典型的弹性模型和塑性模型

4.2　典型的弹性模型和塑性模型

1）线弹性模型

这是使用最广泛的材料模型之一，它基于广义虎克定律，包括各向同性弹性模型、正交各向异性模型和各向异性模型。

线弹性模型的本构方程为

σ＝D^elε^el　　　　　　　　　　　　　　　（4－1）

式中　σ——应力分量向量；

　　　ε^el——应变分量向量；

　　　D^el——弹性矩阵。

（1）各向同性弹性模型

最简单的线弹性模型为各向同性线弹性模型，它具有6个应力/应变分量（对于平面问题，只有3个应力/应变分量），其应力－应变的表达式为

各向同性线弹性模型的模型常数为杨氏模量E（Young’s Modulus）和泊松比μ（Poisson’s Ratio），剪切模量G是E和μ的函数关系式，其表达式如下：

弹性模型参数可定义为场变量（如温度）的函数。

各向同性弹性模量的用法（图4.1）：

输入文件用法：＊ELASTIC，TYPE＝ISOTROPIC或＊ELASTIC

ABAQUS/CAE用法：Property module：material editor：［Mechanical］→［Elasticity］→［Elastic］：Type：Isotropic

图4.1　各向同性线弹性模型用法（ABAQUS/CAE）

图4.2　正交各向异性线弹性模型用法（ABAQUS/CAE）

2）正交各向异性弹性模型

正交各向异性的独立模型参数为3个正交方向的杨氏模量E₁、E₂、E₃，3个泊松比μ₁₂、μ₁₃、μ₂₃，3个剪切模量G₁₂、G₁₃、G₂₃，其应力－应变的表达式为

正交各向异性弹性模量的用法（图4.2）：

输入文件用法：＊ELASTIC，TYPE＝Engineering Constants

ABAQUS/CAE用法：Property module：material editor：［Mechanical］→［Elasticity］→

［Elastic］：Type：Engineering Constants

在正交各向异性模型中，如果材料的某个平面上的性质相同，即为横观各向同性弹性体，假定1－2平面为各向同性平面，那么有E₁＝E₂＝E_p，μ₃₁＝μ₃₂＝μ_tp，μ₁₃＝μ₂₃＝μ_pt，以及G₁₃＝G₂₃＝G_t，其中p和t分别代表横观各向同性体的横向和纵向，因此，横观各向同性体的应力－应变表达式为

其中，G_p＝，所以，该模型的独立模型参数为5个。横观各向同性弹性模型用法）与正交各向异性模型用法相同。

3）Mohr－Coulomb塑性模型

Mohr－Coulomb破坏和强度准则在岩土工程和道路工程中的应用十分广泛，大量的岩土工程和道路工程设计计算都采用了Mohr－Coulomb强度准则。

该模型具有以下特征：①模拟服从经典Mohr－Coulomb屈服准则的材料；②允许材料各向同性硬化或软化；③采用光滑的塑性流动势，该流动势在子午面（图4.3）上为双曲线形状，在偏应力平面上为分段椭圆形；④可与线弹性模型组合使用；⑤在岩土工程领域，可用来模拟单调载荷作用下材料的力学行为。

图4.3　常用应力平面（偏平面和子午面）

（1）屈服准则

Mohr－Coulomb屈服准则假定：作用在某一点的剪应力等于该点的抗剪强度时，该点发生破坏，剪切强度与作用于该面的正应力呈线性关系。Mohr－Coulomb塑性模型是基于材料破坏时应力状态的摩尔圆提出的，破坏线是与这些摩尔圆相切的直线（图4.4），Mohr－Coulomb屈服准则如下：

τ＝c－σtanφ　　　　　　　　　　　　　　　（4－6）

式中　τ——剪切强度；

　　　c——材料的黏聚力；

　　　σ——正应力（压应力时为负）；

　　　φ——材料的内摩擦角。

图4.4　Mohr－Coulomb破坏模型

（2）屈服特性

采用应变不变量时，Mohr－Coulomb模型的屈服面方程为

F＝R_mcq－ptanφ－c＝0

　　　　　　　　　　　　　　　（4－7）

式中　φ（θ，f^α）——材料在子午面上的摩擦角；

　　　θ——温度；

　　　f^α——待定变量，α＝1，2，…

　　　c（，θ，f^α）表示材料粘聚力按等向硬化（或软化）方式的变化过程；为等效塑性应变，其应变率可定义为塑性功的表达式：

R_mc为Mohr－Coulomb模型的偏应力系数，定义为

式中　φ——Mohr－Coulomb屈服面在p－R_mcq平面上的斜角，一般指材料的内摩擦角；

　　　θ——广义剪应力方向角，cos（3θ）＝

　　　p——等效压应力；

　　　q——Mises等效应力。

摩擦角φ同样控制材料在π平面上屈服面的形状，如图4.5所示。摩擦角的取值范围是0°≤φ≤90°，当φ＝0°时，Mohr－Coulomb模型退化为与围压无关的Tresca模型，此时π平面上的屈服面为正六边形，当φ＝90°时，Mohr－Coulomb模型将演化为Rankine模型，此时π平面上的屈服面为正三边形，而且R_mc→∞，在ABAQUS中这种极限状态不允许在Mohr－Coulomb模型中出现。

