砂井地基固结度的计算

4.3.2　砂井地基固结度的计算

固结度计算是砂井地基设计中的一个很重要内容。通过固结度计算可推算地基强度的增长、确定适应地基强度增长的加荷计划。如果已知各级荷载下不同时间的固结度，就可推算各个时间的沉降量。固结度与砂井布置、排水边界、固结时间、地基固结系数等有关，计算之前，要先确定有关参数。

现有砂井地基的固结理论通常假设荷载是瞬时施加的，所以先行介绍瞬时加荷条件下固结度的计算，然后根据实际加荷工程进行修正计算。

1）瞬时加荷条件下砂井地基固结度的计算

砂井地基固结度的计算是建立在太沙基固结理论和巴伦固结理论基础上的。如果软黏土层是单面排水的，则每个砂井的渗透途径如图4.8（c）所示。在一定压力作用下，土层中的固结渗流水沿径向和竖向流动，所以砂井地基属于三维固结轴对称问题。若以圆柱坐标表示，设任意点（r，z）处的孔隙水压力为u，则固结微分方程为：

当水平向渗透系数k_H和竖向渗透系数k_V不等时，则上式应改写为

式中：t——时间；

　c_V——竖向固结系数：c_V＝

　c_H——径向固结系数（或称水平向固结系数）：c_H＝

砂井固结理论中作如下假设：

①每个砂井的有效影响范围为一圆柱体；

②砂井地基表面受连续均布荷载作用，地基中附加应力分布不随深度而变化，故地基土仅产生竖向的压密变形；

③土体完全饱和，荷载是一次施加上去的，加荷开始时外荷载全部由孔隙水压力负担；

④在整个压密过程中，地基土的渗透系数是常数；

⑤井壁土面受砂井施工所引起的涂抹作用的影响不计。

式（4.14）可用分离变量法求解，即可分解为

亦即分为竖向固结和径向固结两个微分方程。根据起始条件和边界条件对上两式分别解得竖向排水的孔隙水压力分量u_z和向内径向排水固结的孔隙水压力分量u_r。根据卡里罗理论证明：任意一点的孔隙水压力u有如下关系：

式中：u₀——起始的孔隙水压力。

整个砂井影响范围内土柱体平均孔隙水压力也有同样的关系：

或以固结度表达为

式中：——每一个砂井影响范围内圆柱的平均固结度；

　——径向排水的平均固结度；

　——竖向排水的平均固结度。

（1）竖向排水的平均固结度

对于土层为双面排水条件或土层中的附加压力为平均分布时，某一时间竖向固结度的计算公式为

当＞30%时，可采用下式计算：

式中：m——正奇整数（1，3，5，…）；

　——竖向排水平均固结度（%）；

　T_V——竖向固结时间因数（无因次）；

　t——固结时间（s）；

　H——土层的竖向排水距离（cm），双面排水时H为土层厚度的一半，单面排水时H为土层厚度。

根据不同的边界条件可绘出－T_V关系曲线，如图4.9和图4.10所示。计算时将已知的固结系数c_V、固结时间t、排水距离H代入式（4.19）后求得T_V，根据边界条件查图4.9或图4.10或表4.5即可求得

图4.9　双面排水条件下和T_V关系

图4.10　各种边界条件下和T_V关系

表4.5　和T_V关系

续表4.5

注：σ＝排水面压力／不排水面压力。

（2）径向排水平均固结度

巴伦曾分别在自由应变和等应变两种条件下求得的解答，但以等应变求解比较简单，其结果为

式中：T_H——径向固结的时间因数，无量纲：

　

