结构在外动力pj（t）（j=1到N）作用下的多自由度振动体系的运动微分方程为[8]：
式中，m为质量矩阵；c为结构的阻尼矩阵；k为结构的刚度矩阵；u （t）、
）及
分别为体系的相对位移、相对速度及相对加速度向量。
对式（7-5）两边同乘以
，并对其在整个持时t0内积分得到
式中，
为结构动能Ek；
为阻尼耗能
为结构的应变能ET；ET又包括弹性应变能Es和滞回耗能（非弹性应变能）Ep；
为地震输入能量E。上式又可表示为
Ek+Es+Eξ+Ep=E （7-7）
将结构动能Ek与弹性应变能Es之和定义为结构的弹性振动能Ee[9]，即
Ee=Ek+Es（7-8）
将式（7-8）代入式（7-7）中，则得
Ee+Ep=E-Eζ（7-9）
研究表明，由于结构的塑性变形和其他一些原因，由式（7-9）计算的地震输入能量E与实际情况有较大差异。同时，考虑阻尼耗能Eζ，引入能量修正系数γ，则式（7-9）可表示为[10]：
Ee+Ep=γE （7-10）
上式是基于具有饱满滞回特性的结构体系建立的，如延性钢结构等。对于联肢剪力墙结构，由于其退化的滞回性能和钢筋黏结滑移引起的捏缩效应，使其在强震作用下耗能能力减弱，故应对能量方程（7-10）予以修正。由于不同结构滞回特性的差异仅对结构的非弹性应变能Ep有较大影响，而对弹性振动能Ee和地震输入能E无明显影响，故引入折减系数η对非弹性应变能Ep进行修正。为此，考虑滞回特性的结构能量平衡方程为：
Ee+ηEp=γE （7-11）
其中
η=A1/A2（7-12）
式中，η为滞回耗能折减系数；A1为结构（构件）滞回曲线所包围的面积，A2为与A1对应的饱满滞回曲线所包围的面积，如图7.3所示。对于混凝土结构，可取滞回耗能折减系数η=1/3[11]。
图7.3 滞回耗能折减系数计算示意图
上式中的地震输入能量修正系数γ主要取决于结构的延性系数μΔ和延性折减系数Rμ[12]。图7.4为结构力与变形的关系。图中， OAB线为混凝土联肢剪力墙理想弹塑性力—变形关系，OAG线表示对应的理想弹性体系的力—变形关系。则由图7.4可得
由上式可得能量修正系数γ：
其中
式中，Ve、Δe分别表示弹性体系的基底剪力和侧移；Vy、Δy、Δu分别表示弹塑性体系的基底屈服剪力、屈服侧移和极限侧移（最大容许位移）；Ke表示弹性体系刚度；Rμ表示弹性体系基底剪力（位移）与弹塑性体系的基底屈服剪力（屈服位移）之比，称为延性折减系数。
图7.4 力—变形关系
表7.1 不同周期范围内延性折减系数的取值[14]
注：阻尼比ζ=5%时，T1=0.57sec.，
。
延性折减系数Rμ主要与结构的最大位移延性需求μΔ、自振周期和边界条件有关。Miranda等[13]对多自由度体系中Rμ和μΔ关系的相关研究进行了综述，研究表明，Newmark等[14]提出的Rμ和μΔ的关系较全面地考虑了结构自振周期对延性折减系数Rμ的影响。因此，本章采用Newmark等[14]提出的Rμ和μΔ的关系式，见表7.1所示。
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