图4.5　Mohr－Coulomb在子午面和π平面上的屈服面

提示：ABAQUS中，定义屈服面时常用的应力不变量有：

（1）等效围压应力p

（2）Mises等效应力q

（3）第三应力不变量r

在ABAQUS中，除了Mohr－Coulomb模型，在所有的模型中均定义了偏应力值t（可用来表示π平面上屈服面的“圆度”），其表达式见式（4－10）。

图4.6　Mohr－Coulomb模型用法（ABAQUS/CAE）

（3）Mohr－Coulomb模型用法

弹性部分通过命令＊Elastic定义，该弹性为各向同性弹性。

材料的硬化通过命令＊MOHR COULOMB HARDENING给出，认为服从各向同性黏聚硬化。硬化曲线必须描述出黏聚屈服应力（Yield cohesion）与塑性应变的关系，需要时可以考虑为温度等场变量的函数。

输入文件用法：

＊MOHR COULOMB

＊MOHR COULOMB HARDENING

ABAQUS/CAE用法：Property module：material editor：［Mechanical］→［Plasticity］→［Mohr Coulomb Plasticity］：Hardening

4）线性Drucker－Prager模型

ABAQUS对经典的Drucker－Prager模型进行了扩展，扩展的Drucker－Prager模型的屈服面在π平面上不是圆形的，屈服面在子午面上包括线性模型、双曲线模型和指数模型。扩展的Drucker－Prager模型具有如下特点：①用来模拟土、岩石等摩擦材料，这些材料的屈服与围压有关，围压越大，材料的强度越高；②允许材料各向同性硬化或软化；③考虑了材料的剪胀性；④可以模拟蠕变功能以描述材料的长期非弹性变形；⑤可用来模拟单调加载下材料的力学行为。

（1）屈服准则

Drucker－Prager模型的屈服准则取决于屈服面在子午面中的形状。在ABAQUS/Standard中，屈服面可以为线性、双曲线或者一般指数函数形式；而在ABAQUS/Explicit中，只能使用线性模型。线性模型在子午面上的屈服面如图4.7所示。

图4.7　子午面上的屈服面（线性Drucker－Prager模型）

线性Drucker－Prager模型的屈服准则为（由3个应力不变量p、q、r表示）：

F＝t－ptanβ－d＝0　　　　　　　　　　　　　　　（4－9）

式中　t——偏应力参数，其定义如式（4－10）所示，不同的t值对应π平面上拉伸和压缩的不同应力值，所以增加了拟合实验数据的灵活性，但由于π平面上屈服面太光滑，使其与Mohr－Coulomb模型的屈服面一致性不好。

　　　β（θ，f_i）为线性屈服面在p－t应力平面上的倾角，通常指材料的摩擦角。

　　　d为材料的黏聚力，其值与输入的硬化参数σ_c有关，当硬化参数由单轴压缩试验参数σ_c定义时；当硬化参数由单轴拉伸试验参数σ_t定义时，d＝，而当硬化参数由纯剪切试验参数d（黏聚力）定义时，d＝d、σ_c和σ_t均为等向硬化参数。

　　　K（θ，f_i）为三轴拉伸屈服应力与三轴压缩屈服应力之比，因此该值控制着屈服面对中间主应力值的依赖性。

若采用单轴压缩试验定义材料硬化，线性屈服准则要求内摩擦角β不能大于71.5°。当K＝1时，t＝q，屈服面在π平面上为Von Mises圆，这种情况下三轴拉伸应力与三轴压缩应力相等。为了保证屈服面外凸，要求0.778≤K≤1.0。

（2）屈服特性

线性Drucker－Prager模型在π平面上的屈服面不是圆形，如图4.8所示，非圆形的屈服面可以真实地反映不同的三轴拉伸和压缩屈服强度，π平面上的塑性流动以及不同的摩擦角和剪胀角。

图4.8　π平面上线性Drucker－Prager模型的典型屈服面

当实验数据以黏聚力和内摩擦角的形式给出时，可以采用线性Drucker－Prager模型进行模型参数的标定。

（3）线性Drucker－Prager模型用法

输入文件用法：＊DRUCKER PRAGER，SHEAR CRITERION＝LINEAR

ABAQUS/CAE用法：Property module：material editor：［Mechanical］→［Plasticity］→［Drucker－Prager］：Shear criterion：Linear