三相交流电路

子模块三　三相交流电路

第二子模块分析的交流电路是单相交流电路，单相交流电路的最大不足是发电机及传输导线等的利用率较低。此外，传输单相交流电时需要两条电缆，而传输三相功率时，大部分情况下只用三条电缆即可，最多只要四条电缆就可以了。因此，在电力生产、传输、分配和使用方面，最广泛采用的是三相交流电。

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电力传输技术的发展

1885年英国工程师菲尔安基设计的第一座交流单相发电站建成发电。这座电站建在距伦敦12km的捷伯特弗尔得，发电机功率为1 000kW，电压高达2 500V，经变压后升高到10 000V向伦敦输送，经过几次变压输入用户时为100V。1888年由费朗蒂（1864—1930）设计，建设在泰晤士河畔的伦敦大型交流发电站开始输电，其输出电压高达10 000V，经两级变压输送到用户。1894年俄罗斯建成了当时最大的单相交流发电站，其功率为800kW，由四台蒸汽机提供动力发电。1892年法国建成了第一座三相交流发电站，把交流发电站的发展向前推进了一步。随后，美国于1893年建成了第一座三相交流发电站，并于1895年建成了尼亚加拉5 000马力的交流水电站。

一、三相交流电压和电势

要使三相交流电路能够工作，必须提供三相交流电源。三相交流电源是由三相交流发电机产生并提供三相交流电势的。三相交流电势向三相交流负载提供三相交流电压和三相交流电流。三相交流电势、三相交流输电线路和三相交流负载构成三相交流电路。

（一）三相对称电势的产生

所谓三相对称电势是指：幅值大小相等、频率相同、各自的相位差也相等（在空间互差120°电角度）的三个正弦交流电势，采用波形表示法可表示为如图1.82所示的波形。三相电势是由三相交流发电机产生的。为了说明三相交流电动势的产生，我们先来看其结构模型。

三相交流发电机的结构模型如图1.83所示。发电机由定子和转子两部分组成，在定子铁芯中嵌有三相对称线圈（常称为绕组，绕组就是按照一定规律连接起来的线圈组）；转子是由磁极构成的（通常采用在转子铁芯上套入线圈，称为励磁线圈，然后在励磁线圈中通入直流电流，从而产生磁极所需的磁场）。

图1.82　三相对称电动势波形

假设用一块板将发电机定子的上半部切除，其三相定子绕组的其中一槽的线圈部分，如图中加粗的线条所示。假设再用一块板将发电机从径向切下，可以得到发电机的横截面。在横截面中发电机的定子绕组导线用小圆圈表示，磁极就在定子的内圈中旋转。

如图1.83所示的磁极以顺时针方向旋转时，其磁力线将分别切割定子铁芯中的三相绕组。若定子绕组为三相对称绕组（绕组的匝数、连接规律及其他各种参数完全一样，且在空间各相差120°电角度），则随着转子的旋转，在定子三相绕组上将产生如图1.82所示的三相对称交流电势。

图1.83　三相交流发电机结构模型

三相对称绕组通常以A、B和C区别，三相绕组共有九根引出线，每相绕组各有两根引出线，分别为：AX为A相，BY为B相，CZ为C相。转子磁极旋转时，三相对称绕组产生的三相对称交流电动势的瞬时值可以用数学表达式表示为：

也可采用正弦相量表示的方法表示：

图1.84　三相对称电势相量图

图1.84所示的是三相对称电势的相量图，由图可见，若将三个对称的三相电势相加，其相量和为零。由图1.82所示的波形图中我们也可看到，对于任意的ω t，三相电势的代数和也为零。这还可由式（1.3.1）三相对称正弦电势的瞬时值得到验证：由于在三角函数运算关系中存在如下关系式：

