有导体存在时的电磁波

这一节讨论有导体存在时电磁波的传播。通过上一节的讨论，我们已经知道，电磁波在真空和在无损耗的理想介质中传播时不衰减。但是，导体内存在大量自由电子，自由电子在电磁场作用下形成电流，电流的Joule热消耗电磁波的能量，因此，导体内的电磁波是衰减波。由于电磁波在导体内的传播是时变电磁场与自由电子相互作用的过程，我们从分析导体内自由电荷的分布开始，然后求解存在传导电流的麦克斯韦电磁场方程组，进而分析有导体存在时电磁波的传播特点。

1.导体内自由电荷的分布

我们知道，处于静电场中的导体的内部不带电，电荷只能分布在导体表面。在时变电场中是否也是这样呢？

设导体内部某处的自由电荷密度为ρ，这时电荷的电场强度为E，于是有

在电场E作用下，导体内应存在传导电流j，按照欧姆定律，j＝σE，于是得

这表示自由电荷密度为ρ的地方有电荷流出，而ρ的变化服从电荷守恒定律：

积分上式，得

其中，ρ0为初始电荷密度。通常，将电荷密度ρ衰减到的时间称为电荷密度衰减的特征时间，记作τ＝。所以，只要电磁波的频率ω≪τ－1，即

就可以认为ρ（t）＝0。式（2.2.1）称为良导体条件。一般金属导体的τ的数量级为10－17s。因此，只要电磁波的频率满足式（2.2.1），一般金属导体都可以被看作良导体，其内部不带电，电荷只能分布在导体表面。

2.导体内的电磁波

设在导体内部ρ＝0，j＝σE，Maxwell方程组是

对一定频率的电磁波，D＝εE，B＝μH，于是有

定义导体的复电容率为

则式（2.2.2）中的第二式可写成

于是，式（2.2.2）就与电介质中的Maxwell方程组（2.1.14）在数学形式上相同。因此，只要把电介质中电磁波的表示式中的ε换成ε′，就得到导体内的电磁波解。显而易见，复电容率的物理意义是：实部ε与位移电流相联系，它不耗散电磁波能量，而虚部σ／ω与传导电流相联系，它耗散电磁波能量。如果考虑到电介质对电磁波能量的耗散，电介质的电容率也是复数，其虚部与电磁波能量的耗散有关。

所以，对于一定频率的电磁波，与电介质内的Helmhotz方程（2.1.15）对应的导体内的Helmhotz方程是

其中，

式（2.2.4）的满足条件∇·E＝0的解表示导体内可能存在的电磁波。求得E后，可由式（2.2.2）第一式得到磁场H。式（2.2.4）也有平面波解：

由式（2.2.5）可知，波矢k是一个复数。令k＝α－iβ，上式变为

这表明波矢k的实部α描述波的相位变化，称为相位常数，而虚部β描述振幅的衰减，称为衰减常数。根据式（2.2.5），有

于是有

注意，一般地说，α和β的方向不一定相同。例如，如图2.1.5所示，取导体表面为xy平面，电磁波沿z轴正方向垂直入射到导体内部，k0为导体外空间的入射波矢，k为导体内的透射波矢，入射面为xz平面。按照边值关系（2.1.35），有

由于导体外空间的波矢k0为实数，得αx＝kx，βx＝0，即β垂直于导体表面。这样，就可由式（2.2.7）解出α和β。

3.趋肤效应和穿透深度

由于式（2.2.6）的波解含有衰减因子，电磁波只能透入导体表面附近的一个薄层内。因此，电磁波主要是在导体以外的空间或介质中传播，而导体表面则被看成传播区域的边界。在导体表面上，电磁波与导体上的自由电荷相互作用，形成表面电流，电流的存在使电磁波的能量部分被反射，部分变为Joule热。

为简便起见，考虑前述电磁波沿z轴正方向垂直入射到导体上，取导体表面为xy平面。这时，式（2.2.6）简化为

由式（2.2.7）解得

对于良导体≫1，于是有

波振幅衰减到初始值的1／e时的透射距离称为穿透深度，记作δ，于是得

例如，铜的σ约为5×107sm－1，若电磁波频率为50Hz，δ约为0.9cm；若频率为100MHz，δ约为0.7×10－3cm。可见，对于高频电磁波，电磁波和相应的电流的确只存在于导体表面附近的一个薄层内。这种现象称为趋肤效应。

由式（2.2.2）第一式可得

其中，n是导体表面xy平面的指向导体内部的法线。

4.电磁波在导体表面的反射

与讨论电磁波在介质表面的反射和折射一样，应用边值关系也可以讨论电磁波在导体表面的反射和折射。由于电磁波垂直入射到导体表面时计算比较简单且已能说明电磁波在介质表面的反射和折射的基本特点，我们只讨论电磁波垂直入射到导体表面时的反射和折射。如图2.1.7（a）所示，当电磁波垂直入射到导体表面时，电磁场的边值关系是

对于良导体，利用关系式和式（2.2.12），并取μ≈μ将式（2.2.13）第二式0写成

联立式（2.2.14）与式（2.2.13）第一式，解得

反射能流与入射能流的比称为反射系数，记作R。由上式得

式（2.2.15）说明，电导率σ越高，反射系数越接近于1。这已被实验证实。例如，波长为1.2×10－5m的红外线垂直入射到铜表面时的反射系数R＝1－0.016。因此，对于可见光、微波和无线电波，可近似地把金属的反射系数看作1。当电导率σ→∞时，反射系数等于1，这种导体称为理想导体。