7.3 工期—资源优化
制定一项工程计划，必须考虑资源（劳动力、原材料、设备等）的供应情况。因此，在形成计划初始方案后，必须对其资源需求情况进行评价。如果资源需求脱节，则必须对计划中的某些项目进行调整，以满足可能的资源供应条件，并且尽量少延长、最好不延长工期；如果资源供应有保证，但需求分布不均衡，则应利用非关键工作的时差，在时差范围内调整某些工作项目的工作时间，以改善整个计划的资源需求分布情况。这就是网络计划工期—资源优化要解决的两类问题。前一类问题，称为资源有限—工期最短优化；后一类问题，称为工期固定—资源均衡优化。
7.3.1 资源有限—I期最短优化
1.基本概念
（1）资源需用量曲线。
设某工程项目需要S种不同的物资资源，在某时间t，工作i→j需要第K种资源的数量为
，同一时间（t）需要第K种资源的工作共有H（t）个，则该项目在时间t需要第K种资源的数量为
。若项目总工期为T，则：
（7-4）
定义为第K种资源的资源需用量强度曲线，简称资源需用量曲线。
由于项目中每个工作对某种资源的需用量强度在一定时间内是相对不变的，因此，资源需用量曲线多为由若干段水平直线组成的锯状图形。图7-10为某工程项目的网络计划和相应的劳动力资源需用量曲线。
图7-10 某项目网络计划和劳动力资源统计
（2）资源有限——工期最短优化的基本思想和基本方法。
①按最早时间安排计划，统计各种资源需用量，绘制资源需用量曲线图。
②逐时段检查需用量与可能的供应量情况，若在时间t发现第K种资源：BK（t）＞AK（t），应将部分工作后移。
③工作后移应按一定程序进行，其目的是使这种后移对工期的影响最小。
由于问题的复杂性，目前尚无一种普遍适用的求解最优解方法，只能求近似最优解。常用的求解方法有RSM法和编号法。限于篇幅，本书只介绍RSM法，并且只讨论S＝1的情况。
2.RSM法
（1）RSM法的原理。
RSM（Resource Schedu1ing Method）法是在资源供应受到一定限制的条件下，通过分析网络中各工作后移对工期的影响情况，重新安排相关的工作项目，解决资源冲突，并使工期增加最少。
假定P、Q、R是某工程计划中的三项工作，其工作参数及初始计划安排见表7-3。
表7-3 工作参数及初始计划安排表
这三项工作在整个计划中的位置如图7-11所示。图中表示的是P、Q、R三项工作的局部进度关系，各项工作均按最早开始时间安排进度。如果施工中只能为这三项工作提供两台起重机，那么，从图7-42中可看出，在第10和第11这两天将发生起重机这种资源的冲突，因为在这两天期间，按原计划安排共需三台起重机。
图7-11 网络计划的资源冲突
如何解决这个冲突呢？当然，本例中只要将任何一项工作推迟到另外任一两项工作之一的后面开工就行了。问题是，推迟哪一个才会使工期不延长或者延长最少呢？是将P放在Q的后面？还是将P放在R的后面？或是其他？
为了确定最优安排的法则，我们分析工作后移对工期的影响。
假设将R放在P的后面（图7-11的空白框形横道），则工期将会增长，其工期增值ΔTPK可由下式计算：
ΔTPR＝EFR－LFR＝(EFP＋DR）－LFR （7-5）
式中：DR为工作R的持续时间。
因为 LFR－DR＝LSR，
所以 ΔTPR＝ EFP－LSR。 （7-6）
考虑将上式化为普遍应用的通式，假设是将工作J安排在另一工作I的后面，则工期增加值的通式为：
ΔTIJ＝EFI－LSI （7-7）
显然，要使ΔTIJ最小，就必须选择EF值最小的工作安排在前面，而选择LS值最大的工作安排在后面。如果同时进行的工作都具有相同的EF和LS值，则任意安排均为最优解。如果工期增值计算为零或负值，表明不延长工期就可以解决资源的冲突。
现在再以上述安排工作P、Q、R的问题为例，从表7-3可以看到，EF值最小的工作为工作Q（EFQ＝11），工作R的LS值最大（LSR＝10），所以把工作R放在Q的后面是最优解。此时的工期增加值为：
ΔTQR＝EFQ－LSR＝11－10＝1（d）
进行这样的调整以后，应当重新检查网络图中相应工作的逻辑关系，必要时加以适当修正。此外，还应当重新计算出各项工作的ES、EF、LS、LF等时间参数值。
应当指出，如果由外部调入资源所增加的费用，低于通过调整某些工作、延长工期来解决资源冲突所增加的费用，则应考虑采用调入资源的方案的可能性与合理性。
（2）RSM法计算步骤。
①计算网络计划时间参数，按ET绘制时标网络图，统计资源需用量；
②检查网络计划，确定是否存在资源冲突；
③调整有资源冲突的时段内的某些工作，按RSM法调整：找出该时段内LS最大的工作和EF最小的工作；取LS最大的工作的开始时间为EFmin；
