等效结点力与单元刚度矩阵

2.1.4　等效结点力与单元刚度矩阵

1）力学推导法

对于平面连续结构，在外载荷作用下，每个单元都将产生位移和应力。今从中取出一个单元ijm，如图2.2所示，根据线性位移假设，单元内将有均匀的应力分量σ_x、σ_y、τ_xy。在单元的3条边界上作用着分布力p，这些分布力与单元应力维持平衡。

图2.2　等效结点力

为了能用结构力学的概念求解弹性力学问题，用作用于单元结点上的等效集中力来代替这些作用于单元边界的分布力，并称为结点力，其方向应与结点位移方向一致。例如，在结点i，结点力为

现根据静力等效原则，计算这些等效结点力。在图2.2（c）中，作用于ij边上的水平合力为

X_ij＝σ_xt（y_j－y_i）＋τ_xyt（x_i－x_j）

式中 t——单元厚度。

作用于mi边上的水平合力为

X_mi＝σ_xt（y_i－y_m）－τ_xyt（x_i－x_m）

把这两个水平合力分到相邻的结点i上去，于是得到该水平结点力如下：

同理，可求得作用于i点的铅直结点力如下：

用类似方法可求得作用于j点和m点的结点力，合并起来，可用矩阵表示如下：

利用矩阵［B］的表达式（2－14），上式可简写为

｛F｝^e＝tA［B］^T｛σ｝　　　　　　　　　　　　　　　（2－30）

在无初应变的情况下，应力可用结点位移表示如下：

｛σ｝＝［D］｛ε｝＝［D］［B］｛δ｝^e

上式代入式（2－30），得到

｛F｝^e＝［B］^T［D］［B］tA｛δ｝^e　　　　　　　　　　　　　　　（2－31）

令

［k］^e＝［B］^T［D］［B］tA　　　　　　　　　　　　　　　（2－32）

则

｛F｝^e＝［k］^e｛δ｝^e　　　　　　　　　　　　　　　（2－33）

上式建立了结点力与结点位移之间的关系。矩阵［k］^e称为单元刚度矩阵，它的元素表示当该单元e发生一定的结点位移时，所对应的结点力。单元刚度矩阵［k］^e决定于该单元的形状、大小、方向和弹性常数，而与单元的位移无关，即不随单元或坐标轴的平移而改变。

根据式（2－13），可将矩阵［B］写成分块形式如下：

［B］＝［B_i B_j B_m］

代入式（2－32），则刚度矩阵也可以写成分块形式如下：

其中［k_rs］为2×2子矩阵，即

上式是便于计算的形式。

对于各向同性平面应力问题，以弹性矩阵［D］的表达式（2－22）代入式（2－35），得到

对于各向同性平面应变问题，上式中的E应换以，μ应换以，于是得到

对于各向同性体，平面应力和平面应变的单元刚度矩阵［k］如下：

平面应变：

平面应力：

2）虚位移原理法

上述推导单元刚度矩阵［k］的过程也可以利用虚位移原理得到。

所谓虚位移原理是指，如果在虚位移发生之前，物体处于平衡状态，那么在虚位移发生时，外力在虚位移上所作虚功等于物体内应力在虚应变上的虚应变能，即

式中　｛δ^＊｝和｛ε^＊｝——分别为虚位移和虚应变；

　　　｛F｝和｛σ｝——分别为外力和应力。

用｛F｝^e表示单元e全部结点力所组成的向量：

｛F｝^e＝［F_iF_jF_m…］^T

假定在单元e中发生了虚位移｛r^＊｝，相应的结点虚位移为｛δ^＊｝^e，根据式（2－9），有

｛r^＊｝＝［N］｛δ^＊｝^e

根据式（2－12），单元内单元的虚应变为

｛ε^＊｝＝［B］｛δ^＊｝^e

结点力所做的虚功等于每个结点力分量（U_i、V_i、W_i）与相应的结点位移分量）的乘积之和：

用矩阵表示，即为

δV＝（｛δ^＊｝^e）^T｛F｝^e　　　　　　　　　　　　　　　（2－40）

在整个单元内，应力在虚应变｛ε^＊｝上的虚应变能为

根据虚位移原理，有δU＝δV，即

又｛ε^＊｝＝［B］｛δ^＊｝^e，｛σ｝＝［D］｛ε｝＝［D］［B］｛δ｝^e，故

上式对于任何虚位移都必须成立。由于虚位移可以是任意的，所以（｛ε^＊｝^e）^T也是任意的。上式两边与它相乘的矩阵应当相等，于是得到

令

对于平面问题，［k］^e＝［B］^T［D］［B］·tA，则

｛F｝^e＝［k］^e｛δ｝^e　　　　　　　　　　　　　　　（2－46）

从上述过程可以看出，采用虚位移原理建立单元刚度矩阵非常方便简洁，同时用这种方法建立的单元刚度矩阵不仅适用于三角形单元，而且适用于其他所有单元类型，只不过对于每种单元而言，其矩阵［B］和［D］的具体形式是不同的。