　　sinω t+sin(ω t−120°)+sin(ω t+120°)=0

所以，任何时刻三相对称电势之和恒为零：

　　e_A+e_B+e_C=E_m[sinω t+sin(ω t−120°)+sin(ω t+120°)]=0　　　　　　　　　　　（1.3.3）

通过上面分析，我们可以得到结论：对称三相正弦交流电势任意时刻的瞬时值恒等于零，采用相量表示时，其相量和也为零。

由于发电机的定子绕组是三相对称绕组，若发电机设计和安装工艺良好，每相绕组所交链的磁通也相等，因此每相绕组产生电势幅值大小相等，都是E_m。若发电机设计和安装工艺不良，每相绕组所交链的磁通不等，每相绕组产生电势幅值大小就不相等。此时产生的电势就不是对称电势。此外，如果制造工艺粗糙，使三相绕组在空间不严格对称，每相绕组产生的电势相位就不是互差120°电角度，此时的三相电势也不是对称电势。对于不对称电势，式（1.3.3）就不一定成立了。

三相不对称电势可以通过数学方法分解后再进行分析，但是较麻烦。为了简便起见，下面的分析过程，暂时都只考虑三相对称电势的情况。

想一想　　三个正弦交流电动势满足什么特征时称为对称三相电动势？

若交流发电机转子的转向发生改变（由图1.83中所示的顺时针旋转变为逆时针旋转），则交流发电机定子绕组感应的电势相位将发生变化，原来电势相位超前的绕组产生的电势相位将变成滞后；原来电势相位滞后的绕组产生的电势相位将变成超前。

因此，对于三相交流发电机产生的三相交流电势，存在着哪一相绕组的电势相位超前的问题，也就是常说的“相序”问题。所谓三相交流电的相序就是指三相交流电出现正的幅值的顺序（或出现一个周期相应点出现的顺序）。

当图1.83所示的发电机的转子磁极顺时针方向旋转时，转子磁极的N极将轮流经过标有AZBXCY的线圈边。A相绕组（AX线圈）上感应的电势首先由零开始上升，然后达到最大值，之后再下降；当A相绕组电势AE的相位为120°时，B相绕组（BY线圈）上感应的电势才由零开始上升、达到最大值、下降；接着才轮到C相绕组（CZ线圈）的电势由零上升、达到最大值、下降。这时该发电机的相序是A→B→C→A。由图1.82所示的波形图也可得到相同的结论。若图1.83所示的发电机的转子磁极逆时针方向旋转，转子磁极的N极将轮流经过标有AYCXBZ的线圈边。电势出现正最大值的相绕组为A相→C相→B相→A相，此时发电机的相序为A→C→B→A。

通常将A→B→C→A的相序称为正相序，将A→C→B→A的相序称为负相序。正相序表示A相超前B相120°，B相超前C相120°，C相又超前A相120°。在电气工程中，若无特别说明，一般都采用正相序。

在电气识图的相关国家标准中，不同的场合相序的代号也不一样。对于三相交流电源线路，相序的标号为L₁→L₂→L₃；对于三相动力引出线的接线端子，相序的标号为U→V→W。L₁L₂L₃和UVW一般也都是以正相序表示。

想一想　　三相对称交流电存在几种相序？分别是什么？

（二）三相电源的连接形式

三相交流发电机其三相对称交流绕组产生三个对称正弦电势，若将这三个绕组按不同的方式进行连接，就得到不同的三相正弦交流电源。

将三相绕组的三个首端A、B和C用连接导线引出，作为三相绕组输出的接线端子，称为三相交流发电机的三根相线。将三相绕组另外的三个末端X、Y、Z连接起来作为一个端子N，作为三相绕组的公共端，也称为三相交流发电机的中性点，与N连接的导线称为中线或零线，如图1.85所示。图1.85（a）的连接形式，称为三相电源带中线的星形连接。图1.85（b）的连接形式，则称为不带中线的三相星形连接。

三相发电机每个绕组产生的电势称为相电势，三个相电势就是三相绕组的三根相线与中线之间的电势。三个相电势的正方向为从N指向三相绕组的三个首端。三相绕组的三根相线之间的电势称为线电势，线电势的正方向从下标在后的相线指向下标在前的相线，如为由B相的相线指向A相的相线。三个相电势与三个线电势的相位关系如图1.86所示。由图1.86可见，比超前30°。由图1.86所示的相量图关系还可以得出三相对称线电势的幅值是三相对称相电势幅值的倍，即：

