光孤子传输

所谓孤子，从数学意义上说，就是非线性场方程的局域不弥散解。从物理意义上说，就是在传播过程中保持其形状不变的孤立波包。如7.3节所说，非线性光纤中可以产生光孤子，它就是非线性薛定谔方程（7.3.17）的一个不弥散解，或者说是形状不变的脉冲。由于光孤子在传播过程中形状不变，若用之作为信息载体，有望从根本上克服色散对光纤通信容量的制约，所以，对光孤子传输的研究一直是光纤光学的热点。

1.孤子方程和孤子解

如7.3节所述，光信号脉冲包络的传播方程（7.3.17）是一个非线性薛定谔方程。若忽略光纤损耗，式（7.3.17）可写成

其中，“±”号在β2＞0时取“＋”，在β2＜0时取“－”，而

LD和LNL分别是单模光纤的色散长度和非线性长度。设β2＜0，即在反常色散区考虑光脉冲的传播，并做变换

可将式（7.5.1）写成

式（7.5.4）称为孤子方程。扎哈罗夫等人用所谓逆散射方法求解孤子方程，得到了孤子解。为简便起见，这里不去讨论逆散射方法，而直接假设式（7.5.4）有孤子解。按照孤子的定义，孤子脉冲在传播过程中保持形状不变，也就是说，无论在时域或频域，在z＝0处的脉冲包络与在z＝L处的脉冲包络除了一个与时间τ无关的相移外是一样的，即可将孤子解写成

其中，V（τ）是与归一化坐标ξ无关的脉冲包络函数，φ（ξ）是只与坐标ξ有关的相移因子。将式（7.5.5）代入式（7.5.4），得

上式左边只是时间τ的函数，右边只是坐标ξ的函数，两边应等于一个常数，设为K。注意到脉冲包络函数V（τ）是实函数，于是有

和

式（7.7.6）的解是

对式（7.7.7）两边同乘以2（dV／dτ），得

积分，得

由于V（τ）是脉冲包络函数，τ＝0是脉冲顶点，当τ→∞时，V→0，dV／dτ→0，因此，积分常数c＝0。再假设包络函数是归一化的，即当τ＝0时，V＝1，dV／dτ＝0，据此可得K＝1／2。于是有φ（ξ）＝

注意到τ＝0是脉冲顶点，于是有。做变换V＝sint，则dV＝cos tdt，上式变成

或

利用三角函数关系，可得

于是得到基态孤子解：

也就是说，只有双曲正割脉冲在N＝1条件下在传播过程中保持脉冲形状不变。

条件N＝1即为

因此，当双曲正割脉冲宽度给定时，其峰值功率是

其中，TF＝1.70T0是脉冲半高全宽。对于常规单模光纤，在1.55μm波段，若脉冲宽度在1ps左右，要形成基态孤子，其脉冲峰值功率为数瓦，但当脉冲宽度在10ps左右时，要形成基态孤子，其脉冲峰值功率仅为数十毫瓦。若采用色散系数为－1ps2／km的色散位移光纤，对于10ps宽的脉冲，要形成基态孤子，仅需几毫瓦脉冲峰值功率，这完全可以由半导体激光器产生。

若在输入端给光纤输入的双曲正割脉冲的幅度不为1，而是2，3等正整数，即

则光纤中产生的是高阶孤子。高阶孤子解必须用求解非线性薛定谔方程的一般方法，即逆散射方法才能得到。下面直接给出N＝2的二阶孤子解：

不难看出，二阶孤子的脉冲包络2是以ξ0＝为周期的周期函数，即当ξ0＝时，二阶孤子恢复其初始形状。三阶及其以上高阶孤子的表示式更为复杂，但共同特点是都以ξ0＝为周期。变回实验室坐标系，高阶孤子的周期是