　d_e——每一个砂井有效影响范围的直径；

　F——与n有关的系数：

　n——井径比：n＝

d_w——砂井直径。

F与n的关系见表4.6。

表4.6　F与n的关系

当知道径向固结系数c_H、固结时间t、砂井间距l和砂井直径d_w后，就可算出时间因素T_H和井径比n，根据T_H和n查图4.11或表4.7可得到相应的径向固结度

图4.11　径向固结度与时间因数T_H及井径比n的关系

表4.7　和T_H、n的关系

续表4.7

（3）总固结度

将式（4.20）和式（4.21）代入式（4.17）后，则得＞30%时的砂井地基平均固结度为

当砂井间距较密或软土层很厚或c_H》c_V时，对竖向平均固结度的影响很小，常可忽略不计，可只考虑径向固结度计算作为砂井地基平均固结度。

考虑井阻和涂抹作用时，地基平均固结度可按以下简化解进行计算：

式中：β_rz＝

地基平均固结度的简化解为

式中：G——井阻因子；

　S——涂抹比，砂井涂抹后的直径d_s与砂井直径d_w之比；

　n——井径比；

　k_w、k_H、k_S——分别为砂井砂、地基土和砂井涂抹土层的渗透系数；

　H——砂井的长度。

涂抹土层的渗透系数k_S也可以由室内重塑土的渗透试验测定，涂抹区的范围需大致估计。

图4.12　砂井未穿透整个受压土层的情况

（4）砂井未穿透整个受压土层平均固结度计算

如图4.12所示，在实际工程中，往往遇到软土层较厚，而砂井又没有穿透整个受压土层的情况。在这种情况下，固结度计算可分为两部分：砂井深度范围内地基的平均固结度按式（4.24）计算。为简化计，砂井以下部分的受压土层可按竖向固结度式（4.20）计算（假定砂井底面为一排水面），整个压缩土层的平均固结度按下式计算：

式中——砂井部分土层的平均固结度；

——砂井以下部分土层平均固结度；

Q——砂井打入深度与整个压缩层厚度的比值，即

H₁、H₂——分别为砂井长度及砂井以下压缩层范围内土层的厚度。

瞬时加荷条件下，固结度的通用计算公式可表示为＝1－αe^－βt。

不同条件下固结度的计算公式汇总于表4.8。

表4.8　不同条件下的固结度计算公式

续表4.8

2）逐渐加荷条件下地基固结度的计算

以上计算固结度的理论公式都假设荷载是一次瞬间加足的。实际工程中，荷载总是分级逐渐施加的。因此，根据上述理论方法求得的固结时间关系或沉降时间关系都必须加以修正。修正的方法有改进的太沙基法和改进的高木俊介法。

（1）改进的太沙基法

对于分级加荷的情况，太沙基的修正方法是假定：

①每一级荷载增量p_i所引起的固结过程是单独进行的，与上一级荷载增量所引起的固结度无关；

②总固结度等于各级荷载增量作用下固结度的叠加；

③每一级荷载增量p_i在等速加荷经过时间t的固结度与在t／2时的瞬时加荷的固结度相同，也即计算固结的时间为t／2；

④在加荷停止以后，在恒载作用期间的固结度，即时间t大于T_i（此处T_i为p_i的加载期）时的固结度和在T_i／2时瞬时加荷p_i后经过的时间（t－T_i／2）的固结度相同；

⑤所算得的固结度仅是对本级荷载而言的，对总荷载还要按荷载的比例进行修正。

图4.13为二级等速加荷的情况。图中实线是按瞬时加荷条件用太沙基理论计算的地基固结过程（U_t－t）关系曲线；虚线表示二级等速加荷条件的修正固结过程曲线。

图4.13　二级等速与瞬时加荷的固结过程

图4.14　二级等速加荷过程

现以二级等速加荷为例，计算对最终荷载p而言的平均固结度

（图4.14），可由下列公

式计算：

当t＜T₁时

当T₁＜t＜T₂时

当T₂＜t＜T₃时

当t＞T₃时

对多级等速加荷，可依此类推，并归纳如下式：

式中：——多级等速加荷，t时刻修正后的平均固结度；

　——瞬间加荷条件的平均固结度；

　T_n－1、T_n——分别为每级等速加荷的起点和终点时间（从时间零点起算），当计算某一级荷载加荷期间t时刻的固结度时，则T_n改为t；

Δp_n——第n级荷载增量，如计算加荷过程中某一时刻t的固结度时，则用该时刻相对应的荷载增量。

（2）改进的高木俊介法

该法是根据巴伦理论，考虑变速加荷使砂井地基在辐射向和垂直向排水条件下推导出砂井地基平均固结度的，其特点是不需要求得瞬时加荷条件下地基固结度，而是可直接求得修正后的平均固结度。修正后的平均固结度为