图1.85　三相电源的星形连接

（a）带中线；（b）不带中线

图1.86　三相电势相量图

三相电源较多采用带中线的星形连接方式，因为带中线的星形连接方式既可以提供三相对称相电势，也可以提供三相对称线电势。而不带中线的星形连接方式只能提供三相对称线电势，不能提供三相对称相电势。三相交流发电机的三相绕组还可能有三个单相单独供电连接和三角形连接等两种连接方式。三个单相单独供电连接时，发电机三个相绕组通过其六条引出线向外部电路供电，由于供电线路多，既浪费材料、增加损耗与故障，也不利于管理。所以三相单独连接供电方式只用于小型、有特殊要求的局部供电场合。由于三相交流发电机的三角形连接方式没有中性点，对于负载不平衡的三相电路，将导致三相电压不平衡，有时甚至是严重的不平衡。考虑到发电机所带的负载可能出现的不平衡等问题，除了个别情况外，三相交流发电机一般不采用三角形连接。三角形连接的接线方式通常只用在三相变压器的接线方式中。三相电源的三角形连接的接线方式如图1.87所示。

图1.87　三角形连接的电源

想一想　　船舶同步发电机发出对称三相交流电源，其结构是星形连接还是三角形连接？

（三）三相交流电的电压

有了三相对称交流电源就可向外部电路提供三相对称交流电压，如1.88（a）所示。应该注意的是：在交流电路中，电量的实际方向是时时刻刻在变化的，因而电量的正方向其实已经与在直流电路中所指定的正方向概念有所不同。

在直流电路中，电源向外提供电能时，其电势的实际方向与电流的实际方向一致，电源两端电压的实际方向与电势的实际方向相反。在直流电路中，正方向与实际方向之间，只存在相同和相反两种情况。但是，在交流电路中，电量实际方向与其正方向之间的关系，不仅存在相同（同相位）和相反（相差180°或 π 弧度，称为反相）这两种情况的时刻，而且相位差可以在0°～360°的范围内任意变化，因此电量之间的相位存在着无数种不同差别，实际方向与正方向就不可能再如直流电路那样只有同相或反向的差别了。所以在交流电路中，电量的实际方向很难简单地采用相同或相反来表示。

因此，在交流电路中，电量的方向都采用参考正方向来表示。虽然参考正方向可任意选择，但是对于电源，习惯上电流与电势的正方向相同，电压与电势的正方向相反。对于负载，电压与电流的正方向相同。

如图1.88（a）所示，三相交流电压正方向与对应的三相交流电势正方向相反。三相绕组三根相线与中线的电压称为三相相电压，三根相线之间的电压称为三相线电压。三相线电压与相电压存在如下关系：

由于它们都是同频率的正弦电量，可采用相量和表示为：

三相相电压和线电压的相量图如图1.88（b）所示。由图可见，在三相交流电中，线电压超前于相电压30°。且三相对称线电压的幅值是三相对称相电压幅值的倍，即：

图1.88　三相电压

（a）相电压与线电压；（b）相量图

交流发电机发出对称的三相正弦交流电势，向负载提供对称的三相正弦交流电压。采用带中线的星形连接（通常称为三相四线制）供电时，可以向负载提供两种电压，即：线电压和相电压。

在我国，日常生活和生产中广泛使用的三相交流电的电压等级有380V和220V两种。

由于式（1.3.7）的关系，若线电压为380V，则相电压为220V，因为：

因此，380V和220V这两种电压等级可同时由一台带中线连接的交流发电机或变压器提供。380V电压一般用于向拖动生产机械的电动机等动力设备供电，常称为动力用电源电压；220V一般用于向照明灯具、家用电器或小型设备供电，常称为生活用电源电压（或照明电压）。

资料卡

船舶三相电源电压

目前，国产船舶或陆地上常用的三相电源相电压为220V，线电压为380V，而美国、日本等一些国家的船舶相电压为254V、线电压为440V，有些大型船舶采用的中压电压达到3 300V或更高。

