平衡条件。

4．土的极限平衡条件的应用

土的极限平衡条件常用来评判土中某点的平衡状态。

（1）当σ1＜σ1f或σ3＞σ3f时，该点处于稳定平衡状态。

（2）当σ1＝σ1f或σ3＝σ3f时，该点处于极限平衡状态。

（3）当σ1＞σ1f或σ3＜σ3f时，该点处于剪切破坏状态。

利用式（4－10）至式（4－14），已知土单元体实际上所受的应力和土的抗剪强度指标c、φ，可以很容易地判断该土单元体是否产生剪切破坏。

三、任务实施

【例4－1】 一干砂样置入剪切盒中进行直剪试验，剪切盒断面积为60cm2，在砂样上作用一垂直荷载900N，然后作水平剪切，当水平推力达300N时，砂样开始被剪破。试求当垂直荷载为1 800N时，应使用多大的水平推力砂样才能被剪坏？该砂样的内摩擦角为多大？

【解】 由于土样为砂土，有c＝0，则

此时，有

【例4－2】 某土样做直剪试验，当σ＝50kPa，破坏时τf＝60kPa；当σ＝100kPa，破坏时τf＝110kPa。求：（1）该土样的抗剪强度指标c、φ；（2）若为σ＝120kPa，τ＝125kPa作用时，土样是否会破坏？

【解】 （1）由库仑定律 　τf＝c＋σtanφ

解得　c＝10kPa；φ＝45°

（2）当土样上受σ＝120kPa作用时

τf＝c＋σtanφ＝（10＋120×tan45°）kPa＝130kPa＞125kPa

所以土样不会被破坏。

【例4－3】 土样内摩擦角为φ＝23°，黏聚力为c＝18kPa，土中大主应力和小主应力分别为σ1＝300kPa，σ3＝120kPa，试判断该土样是否达到极限平衡状态？

【解】 应用土的极限平衡条件，可得土体处于极限平衡状态。而大主应力σ1＝300kPa时所对应的小主应力计算值σ3f为

计算结果表明σ3＞σ3f，可判定该土样处于稳定平衡状态。上述计算也可以根据实际最小主应力σ3计算σ1f的方法进行。采用应力圆与抗剪强度包络线的相互位置关系来评判的图解法也可以得到相同的结果。

【例4－4】 已知土体中某点所受的最大主应力σ1＝500kN／m2，最小主应力σ3＝200kN／m2。试分别用解析法和图解法计算与最大主应力σ1作用平面成30°角的平面上的正应力σ和剪应力τ。

【解】 （1）解析法。

由公式计算，得

（2）图解法。

按照莫尔应力圆确定其正应力σ和剪应力τ。

绘制直角坐标系，按照比例尺在横坐标上标出σ1＝500kN／m2，σ3＝200kN／m2，以σ1－σ3＝300kN／m2为直径绘圆，从横坐标轴开始，逆时针旋转2α＝60°，在圆周上得到A点，如图4－10所示。以相同的比例尺量得A的横坐标，即σ＝425kN／m2，纵坐标即τ＝130kN／m2。