2.暗孤子

如上所说，在反常色散区，如果一个初始形状为双曲正割的光脉冲的峰值功率满足式（7.7.7），将形成基态孤子。这是一个暗背景下的亮脉冲，故称为亮孤子。在正常色散（β2＞0）区，不可能形成亮孤子，但可以形成暗孤子，即亮背景下的暗点。当β2＞0时，用得到式（7.5.4）的方法，由式（7.5.1）得孤子方程

与亮孤子的讨论相似，设式（7.5.14）有形如

的解，其中K是一个常数。将式（7.5.15）代入式（7.5.14），得

式（7.516）的通解是

其中，

积分常数A0表示背景的亮度，称为背景亮度参数；积分常数B表示暗孤子中心的亮度，称为暗孤子的黑度参数，且B≤1。方程（7.5.17）描述一个暗孤子族。如果B＝1，则式（7.5.17）为

可见，B＝1的暗孤子中心（τ＝0）处的强度等于零，即其中心是全“黑”的，故称为黑孤子。当B＜1时，暗孤子脉冲中心处强度不等于零，故称为灰孤子。在式（7.5.17）中，若A0＝1，B＝1，则得到基态暗孤子

也就是说，若给正常色散光纤输入一个满足N＝1的中心全黑（也叫中心凹陷）的双曲正切脉冲，则其在传播中形状不变。近年来的数值仿真表明，暗孤子在存在噪声和光纤损耗时展宽得更慢。由于暗孤子的这些优异的传输特性，使其在光通信中可能具有巨大的潜在价值，从而成了研究的热点。

3.基态光孤子的传播特性

虽然基态光孤子作为信息的可能载体具有优异的特性，但真正要使它成为传输信息的工具，还必须对光孤子的传输特性进行深入的研究。这主要包括以下几个方面。

（1）孤子的稳定性

由前面的讨论可知，形成孤子的条件是很苛刻的。输入的脉冲必须是双曲正割形，峰值功率和脉冲宽度必须满足N＝1的条件。那么，如果在实际传播过程中这些条件出现一些偏差，会发生什么情况？也就是说，若偏差一出现，孤子脉冲就远离理想状态，不再是孤子，则孤子是不稳定的。若当偏差出现时，孤子脉冲会自己调整形状保持理想状态，则孤子是稳定的。只有稳定的孤子才能成为传输信息的工具。

孤子脉冲偏离理想状态的演化问题可以用微扰法求解，但计算过程冗长。计算结果表明，当脉冲参数不满足理想孤子条件时，脉冲在光纤中传播时会自动调整自己的宽度形成孤子，即孤子是稳定的。说明如下。

首先，如果孤子脉冲的能量不严格满足N＝1，2等条件，可将其表示为一个整数N′与一个小量ε的和：

这相当于给光纤输入了一个如下的脉冲：

脉冲宽度为

对于基态孤子，N′＝1。当ε＜0时脉冲变宽，当ε＞0时脉冲变窄。如果N≤1／2，即ε＜－1／2，则不可能形成孤子，当ε＞1／2时，基态孤子转化为二阶孤子。

如果脉冲的形状不是双曲正割的，例如，是高斯脉冲，可在给定初始条件u（0，τ）＝下用数值法求解孤子方程，如在7.3节中已解得N＝1时高斯脉冲在反常色散光纤中的演化情况，如图7.3.4所示。由图可见，脉冲在传播过程中变宽，其形状向双曲正割形演变。计算表明，约在z＝5LD时，高斯脉冲在N＝1条件下演变为孤子脉冲。其他形状的脉冲，如超高斯脉冲也有类似的演变过程。

由上述可知，当孤子形成的条件有偏差时，脉冲在传播过程中会向孤子态演变，也就是说，孤子对微扰是稳定的。尽管如此，当将孤子作为信息载体输入光纤时，还是应尽量使其接近理想形状。这是因为，在孤子从非理想状态向理想状态演变过程中，初始脉冲的部分能量将被耗散掉。