练一练

若将相电压为220V的对称三相电源连成三角形连接，则三角形环路电流为。

二、三相负载

为了配合三相正弦交流电源供电，负载也应该是三相连接负载。三相负载的连接形式有两种：星形连接和三角形连接。

（一）三相负载概述

三相交流电可带的负载是各种各样的。这些负载，根据其结构的不同可分为单相负载和三相负载，根据负载的用途不同可分为动力负载、照明负载及各种小型电器负载等。

动力负载通常是三相负载，其用电功率较大。动力负载主要是用于拖动各种生产机械工作的三相交流电动机，电动机本身具有三相交流绕组，既可以作星形连接，也可以作三角形连接，如图1.89所示。

三相交流电动机一般无中线，容量较大三相交流电动机正常工作时（除起动外），一般采用三角形连接。在小型三相交流电动机中，有时其铭牌上标有额定电压及连接形式为：220V/380V，/△。其含义是：电动机每相绕组的额定电压为220V，当采用星形（）连接时，可直接与AC 380V的线电压进行连接；若采用三角形（△）连接，则应该将AC 380V的线电压降低为220V才能与电动机进行连接。

图1.89　三相交流电动机负载

（a）星形连接；（b）三角形连接

单相负载与电源的连接形式主要根据其额定电压确定，额定电压为AC 220V的单相负载与电源的相电压连接，额定电压为AC 380V的单相负载则与电源的线电压连接。照明负载通常为单相负载，其额定电压一般为AC 220V，与电源的相电压连接。因此，照明负载要求电源是带中线的连接形式，即三相四线制供电的交流电源。

单相负载与三相电源连接时，通常要求将负载分为功率相当的三部分负载，然后再分别与电源的三个相电压进行连接，以确保电源三相的尽可能平均。例如，有一栋六层的大楼，其用电负载都是单相负载，这栋楼采用三相四线制供电的线路连接，如图1.90所示。

其他单相负载与电源的连接主要视负载本身的额定电压而定。一般负载在设计制造时根据电路参数及采用的绝缘材料的不同都规定有额定电压。对于额定电压为AC 220V的单相负载，其线路连接与照明线路的连接一样，接电源的相电压；对于额定电压为AC 380V的单相负载，其线路连接则应接电源的线电压；若单相负载的额定电压不是这两种电压等级，则应该采用变压器将电源电压进行变换，然后才能与负载进行连接。

图1.90　照明负载接线

想一想　　船舶上采用的是不带中线的三相三线制的供电方式，照明负载如何连接？

（二）三相负载的星形连接

三个单相负载各取一端连在一起，成为一个负载中性点N′，另外三个端子与电源三根相线连接时称为三相负载星形连接，如图1.91所示。从其接线的外观看，三相负载星形连接很像字母“Y”，因此又称为Y连接。

图1.91　三相负载星形连接

（a）带中线的星形连接；（b）不带中线的星形连接

三相负载星形连接时，又分为带中线与不带中线两种。如图1.91（a）所示的为带中线的三相负载星形连接，这种供电方式称为三相四线制供电方式。三相四线制供电方式常用于对由三路单相负载组成的三相负载的供电。如图1.91（b）所示的为不带中性线的三相负载星形连接，这种供电方式称为三相三线制供电方式。三相三线制供电方式常用于对如三相交流电动机等独立组成完整三相对称负载的供电，此时三相交流电源只通过三条相线向电动机供电（船舶上常采用此供电方式）。

三相交流电向三相负载供电时，将有三相交流电流流过三相负载。流过每相负载的电流称为相电流，通常用“P”作为相电流的下标；在每根相线上通过的电流称为线电流，通常用“L”作为线电流的下标。对于星形连接的三相负载，相电流等于线电流，即：

　　I_L=I_P　　　　　　　　　（1.3.8）

根据欧姆定律，三相负载阻抗的端电压与流过负载阻抗的电流之间的关系，即相电压与相电流之间的关系为：

用有效值表示为：

　　I_A=U_A/|Z_A|，I_B=U_B/|Z_B|，I_C=U_C/|Z_C| （1.3.10）

各相负载阻抗的幅角就是各相电压与各相电流之间的相位差，分别为：

若三相负载的参数完全一致，即：Z_A=Z_B=Z_B（幅值与幅角都分别相等），称为三相星形连接对称负载，此时各相电压有效值相等，各相电流有效值也相等。同时，线电压的幅值仍然是相电压幅值的倍。