式中——t时刻多级荷载等速加荷修正后的平均固结度（%）；

∑Δp——各级荷载的累计值；

——第n级荷载的平均加荷速率（kPa／d）；

T_n－1、T_n——分别为各级等速加荷的起点和终点时间（从时间零点起算），当计算某一级等速加荷过程中时间t的固结度时，则T_n改为t；

α——8／π²；

β——见式（4.25）。

3）设计中需要注意的几个问题

（1）关于固结系数

固结系数是计算土层固结的最基本参数。工程上所关心的是c_V、c_H以及它们的比值大小。因为c_H与垂直压缩性和水平渗透有关，且控制进入排水井的径向水流，因此，该参数的确定具有重要意义。工程实践表明，预压处理的黏性土层，大多具有层状特征，且黏土层间往往夹有薄层粉土，因此黏性土层的水平向渗透系数远大于竖直向渗透系数，有时可大几个数量级，一般来说，c_H为1～10 c_V。试验室做常规固结试验时，其排水过程与水平层理正交，所得到的固结系数远低于现场平均固结系数，且比现场要小，其结果是用实验室所得的固结系数进行砂井设计，砂井间距比实际需要小得多。因此，有条件时最好现场测定固结系数，可采用现场多功能CPTU测试系统准确地测定现场c_H；现场实际施工过程中，也可根据沉降观测和孔隙水压力量测来反算固结系数。

c_V、c_H值与固结压力密切有关。设计时常采用相应预压荷载压力范围的c_V、c_H平均值来计算土层的固结速率，这将会低估预压初期的固结速率。另外，土体的应力历史是一个很重要的因数，因为低于前期固结压力的固结系数比高于前期固结压力的固结系数高得多，因此正确确定前期固结压力随深度的变化是相当重要的，固结过程的分析必须区分低于和高于前期固结压力两部分。

（2）关于纵向通水量

图4.15　通水量与侧向固结压力的关系试验结果^［8］

根据试验结果，水流在塑料排水带沟槽中的流动并不符合达西定律，因此不应采用渗透系数来评定塑料排水带的排水功能，而采用纵向通水量。一般来说，纵向通水量越大，竖井的井阻越小。影响纵向通水量的因数主要有以下几方面：①芯带的过水断面。②侧向压力：侧向压力增大，通水量减小（图4.15），侧向压力一定时，通水量随时间而减小。其原因是侧向压力使滤膜嵌进芯带槽中以及滤膜蠕变导致过水断面减小。③施工或地基变形引起塑料排水带的弯曲、扭、折曲等的影响，会使水流阻力增大，从而使通水量减小。④滤膜蠕变的影响：室内长期试验表明，由于滤膜的蠕变变形，纵向通水量随时间明显减小。⑤细颗粒可能堵塞部分排水通道，而影响通水量。⑥水力梯度影响：水力梯度越高，通水量越大等。

（3）关于涂抹作用

当采用底端封闭的套管以挤土方式施工砂井，井管的打入会对周围土发生扰动，井管还会对井壁发生涂抹作用，形成涂抹区。土的扰动程度取决于套管大小、形状和土的结构特征等。涂抹作用的研究需要确定涂抹区范围和涂抹作用对渗透性的影响程度。①涂抹作用的范围：不少研究者得出涂抹区直径约为砂井直径2倍的结论（Holtz等，1973；Akagi，1976；Bergado等，1992），不少工程测试结果分析表明，涂抹区直径约为排水板当量直径的3倍；②对渗透性的影响：Jamiolkowski（1985）根据试验资料，提出未扰动水平向渗透系数k_h与涂抹区土水平向渗透系数k_s之比k_h／k_s为1.5～2.0。实际上，涂抹区大小和渗透系数影响的确定是较困难的，可采用室内模拟试验，现场试验以及反分析方法进行研究。涂抹作用对土的固结速率有较大影响，涂抹区直径越大、涂抹区渗透系数越小，土层固结速率越慢。

（4）关于井阻作用

砂井中的砂料对渗流有阻力，会产生水头损失，从而减小通水量。井阻因子G是影响竖向排水体地基固结效果的一个主要因数，井阻因子愈小，固结效果愈好。当G＜0.1时，井阻对固结的影响甚小，接近于理想井的固结效果，可以忽略井阻的影响；当G＝1时，井阻对固结的影响显著增大，明显降低地基的固结度；当G＞1时，严重影响地基的固结效果，趋于无排水体的地基。竖井的井阻大小主要取决于竖井的长度和q_w／k_h的大小，q_w为通水量，k_h为未扰动土水平向渗透系数。如以砂井地基径向固结度达到U_r＝90%为标准，考虑井阻影响（不考虑涂抹作用）和理想井的时间因子之比T_h90（r）／T_h90（i）与q_w／k_h的关系见图4.16^［14］，图中n为井径比。因此，当竖井长度一定，土层一定，则井阻大小主要取决于竖井本身的纵向通水量大小，图4.16亦表明，当通水量足够高时，井阻很小。一般情况下，如砂井深度在20m以内，土层水平渗透系数小于2× 10^－7cm／s，则在排水井通水量不小于150m³／a的情况下，井阻对固结速率的影响不大。

图4.16　井阻对土层固结速率的影响^［14］