沉降计算理论和比奥固结方程

9.1.1　沉降计算理论和比奥固结方程

1）沉降计算理论

沉降问题历来是土力学中的主要研究课题之一，早在20世纪初，太沙基（Terzaghi）等就曾建立了经典的地基沉降分析法，此后又有很多学者为该方法的改进和完善作出了重要贡献。20世纪70年代以来，随着计算机和有限元应用技术的发展，人们可以将复杂的土工计算问题编制成有限元计算程序，从而得到较为准确的计算结果。

地基的沉降计算，包括沉降量计算和固结理论。沉降量按其变形分为三部分：初始沉降、固结沉降和次固结沉降，即式（9－1）。初始沉降是由于土骨架的畸变和土的瞬时压缩产生的；固结沉降是土体在载荷作用下孔隙水被挤出而产生渗透固结的结果；次固结沉降是地基孔隙水基本停止挤出后，土颗粒和结合水之间的剩余应力调整而引起的沉降。

S（t）＝S_d（t）＋S_c（t）＋S_s（t）　　　　　　　　　　　　　　　（9－1）

式中　S（t）——路基在时间t的总沉降；

　　　S_d（t）——路基在时间t的初始沉降；

　　　S_c（t）——路基在时间t的固结沉降；

　　　S_s（t）——路基在时间t的次固结沉降。

固结理论是描述沉降与时间关系的理论，包括太沙基固结理论和比奥（Biot）固结理论。前者建立在许多简化假设的基础上，特别是只考虑孔隙水的竖向流动所引起的竖向变形，常常低估现场实际的沉降速率。比奥固结理论直接从弹性理论导出，可以保证位移大小及其变化进程之间的耦合性，而且在固结层的任一点，都存在超孔隙水压力的消散与总应力变化之间连续的相互作用。

固结沉降的计算通常采用分层总和法，它假定地基土为直线变形体，在外载荷作用下的变形只发生在有限厚度的范围内（即压缩层），将压缩层厚度内的地基土分层，分别求出各分层的应力，然后用土的应力－应变关系求出各分层的变形量，总加起来即为地基的沉降量。

分层总和法计算简便，参数容易获取，且计算结果对一般软黏土也符合实际情况，但它在理论上的缺陷也是不言而喻的，它不能考虑土的侧向变形，不能考虑时间因素对沉降的影响，对于施工时间相差几年、地基状况存在横向差异的结合部地基的沉降计算，有必要采取更加精确的计算方法。

有限元法是近代计算岩土力学学科用于分析问题的重要手段之一，它将地基和结构作为一个整体来分析，将其划分网络，形成离散体结构，可以计算载荷作用下任一时刻地基和结构各点的位移和应力。

有限元法的优点主要体现在：①有限元法可以将地基作为二维甚至三维问题来考虑，反映侧向变形的影响。对土体的固结计算，可以用比奥固结理论，避免了一维固结计算的许多不足；②可以考虑土体应力－应变关系的非线性特性，如采用非线性弹性的本构模型，或者弹塑性本构模型。目前用得最广的是Duncan－Chang双曲线模型和Drucker－Prager弹塑性模型；③可以考虑应力历史对变形的影响，应力低于和高于前期固结应力采用不同的弹性模量计算公式；④可以考虑土与结构共同作用，考虑复杂的边界条件，考虑施工逐级加荷，考虑土层的各向异性等。

2）比奥固结方程

比奥于1941年考虑了固结过程中孔隙压力和土骨架变形之间的依赖关系，提出了比奥固结理论。尽管比奥固结理论比太沙基固结理论较为合理完整，但是由于计算上的困难，比奥固结理论一直难以用于解决实际问题。采用级数和积分变换方法，只能对少数简单的边值问题求出解析解。近十几年来，电子计算技术和有限元法的发展为比奥固结理论的应用提供了条件，使得处理非均质材料、非线性应力－应变关系以及复杂的边界条件成为可能。

Sandhu和Wilson于1969年运用变分原理首先提出比奥固结方程的有限元法方程，他们对位移取二次插值模式，对孔隙压力取线性模式。Christian和Bochmer 1970年结合有限元和有限差分法求解了比奥固结方程。沈珠江1977年对位移和孔隙压力都取线性模式，推导了比奥固结方程的有限元法方程。殷宗泽等于1978年根据虚位移原理和流量平衡关系推导了类似的有限元法方程。

土体的固结包含了水的渗流和土的变形两方面，是两者的耦合问题。比奥固结理论较全面地考虑了两者的结合，是比较完善的多维固结理论。它的基本公式包括平衡微分方程和连续性微分方程两部分。

以平面问题为例，土体中任一点平衡微分方程如式（9－2）所示：

式中　σ、τ——有效应力；

　　　p——孔隙水应力；

　　　γ——土体饱和容重。

由土体骨架的本构关系可建立下式：

｛σ｝＝［D］｛ε｝　　　　　　　　　　　　　　　（9－3）

式中，［D］为弹性矩阵，也可以取弹塑性矩阵，它可以展开写成：|

土力学规定应力或应变受压为正，则几何方程的符号规定与弹性力学的规定相反：

联立式（9－2）、式（9－4）和式（9－5），便得以位移和孔压表示的平衡微分方程：

此外，由饱和土体中水的连续条件可推得：

式中　γ_w——水的容重；

　　　k_x、k_y——分别为土体x和y方向的渗透系数。

联立式（9－6）和式（9－7），就是比奥固结微分方程。它包含位移u、v以及孔压p三个未知变量，由三个偏微分方程构成联立方程组。

解这样的联立偏微分方程组是困难的，一般只能用数值方法求解。有限元法对解这样的复杂问题是有效的。已经提出了许多建立比奥固结理论有限元方程的方法，如用变分原理、虚位移原理和流量平衡关系、加权余量法等。其中变分法在数学上严格但物理概念不太明确；虚位移原理和流量平衡方法在物理概念上明确，易于为工程界接受，但难以推广到任何网格情况；加权余量法也是一种数学物理方法，比变分法有更大灵活性，在解固结问题中比变分法易于理解。