当电源为三相对称正弦交流电源，负载为三相星形连接对称负载时，由于电源中性点与负载中性点电位相等：U_N=U_N′，中线电流I_NN′=0，不管是三相三线制还是三相四线制，对于负载中性点N′，运用基尔霍夫电流定律∑i=0，有：

当三相负载不对称或三相电源不对称时，各相电压有效值将不相等，各相电流有效值也不相等，对于三相三线制供电的星形连接不对称负载，由于没有中线，式（1.3.12）仍然成立。但是对于三相四线制，由于三相电流的幅值不相等，式（1.3.12）不成立，I_NN′= ，即中线存在电流。

想一想　　三相对称负载应满足什么条件？

（三）三相负载的三角形连接

将每相负载的一端与另一相负载的一端相连接，即可组成如图1.92所示的三角形连接的三相负载。有时用符号△表示三角形，则三角形连接表示为：△连接。

对于三角形连接的三相负载，由于每相负载与电源的两根相线相连，因此相电压等于线电压，即：

　　U_L=U_P　　　　　　　　（1.3.13）

图1.92　三相负载三角形连接

根据欧姆定律，各相电流等于相电压与各相负载阻抗的比值，即：各相电压与电流之间存在的相位差等于对应相负载阻抗的幅角，分别为：

φ_AB=arctan(X_AB/R_AB)，φ_BC=arctan(X_BC/R_BC)，φ_CA=arctan(X_CA/R_CA) （1.3.15）对于三相对称负载，|Z_AB|=|Z_BC|=|Z_CA|，若三相电源对称，则三相电流也对称：幅值相等，幅角互差120°电角度，由如图1.93所示。从相量图可以得到：线电流的幅值等于相电流幅值的倍，即：

图1.93　△连接的电流

三相负载三角形连接属于三相三线制的供电方式，若将整个负载用闭合曲面包围起来，应用欧姆定律，可以得到三相线电流之和为零，即：

　　i_A+i_B+i_C=0　　　　　　　　　（1.3.17）

不管负载是否对称，式（1.3.17）都能成立，用电流的相量和表示为：

三相交流电动机正常运行时，其三相交流绕组经常采用三角形连接。由于电动机三相绕组通常为对称绕组，所以此时三相交流电动机就是三角形连接的三相对称负载。应该注意的是：三角形连接时，相电压等于线电压，因此，一般照明负载若不通过变压器进行降压，不能采用三角形接法直接与AC 380V的电连接。

想一想　　当三相对称负载的额定电压等于三相电源的线电压时，负载应该怎么连接？

三、三相交流电路的电压与电流计算

在三相交流电路中，主要的计算问题是实际供电线路的问题，这种线路绝大多数是与电网单独并联的电路，在多数情况下个别电路的电流对电网的电压不造成影响，因此计算相对简单。

三相交流电路的计算主要是电压、电流及其负载阻抗的计算，可以分为两个方面：对称负载电路和非对称负载电路的计算。

（一）三相对称交流电路的计算

在三相对称交流电路中，各相阻抗幅值和幅角相同，各相电压、电流的幅值相等，因此只需对其中任何一相电路进行计算，其结果完全足以说明另外两相的情况。下面仅举例进行说明。

［例1.3.1］有一台三相交流电动机，采用△连接接在AC 380V的三相对称交流电网，若其在额定状态下运行时每相绕组阻抗相等，为Z=20+j15Ω，试求：（1）电动机的相电流和线电流；（2）相电压与相电流的相位差和电动机的功率因数cosφ。

