正弦量的三要素

大小和方向随时间做有规律变化的电压和电流称为交流电，又称交变电流。正弦交流电是随时间按照正弦函数规律变化的电压和电流。由于交流电的大小和方向都是随时间不断变化的，也就是说，每一瞬间电压（电动势）和电流的数值都不相同，所以在分析和计算交流电路时，必须标明它的正方向。正弦量的瞬时值用小写字母i、u、e表示。以i为例，其波形如图3－1所示。它的表达式可写成式中，幅值Im、角频率ω和初相位ψ称为正弦量的三要素。如果已知这三个量，该正弦量就可以被唯一确定了。

图3－1　正弦电流i的波形

1.幅值（又称最大值、振幅、峰值）

幅值是指正弦量的正的最大值，表示正弦量的变化范围，用带下标m的大写字母表示，如式（3－1）中的Im。电气设备和器件上的击穿电压或绝缘电压指的是电压的最大值。通常电路元件的耐压值要高于电路电压的最大值。

交流电在实际使用中，如果用最大值来计算交流电的电功或电功率并不合适，因为毕竟在一个周期中只有两个瞬间达到这个最大值。为此人们通常用有效值来计算交流电的实际效应。即如果周期电流i通过电阻R在一个周期T内产生的热量，与直流电流I通过同一电阻R在同一周期T内产生的热量相等，则这个直流电流I的数值称为该周期电流的有效值。有效值用大写字母I表示。根据有效值的定义，不难得出正弦电流有效值与幅值的关系为

同理，正弦电压和正弦电动势的有效值：

各种仪表测得的交流电数值也均为有效值，常用有效值计算平均功率。

【例3－1】 电容器的耐压值为250V，问能否用在220V的单相交流电源上？

解　因为220V的单相交流电源为正弦电压，其振幅值为311V，大于其耐压值250V，电容可能被击穿，所以不能接在220V的单相电源上。各种电器件和电气设备的绝缘水平（耐压值）要按最大值考虑。

2.频率

正弦量每秒内重复变化的周期数称为频率，用来表示正弦量变化的快慢。频率用f表示，单位是赫兹（Hz）。我国的工业与民用电采用50Hz作为电力标准频率，又称工频。

正弦量变化一周所需要的时间称为周期，用T表示，单位是秒（s）。

频率f与周期T的关系为

正弦量变化的快慢除了用周期、频率表示外，还可以用角频率ω表示。角频率ω＝（ωt＋ψ），即ω是单位时间内角度（ωt＋ψ）（相位）的变化量，单位为弧度每秒（rad／s）。ω与f和T之间的关系为

3.初相

电流瞬时值表达式中的（ωt＋ψ）称为正弦量的相位角，简称相位或相角。它用来表示正弦量随时间变化的进程。当t＝0时，此时的相位ωt＋ψ＝ψ，称为正弦量的初相位，简称初相。

初相的单位为弧度（rad），有时为方便也用度（°），习惯上把初相的取值范围规定为｜ψ｜≤π。初相的正负和大小与计时起点的选择有关，如图3－2所示。由图可知，初相为正值的正弦量，在t＝0时的值为正，离坐标原点最近的零值点在坐标原点之左；初相为负值的正弦量，在t＝0时的值为负，离坐标原点最近的零值点在坐标原点之右。

图3－2　计时起点的选择

在正弦交流电路中，有时要比较两个同频率正弦量的相位。两个同频率正弦量相位之差称为相位差。用φ表示。设

u＝Umsin（ωt＋ψu）

i＝Imsin（ωt＋ψi）

则电压与电流的相位差为

即两个同频率正弦量的相位差在任何时刻都是常数，等于它们的初相差。规定φ的取值范围是｜φ｜≤π。

如图3－3所示，若φ＞0，表明ψu＞ψi，则u比i先达到最大值，称u超前于i一个相位角φ，或者说i滞后于u一个相位角φ。

图3－3　正弦量的相位关系

若φ＜0，表明ψu＜ψi，则u比i先达到最大值，称u滞后于i（i超前于u）一个相位角φ。

若φ＝0，表明ψu＝ψi，则称u与i同相。其特点是：两个正弦量同时达到正最大值，或同时过零值。

若φ＝±，称u与i正交。其特点是：当一个正弦量的值达到最大时，另一个正弦量刚好为零。

若φ＝±π，则称u与i相位反相。其特点是：当一个正弦量的值达到最大时，另一个正弦量刚好是负的最大值。

注意：

（1）同频率的正弦量的相位差与计时起点的选择无关。计时起点不同，各同频率正弦量的初相不同，但它们之间的相位差是不变的。在本教材中谈到的相位差都是指同频率之间的相位差。

（2）在正弦交流电路中，常常需要分析计算相位差，而对正弦量的初相考虑不多，因此正弦量的计时起点可以任意选择。为了方便，在选择计时起点时，往往使得电路中某一正弦量的初相为零，该正弦量称为参考正弦量，在一个电路中只允许选择一个参考正弦量。

【例3－2】 在选定的参考方向下，已知两正弦量的解析式为u＝200sin（314t＋200°）V，i＝－5sin（314t＋30°）A，试求两个正弦量的三要素。

解　（1）u＝200sin（314t＋200°）＝200sin（314t－160°）V

故电压的最大值Um＝200V，角频率ω＝314rad／s，初相φu＝－160°。

（2）i＝－5sin（314t＋30°）＝5sin（314t＋30°－180°）＝5sin（314t－150°）A

故电流的最大值Im＝5A，角频率ω＝314rad／s，初相φi＝－150°。