图4－10 例4－4附图

可见，两种方法得到了相同的正应力σ和剪应力τ，但用解析法计算较为准确，用图解法计算则较为直观。

【例4－5】 设砂土地基中一点的最大主应力σ1＝400kPa，最小主应力σ3＝200kPa，砂土的内摩擦角φ＝25°，黏聚力c＝0。试判断该点是否破坏。

【解】 为加深对本任务内容的理解，以下用多种方法解题。

（1）按某一平面上的剪应力τ和抗剪强度τf的对比来判断。

破坏时土单元中可能出现的破裂面与最大主应力σ1作用面的夹角。因此，作用在与σ1作用面成平面上的法向应力σ1和剪应力τ。

τf＝σtanφ＝257．7×tan25°kPa＝120．2kPa＞τ＝90．6kPa故可判断该点未发生剪切破坏。

（2）

由于σ1f＝492．8kPa＞σ1＝400kPa，故可知该点未发生剪切破坏。

（3）

由于σ3f＝162．8kPa＜σ3＝200kPa，故可知该点未发生剪切破坏。

另外，还可以用图解法，比较莫尔应力圆与抗剪切强度包线的相对位置关系来判断，可以得出同样的结论。

四、任务小结

1．库仑定律

τf＝σtanφ＋c

2．莫尔－库仑强度理论

3．正确判断地基中某点的应力平衡状态（1）σ1＜σ1f或σ3＞σ3f时，为稳定平衡状态。

（2）σ1＝σ1f或σ3＝σ3f时，为极限平衡状态。

（3）σ1＞σ1f或σ3＜σ3f时，为破坏状态。

五、拓展提高

1）土的抗剪强度指标

土的抗剪强度指标与主要影响因素

土的抗剪强度指标c和φ是通过试验得出的，它们的大小反映了土的抗剪强度的高低。tanφ＝f为土的内摩擦系数，σtanφ则为土的内摩擦力，通常由两部分组成。一部分为剪切面上颗粒与颗粒接触面所产生的摩擦力；另一部分则是由颗粒之间的相互嵌入和联锁作用产生的咬合力。黏聚力c是由于黏土颗粒之间的胶结作用，结合水膜以及分子引力作用等形成的，按照库仑定律，对于某一种土，它们是作为常数来使用的。实际上，它们均随试验方法和土样的试验条件等的不同而发生变化，即使是同一种土，φ、c值也不是常数。

2）影响土的抗剪强度的因素

影响土的抗剪强度的因素是多方面的，主要的有以下几个方面。

（1）土粒的矿物成分、形状、颗粒大小与颗粒级配。

土的颗粒越粗，形状越不规则，表面越粗糙，φ越大，内摩擦力越大，抗剪强度也越高。黏土矿物成分不同，其黏聚力也不同。土中含有多种胶合物，可使c增大。

（2）土的密度。

土的初始密度越大，土粒间接触较紧，土粒表面摩擦力和咬合力也越大，剪切试验时需要克服这些土的剪力也越大。黏性土的紧密程度越大，黏聚力c值也越大。

（3）含水量。

土中含水量的多少，对土的抗剪强度的影响十分明显。土中含水量大时，会降低土粒表面上的摩擦力，使土的内摩擦角φ值减小；黏性土含水量增高时，会使结合水膜加厚，因而也就降低了黏聚力。

（4）土体结构的扰动情况。

黏性土的天然结构如果被破坏时，其抗剪强度就会明显下降，因为原状土的抗剪强度高于同密度和含水量的重塑土。所以施工时要注意保持黏性土的天然结构不被破坏，特别是开挖基槽更应保持持力层的原状结构，不应扰动。

图4－11 τ－σ关系曲线

（5）孔隙水压力的影响。

根据有效应力原理，作用于试样剪切面上总应力等于有效应力与孔隙水压力之和，如图4－11所示。孔隙水压力由于作用在土中自由水上，不会产生土粒之间的内摩擦力，只有作用在土的颗粒骨架上的有效应力，才能产生土的内摩擦强度。因此，土的抗剪强度应为有效应力的函数，库仑公式应改为τf＝（σ－u）tanφ′＋c′，然而，在剪切试验中试样内的有效应力（或孔隙水压力）将随剪切前试样的固结程度和剪切中的排水条件而异。因此，同一种土如果试验条件不同，那么，即使剪切面上的总应力相同，也会因土中孔隙水是否排出与排出的程度，亦即有效应力的数值不同，使试验结果的抗剪强度不同。因而在土工工程设计中所需要的强度指标试验方法必须与现场的施工加荷实际相符合。目前，为了近似地模拟土体在现场可能受到的受剪条件，而把剪切试验按固结和排水条件的不同分为不固结不排水剪、固结不排水剪和固结排水剪三种基本试验类型。但是直剪仪的构造却无法做到任意控制土样是否排水。在试验中，可通过采用不同的加荷速率来达到排水控制的要求，即采用快剪、固结快剪和慢剪三种试验方法。

六、拓展练习

1．影响土的抗剪强度的因素有哪些？

2．砂土与黏性土的抗剪强度表达式有何不同？同一土样的抗剪强度是不是一个定值？为什么？

3．已知某地基土的内摩擦角为35°，黏聚力为60kPa，问剪切破坏时的最大主应力为多少？4．已知土的抗剪强度指标c＝20kPa，φ＝22°。若作用在土中某平面上的正应力和剪应力分别为σ＝100kPa，τ＝60．4kPa，问该平面是否会发生剪切破坏？

5．已知一组直剪试验结果见表4－1。

表4－1 习题5直剪试验结果

求：用作图法求此土的抗剪强度指标c、φ值；作用在此土中某平面上的正应力σ＝220kPa，剪应力τ＝100kPa，试问此土是否会被剪切破坏？