解：（1）求电动机相电流和线电流。因为△连接，相电压等于线电压，所以其相电流I_P为：

（2）求相电压与相电流的相位差φ。根据式（1.3.15）有：

　　φ =arctan(X/R)=arctan(15/20)=arctan(0.75)=36.87°

由于三相负载对称，每相的功率因数就是电动机的功率因数cosφ，即：

　　cosφ =cos36.87°=0.8

答：电动机的相电流为15.2A，线电流为26.3A，相电流滞后于相电压36.87°，电动机的功率因数为0.8。

［例1.3.2］有一台三相交流电动机，连接，已知其每相绕组的额定电压为AC 220V，额定电流为23.5A，功率因数为0.8，试求每相绕组的等效阻抗Z=R+jX。

解：因为cosφ =0.8，tanφ =0.75，X=0.75R，每相阻抗|Z|=220/23.5=9.36（Ω），而：

所以：R=|Z|/1.25=9.36/1.25=7.49（Ω）

　　X=0.75×R=0.75×7.49=5.62（Ω）

即：Z=7.49+j5.62（Ω），|Z|=9.36Ω，φ =arctan(0.75)=36.87°。

答：电动机每相绕组的等效阻抗为：Z=7.49+j5.62（Ω），阻抗幅值为9.36（Ω），幅角为36.87°。

练一练

用测流钳测对称三相电流。当测流钳钳住一根进线时，读数为2A，若同时钳住全部三根进线，则读数是多少？

（二）三相不对称交流电路的计算

三相电源电压不对称或三相电源电压虽然对称但三相负载不对称的三相交流电路称为三相不对称交流电路。严格地说，绝对的三相对称交流电路是不存在的。从交流发电机发出三相交流电来说，由于制造工艺很难使发电机的三相绕组在空间上完全处于绝对三相对称的位置，构成绕组的导线也很难完全一样，所以真正的绝对对称的三相电源是很难得到的。但是从工程上看，这些因素所造成的影响通常都是控制在允许的范围之内，也就是说，正常时三相电源电压不对称并不是造成三相交流电路不对称的主要原因。

造成三相交流电路不对称的主要原因是来自负载方面：由于照明及生活用电线路属于单相交流电路，虽然设计安装时人们总是尽量使三相负载尽可能地对称（平衡），然而这些线路的负载并非同时工作，不同时工作就造成三相负载的不对称；此外，正常三相对称负载工作时由于各种因素的影响，可能造成设备的短路或断路故障，使得某相电流与其他相的电流比，出现增大或减小的现象，这也是造成三相交流电路不对称的主要原因之一。

对于三相不对称电路的分析，就不能采用如三相对称电路分析时只对一相电路进行分析、计算的方法，而必须根据不同情况分别采用不同的方法进行分析。

对于因故障造成的三相不对称电路的分析，可以从分析结果中得到启示，从而为三相交流电路出现故障提出保护措施，避免故障及其造成的影响的进一步扩大。此外，三相不对称交流电路显现的一些特征，也可被利用于其他一些实际的检测指示，下面先通过几个例子说明，然后再总结三相不对称电路的分析计算方法。

［例1.3.3］如图1.94所示的为三相四线制一相缺相故障的例子。已知：电源的相电压为AC 220V，负载阻抗为：R_A=20Ω，R_B=30Ω，R_C=40Ω，当C相的相线在“×”出现断路（缺相）故障时，求：

（1）发生故障前，在中线上流过的电流I_n；

（2）发生故障后，在中线上流过的电流I_n；

（3）发生故障后，电源C相的相线与负载中点N′的电压。

图1.94　三相四线制线路缺相

解：（1）求发生故障前，在中线上流过的电流：

若设A相电压为：_A=U∠0°，则_B=U∠−120°，_C=U∠120°，根据欧姆定律各相电流为：

对于结点N′，应用基尔霍夫电流定律，有：，即：

（2）求发生故障后，在中线上流过的电流：

发生故障后，，对于结点N′，应用基尔霍夫电流定律，有：，即：

（3）求发生故障后，电源C相的相线与负载中点N′的电压CU′：

若忽略导线电阻及电源内阻，发生故障后，由于中线的存在，电源提供的相电压不变，所以C相的相线与负载中点N′的电压仍然是相电压不变，即：CU′=220（V）。

答：发生故障前中线上流过电流有效值约为4.85A，发生故障后中线上流过电流有效值约为9.7A。发生故障后，电源C相的相线与负载中点N′的电压仍然为220V。

练一练

在例1.3.3中，如果R_A=R_B=R_C=40Ω，请在重新计算前两问。

［例1.3.4］如图1.95所示为三相三线制一相缺相故障的例子。已知：电源的相电压为AC 220V，负载阻抗为：R_A=20Ω，R_B=30Ω，R_C=40Ω，当C相的相线在“×”出现断路故障时，求：（1）发生故障前，R_A和R_B上的电压；

