结点平衡方程与整体刚度矩阵

2.1.6　结点平衡方程与整体刚度矩阵

1）结点平衡方程

每个结点，在结点力和结点载荷的作用下，必须保持平衡。例如，从图2.5（a）所示的结构中，取出结点i，这个结点i周围有6个单元，从中再取出一个单元e，这个单元受到i、j、m结点所施加的结点力为

｛F｝^e＝［F_iF_jF_m］^T＝［U_iV_iU_jV_jU_mV_m］^T

图2.5　结点的平衡

反过来，结点i、j、m也受到该单元所施加的力，与上述结点力大小相等而方向相反。如图2.5（c）所示，结点i就受有单元e所施加的沿负方向的U_i和V_i。同样，环绕结点i的其他单元也对结点i施有这样的力。

结点i一般还承受着从结点周围各单元移置而来的结点载荷：

根据结点i在水平及铅直方向的平衡条件，可建立平衡方程如下：

式中　——环绕结点i的所有单元求和。

上述平衡方程也可用矩阵表示为

以｛F｝^e＝［k］^e｛δ｝^e代入上式，得到用结点位移表示的结点平衡方程为

［K］｛δ｝＝｛P｝　　　　　　　　　　　　　　　（2－51）

整体刚度矩阵［K］的各元素可计算如下：

式中　∑——对交会于结点i的各单元求和；

　　　下标rs——K_rs位于整体刚度矩阵［K］的第r行第s列；整体刚度矩

　　　下标ij——k_ij位于单元刚度矩阵的第i行第j列。

整体刚度系数K_rs的物理意义是，结构第s个自由度的单位变形所引起的第r个结点力。

如果共有n个结点，平衡方程组（2－51）将是2n阶线性代数方程组，解出这个方程组，可求出结点位移，然后由式（2－21）可求出单元应力。因此，问题的关键在于建立整体刚度矩阵［K］。

2）整体刚度矩阵的合成

为了简便起见，下面以杆单元结构为例，说明由单元刚度矩阵［k］^e合成整体刚度矩阵［K］的过程。

对于如图2.6所示的桁架，在结点3施加水平位移b，求取各杆单元的内力。

图2.6　桁架杆单元算例

（1）计算单元的单元刚度矩阵

该桁架共有6个杆单元：12、13、14、23、24和34。首先计算单元的刚度矩阵：

其中：α＝cosθ，　β＝sinθ。

提示：斜杆单元的单元刚度矩阵推导过程如下：

对于如图2.7所示的倾斜杆单元，结点i的结点位移为

图2.7　倾斜杆单元

式中　u_i和v_i——分别为结点i的水平和垂直位移分量。

相应的结点力为

式中 U_i和V_i——分别为结点力的水平和垂直分量。

首先分析斜杆的应力－应变关系。设杆单元的长度为l，由几何关系有

l²＝（x_j－x_i）²＋（y_j－y_i）²　　　　　　　　　　　　　　　（a）

对上式微分，并各除以l，可得

dl＝α（dx_j－dx_i）＋β（dy_j－dy_i）　　　　　　　　　　　　　　　（b）

其中α＝cosθ＝， β＝sinθ＝　　　　　　　　　　　　　　　（c）

而杆件受力变形后，结点i的坐标将由（x_i，y_i）变为（x_i＋u_i，y_i＋v_i），即

dx_i＝u_i， dy_i＝v_i

同理dx_j＝u_j， dy_i＝v_j

把上式代入式（b），并除以l，得到杆单元的应变为

则斜杆单元轴力为

结点力的绝对值分别等于轴力N的水平和铅直分量，即

将式（e）代入式（f），得到斜杆单元的结点力为

式中　［k］^e——斜杆单元的刚度矩阵。

将每个杆单元的数据代入上式，可得

（2）单元刚度矩阵的合成

该结构共有8个自由度，结点平衡方程为

由前文可知，整体刚度矩阵中的元素［K_rs］由下式计算。下面是整体刚度矩阵中部分元素的合成过程。

例如有12、13、14共3个杆单元交会于结点1，在计算结点1的整体刚度系数时，应将这3个单元的有关刚度系数k_ij代入上式求和：

上述各式中，（k₁₃）₁₄表示杆14的单元刚度矩阵中的第1行的第3个元素。以上这些就是整体刚度矩阵［K］中第1行的各元素。下面简要说明一下这些系数的计算：

K₁₁是结构第1个自由度u₁产生单位位移u₁＝1时所引起的第1个结点力U₁，由图2.6可知，u₁＝1时，3个单元12、13、14都产生结点力U₁，所以由3个单元刚度矩阵系数k₁₁相加而得到K₁₁。

又如K₁₆是结构第6个自由度v₃＝1所引起的结点力U₁，单元12、14与v₃无关，不参加计算。v₃对整个结构来说是第6个自由度，但对单元13来说，是第4个自由度，故K₁₆＝（k₁₄）₁₃。

以此类推，可计算整体刚度矩阵［K］的其他各元素，从而得到结点平衡方程组如下：

以上便完成了整体刚度矩阵的合成。

3）边界条件的处理

下面来考虑边界条件。在本例中，其边界条件是：u₁＝v₁＝u₄＝v₄＝0，u₃＝b。

在整体刚度矩阵［K］中，把与u₁、v₁、u₄、v₄、u₃等对应的主对角线上的刚度系数k₁₁、k₂₂、k₇₇、k₈₈、k₅₅各乘以10⁸；在载荷列阵｛P｝中，把相应的载荷X₁、Y₁、X₄、Y₄改为0，X₃改为k₅₅×10⁸×b，得到平衡方程，即

求解上式，便可得到符合边界条件的结点位移的解答，从而可方便地求出各单元的轴力。