（2）光纤的损耗

基态光孤子是光纤中的色散和非线性在一定条件下相互平衡形成的。要维持孤子特性，其峰值功率应保持不变；否则，孤子脉冲峰值功率将按照指数规律下降，这将使孤子在传播过程中发生形变。在有损耗情形下，与式（7.5.1）不同的是，非线性薛定谔方程有一个损耗项：

做变换

上式变为

其中，Γ＝L称为归一化的衰减系数。若Γ是一个弱微扰，即损耗很小，式（7.5.23）仍D可用逆散射法求解。在输入脉冲是孤子u（0，τ）＝sec h（τ）时，式（7.5.23）的一阶近似解是

其中，

这说明有损耗时，被输入的理想孤子脉冲的幅度按指数规律衰减，而脉冲宽度是

即脉冲宽度按指数规律展宽。但是，这种按指数规律的展宽不会持续很长的距离，因为当z较大时，脉宽将按照线性色散条件下的线性规律展宽。数值分析表明，当αz≪1时，式（7.5.21）是比较符合实验结果的。图7.5.1给出了有损耗时孤子脉冲在光纤中的展宽随传播距离的变化情况。图中也给出了只考虑色散的线性展宽，以及用微扰法得到的近似结果和用数值法得到的结果。图中的结果是在Γ＝0.035条件下计算的。对于典型单模光纤，在1.55μm波段，取α＝0.046／km（0.2dB／km），则LD＝1.5km。取β＝－20ps2／km，则其脉冲初始宽度在5.5ps左右。从图中可见，当Γξ＜0.7时，微扰法得到的近似结果是很精确的。尽管脉冲宽度按指数规律展宽，但由于αz较小，其展宽速度远低于不考虑非线性时的线性展宽。

图7.5.1　基态孤子在有损耗光纤中的脉冲展宽

为补偿光纤损耗引起的孤子脉冲展宽，必须在传播过程中为孤子脉冲补充能量，以恢复其脉冲形状。目前，由于光放大技术已趋成熟，为孤子脉冲补充能量在技术上已无问题。用光放大器放大光孤子脉冲，可以采用拉曼光纤放大器，也可以采用掺铒光纤放大器。

（3）孤子的相互作用

前面的讨论都是就单个孤子脉冲而言的，作为信息的载体还必须考虑相邻的孤子脉冲的相互作用。理论和实验都已证实，相邻的孤子脉冲存在相互作用。这种相互作用对通信系统是非常重要的，因为它决定相邻孤子脉冲之间允许的距离，从而决定了通信系统的传输速率。

设在光纤输入端输入归一化时间间隔为q0的一对孤子脉冲：

其中，r是两孤子的相对幅度，θ是相对相位。由于两孤子脉冲中心之间的实际时间间隔是2q0T0，或者说脉冲的重复周期是TB＝2q0T0，系统的比特速率是

将式（7.5.26）的一对孤子脉冲代入孤子方程式（7.5.4），用数值解法可得到孤子对在传播过程中的相互作用。理论研究表明，这种相互作用不仅与孤子对的初始间隔q0有关，还与它的相对幅度r和相对相位θ有关。当r＝1，θ＝0且q0≫1时，在传播过程中它们的相对间隔q（ξ）满足下面的关系：

这表明孤子对之间的相对间隔q（ξ）是一个周期函数，其周期为

式（7.5.29）在q0＞3是相当好的近似。

为克服孤子脉冲的相互作用对通信系统的影响，条件L≪Zp＝Z0eq0必须满足。这里的L是传输距离，Z0＝πLD／2是孤子周期。当取较大的q0时，条件是不难满足的。例如，当q0＝10时，Zp＝2 200Z0。如此大的孤子相互作用周期使孤子之间的相互作用完全可以被忽略。除取较大的间隔外，另一种减小孤子相互作用的方法是选择适当的相对幅度r和适当的相对相位θ。研究结果表明，若取r＝1.1，q0≥4，孤子之间的距离在一个周期内的变化不超过10%。采用这种技术可以有效地提高孤子通信系统的传输距离。