（2）发生故障后，R_A和R_B上的电压；

（3）发生故障后，电源C相的相线与负载中点N′的电压。

图1.76　三相三线制线路缺相

解：（1）求发生故障前，R_A和R_B上的电压：

设：结点N和N′间的电压为NNU′，对结点N和N′运用结点电压法，可列出下列方程：

设：_A=220∠0°，_B=220∠−120°，_C=220∠120°，将R_A、R_B和R_C数值代入上式得：

R_A和R_B上的电压_A和_B分别为：

（2）求发生故障后，R_A和R_B上的电压：

发生缺相故障后，R_A和R_B为串联后接在电源的AB线上，其电压为线电压_AB=380∠30°，

（3）求发生故障后，电源C相的相线与负载中点N′的电压U′C：

答：故障前，R_A和R_B上的电压有效值分别约为178.3V和232.65V；故障后，R_A和R_B上的电压有效值分别为152V和228V；故障后，电源相线C与负载中点N′的电压约为332.24V。

练一练

在例1.3.4中，如果连上中线NN′，请再重新计算前两问。

通过上面两个计算实例，我们可以对三相不对称电路的计算方法进行小结：

① 对于三相电源对称而三相带中线星形连接的不对称负载，忽略电源内阻和导线电阻时，可以将三相负载分开单独计算。

② 对于三相电源对称而三相不带中线的星形连接不对称负载电路或者三相电源也不对称的电路，可以采用结点电压法进行分析计算，计算时在电源和负载线路选择一个中性点，可根据基尔霍夫电流定律列出一个电流方程式，对于每相电路可根据基尔霍夫电压定律各列出由结点电压表示的一个支路电流方程，然后将这三个支路电流方程带入电流方程进行求解，就可解出两个结点之间的电压，从而解出三个支路电流（既是各相的线电流也是各相的相电流）。

想一想　　通过以上几个例题，总结下中线的作用，在中线上能不能接熔断器？为什么？

［例1.3.5］如图1.96所示为三相相序指示电路，已知：两个灯泡的电阻R_B和R_C都为4 840Ω，电容C=0.4μF（X_C=7 958Ω），三相正弦交流电源的线电压为380V、50Hz，试分别求B、C相上灯泡电压U_B、U_C和电容上的电压U_A。

图1.96　相序指示电路

解：设电源的中性点为电路的零电位参考点，三相负载的中点0对参考点的电压为₀，则有：

/[1/(−jX_C)+1/R_B+1/R_C]

=[220/7 958∠90°+220/4 840∠−120°+220/4 840∠120°]/[j1/7 958+1/4 840+1/4 840]

=[(0.0.022 7−0.022 7)+j(0.027 6−0.039 4+0.039 4)]/(4.132×10⁻⁴+j1.257×10⁻⁴)

=(−454.55+j276.45)(4.132−j1.257)/(4.132²+1.257²)

=−119.31+j91.86=150.58∠142.41°（V）

各负载电压等于各相电势减去，所以：

由此可见，比电容所接的相滞后的相（B相）连接的灯泡电压较高，因此将发出较亮的灯光；比电容所接的相超前的相（C相）连接的灯泡电压较低，因此将发出较暗的灯光。即该电路可以用来指示相序。

答：B、C相上灯泡电压U_B、U_C分别为U_B=282.54V和U_C=99.11V，电容上的电压U_A约为U_A=351.53V。

练一练

动手连接对称负载是灯泡的三相四线制，然后设置缺相故障，观察有中线和无中线有什么不一样的现象？

四、三相功率

三相功率及功率因数的计算是三相交流电路的又一个计算任务，三相功率主要是三相视在功率、三相有功功率和三相无功功率。三相总有功功率和三相总无功功率的计算分别是三个单相有功功率的总和及三个单相无功功率的总和，但是必须注意三相总视在功率一般却不等于三个单相负载的视在功率的总和。

