最小余能原理

2.3.3　最小余能原理

如果在物体的一部分边界S_u上给定了位移，并设作用在S_u上的边界反力（包括支座反力）为｛p｝＝［p_xp_yp_z］

T，那么边界反力的势可由下式计算：

物体的余能Π_c定义为物体的余应变能与给定位移的那一部分边界S_u上边界反力的势V^＊之差，即

Π_c＝U^＊－V^＊　　　　　　　　　　　　　　　（2－79）

其中物体的余应变能为

故物体的余能可由下式计算：

最小余能原理可叙述如下：在物体内部满足平衡条件，并在边界上满足规定的应力条件的所有应力状态中，只有那些在物体内部满足应力－应变关系，并在边界上满足规定的边界位移条件的应力状态，使物体的余能取驻值，即

δΠ_c＝δU^＊－δV^＊＝0　　　　　　　　　　　　　　　（2－81）

对于线性弹性体，Π_c取最小值，即

δ²Π_c＝δ² U^＊－δ² V^＊≥0　　　　　　　　　　　　　　　　（2－82）

最小余能原理与最小势能原理的基本区别如下：最小势能原理对应于结构的平衡条件，而最小余能原理对应于结构的变形协调条件。最小势能原理以位移为变化量，最小余能原理以力为变化量。

在单元分析中，假设单元的位移函数，由最小势能原理可求出单元刚度矩阵；如果假定单元的应力状态，由最小余能原理可求出单元柔度矩阵。下面加以说明。

单元结点力为｛F｝^e，设单元应力｛σ｝可用结点力｛F｝^e表示如下：

｛σ｝＝［ρ］｛F｝^e

（2－83）

上式在单元边界上的取值即为单元的边界力｛p｝，现记为

｛p｝＝［λ］｛F｝^e　　　　　　　　　　　　　　　（2－84）

必须指出，除了杆单元和梁单元，对于一般的连续介质，要像式（2－83）那样用结点力表示单元内部应力是很困难的，把式（2－83）、式（2－84）代入式（2－80），得到

式中　［f］——单元柔度矩阵；

　　　——单元结点位移。

根据最小余能原理，δΠc＝0，故

由式（2－85），有

［f］｛F｝^e＝　　　　　　　　　　　　　　　（2－88）

上式用于结构的整体分析，即所谓矩阵力法。先选择赘余力，再根据变形协调条件建立以结点力为未知量的方程组，即可求出结点力。矩阵力法在计算机上实现远比矩阵位移法困难，所以采用较少。按最小余能原理求解时，所假设的应力场在单元内部应满足平衡方程，在相邻单元的公共边界上应力不必连续，但应满足平衡条件，这种单元称为平衡单元，求解时的未知量是结点力。