④绘制调整后网络计划，并重新计算时间参数，绘制时标网络图和统计资源需用量；
⑤将增加资源所需的费用重新调整计划增加工期所引起的损失作比较，以确定是经济方案。
7.3.2 工期固定—资源均衡优化
连续、均衡、紧凑地安排施工活动，是施工组织的一项基本原则。网络计划的工期固定—资源均衡优化就是在不改变工期的条件下，利用各非关键工作的时差合理调整某些工作的开工日期，以达到资源消耗尽可能均衡的目的。
1.资源均衡的判定标准
资源数量在计划期内的分布状态用资源需用量曲线表示。很显然，最理想的状态就是让资源需用量曲线保持为一条水平线。但这在实际上是不可能的，资源需用量曲线总是围绕这条平均水平线上下波动。从曲线的表征形态看，波动的幅度越大就说明资源需用量越是不均衡，反之才是越均衡。但是，在资源均衡优化中需要定量地分析波动幅度的大小。常用的两个定量分析方法是方差标准和极差（或离差）标准，相应地有最小方差法和削峰法两种不同的资源均衡优化方法。
（1）方差标准。
方差σ2反映整个工期内资源消耗量偏离平均消耗量的程度。
（7-8）
式中：R（t）—在瞬时t需要的某种资源数量；
Rm—资源需用量的平均值，
；T—工期。
（2）极差标准。
极差H反映工期内最大资源消耗量偏离平均消耗量的程度。
（7-9）
涉及多种资源的网络计划资源均衡优化问题是相当复杂的，目前还没有一种能实际应用的最优化方法。上述对应于方差标准和极差标准的最小方差法和削峰法都是带经验性的优化，方法j只能求出近似最优解，但这也毫不妨碍它们在实际工程中的应用。
限于篇幅，本书仅介绍单种资源均衡优化的最小方差法。
2.最小方差法
（1）原理。
由式（7-9），资源需用量曲线的方差为：
（7-10）
由于资源需用量曲线一般都为阶梯状（如图7-23所示），则有：
（7-11）
式中：Rn为第n天所需资源数量，n＝1，2…T。
下面分析工作移动对平方和的影响。
由式（7-10）和（7-11）可知，要使方差σ2最小，也就是应使平方和
最小。
如图7-13，设工作K-L在时段（i，j）进行，也就是工作K-L是在第i＋1天开始，在第j天结束。资源需用量曲线在第i＋1天的强度为Ri＋1，在第j＋1天的强度为Rj＋1，工作K-L所需资源强度为rK-L。
图7-12 资源需用量曲线
图7-13 工作移动对资源需用量曲线的影响
先考虑工作K-L后移1天的情形：
若工作后移1天，则第i＋1天的资源需用量减少rk-1（因为K-L已移出第i＋1天），第j＋1天的资源需用量将增加rk-1，即：
（7-12）
（7-13）
其他各天资源需用量没有变化。
这样，资源需用量平方和ε1的变化值为：
（7-14）
令 Δ＋Rj+1－Ri+1＋rK-L （7-15）
由式（7-14）和式（7-15）可知，若Δ1＜0，∑Rn就会减少。这说明将工作K-L后移一天能使σ2减少，从而资源分配更加均衡。在这种情况下就应将工作K-L后移一天。
然后，用同样的方法继续考虑工作K-L是否还能再向后移一天，如果能再后移就再移一天，如此继续下去直到时差用完为止。
若在分析过程中出现Δ1＞0的情况，就表明工作K-L不宜右移一天，那么就应考虑能否将K-L后移2天（在时差范围内）。
若工作K-L后移2天，同理可分析出平方和∑Rn的变化为：
ε2＝2rK-L（Δ1＋Δ2） （ 7-16）
这时，如果Δ1＋Δ2＜0，则工作K-L就可后移2天。反之，就不能后移2天，而应继续考虑工作K-L能否后移3天……如此继续下去，直至受工作时差的约束而不允许移动为止，这样K-L工作就处理完毕了。
按上述原则一个工作接着一个工作进行处理，直至处理完所有工作即完成一个循环。
（2）计算步骤。
①计算网络时间参数，找出关键线路，绘制时标网络计划及资源需用量曲线。
②按事件最早时间由迟向早的顺序，自后向前对非关键工作逐个进行分析，决定是否后移。
ⅰ.对工作K-L：计算Δ1＝Rj+1－Ri+1＋rK-L。
若Δ1≤0，右移一天，
继续考虑再移动一天的情况；
反之Δ1＞0，则不移。
ⅱ.Δ1＞0时，计算Δ1＋Δ2＝（Rj+1－Ri+1＋rK-L）＋（Rj+2－Ri+2＋rK-L）。
若Δ1＋Δ2≤0，右移2天，
继续考虑移动一天和两天的情况；
反之Δ1＋Δ2＞0，则不移。
如此进行，直至K-L不能移动或不宜移动为止。
③每个工作移动完毕后，重新计算时间参数，重作时标网络计划和相应的资源需用量曲线，然后考察下一个工作。
④所有能移动且宜移动的非关键工作都移动完毕后，即完成一个循环。第一个循环完成后，然后再进行第二循环的调整，直至所有工作都不能或不宜移动为止。
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