（一）三相电功率

在单相正弦交流电路中我们知道，单相有功功率为电压与电流及功率因数的乘积。对于三相正弦交流电路，三相总有功功率就是三个单相有功功率的总和：

　　P=P_A+P_B+P_C=U_AI_Acosφ_A+U_BI_Bcosφ_B+U_CI_Ccosφ_C　　　　　　　　　（1.3.20）

对于三相对称电路，三个相电压相等U_A=U_B=U_C=U_P，三个相电流相等I_A=I_B=I_C=I_P，三个相的功率因数也相等cosφ_A=cosφ_B=cosφ_C=cosφ，因此三相有功功率P=3U_PI_Pcosφ。但是对于三相负载，额定电压为额定线电压，额定电流为额定线电流，其额定视在功率如何表示呢？

对于△连接三相负载，U_P=U_L，I_P=I_L/，即P=3U_PI_Pcosφ =3U_LI_Lcosφ/=U_LI_Lcosφ；而连接三相负载，U_P=U_L/，I_P=I_L，即P=3U_PI_Pcosφ =3(U_L/)I_Lcosφ =U_LI_Lcosφ。也就是说，不管三相负载是△连接还是连接，只要三相负载为对称，三相对称负载消耗的总有功功率为：根据相同的道理，我们可以得到，三相对称负载消耗的总无功功率为：

Q=Q_A+Q_B+Q_C=U_AI_Asinφ_A+U_BI_Bsinφ_B+U_CI_Csinφ_C=U_LI_Lsinφ （1.3.22）三相对称负载消耗的总视在功率为：

注意：对于三相不对称负载，计算总视在功率时，应该根据式（1.3.20）和式（1.3.22），分别计算出总有功功率和总无功功率，然后再利用“功率三角形”关系S=，计算出总视在功率。

练一练

一对称三相负载，其线电压为380V，线电流为2A，负载功率因数为0.7，则三相有功功率为，三相无功功率为。

［例1.3.6］计算例1.3.5三相电路消耗的总视在功率、总有功功率和总无功功率。

解：由于三相负载为不对称负载，所以总的功率为三个单相功率之和：

由此可见，对于三相不对称负载，三相视在功率一般不等于三个单相视在功率的总和。

答：图1.96所示的三相相序指示电路消耗的总视在功率为24.1V·A，总有功功率为18.5W，总无功功率为15.5乏。

此外，在上例中计算出来的S_j，在电力系统中称为计算功率。对于三相对称负载，计算功率就等于视在功率。在电力系统分析时，对于不对称三相负载往往不从视在功率方面进行分析，而是将三相电路网络分解为正序网络、负序网络和零序网络，然后再分别进行不同网络的分析计算。也就是说，对不对称三相负载计算视在功率的实际意义并不大。关于序网络的分解等知识，有兴趣的读者可自行参考有关书籍。

练一练

一台三相异步电动机，已知线电压为380V，线电流10A，功率因数为0.8，每天工作5h，则该电动机每天消耗kW·h电。

（二）负载的连接与功率的关系

当三个单相负载的阻抗值相同，采用连接和采用△连接，其消耗的电功率是不一样的。若设三个单相负载阻抗都为Z，采用连接时，I_P=I_L=U_P/|Z|，U_P=U_L/，消耗的有功功率P_?为：采用△连接时，U_P=U_L，I_P=U_P/|Z|，消耗的有功功率P_△为：

也就是说，负载阻抗值不变，采用三相对称△连接时消耗的有功功率，为采用三相对称连接时消耗的有功功率的3倍。

同样道理，对于三相对称负载，采用△连接时消耗的无功功率，为采用连接时消耗的无功功率的3倍：

Q_△=3Q　　　　　　　　　　　　　　（1.3.25）

练一练

在电源电压相同时，三相对称负载采用三角形连接时的线电流I_Δ与采用星形连接时的线电流之比为________。