函数与极限

1.2.1　函数与极限

1.函数的几种特性

(1)函数的有界性

设函数f(x)的定义域为D，数集X＞D.若存在数K₁，使得f(x)≤K₁，对任一x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有上界，而K₁称为函数f(x)在X上的一个上界;若存在数K₂，使得f(x)≥K₂对任一x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有下界，而K₂称为函数f(x)在X上的一个下界;若存在正数M，使得|f(x)|≤M对任一x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有界;若这样的M不存在，就称函数f(x)在X上无界.

函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界.

(2)函数的单调性

设函数f(x)的定义域为D，区间I＞D.若对于区间I上任意两点x₁及x₂，当x₁＜x₂时，恒有f(x₁)＜f(x₂)，则称函数f(x)在区间I上是单调增加的;若对于区间I上任意两点x₁及x₂，当x₁＜x₂时，恒有f(x₁)＞f(x₂)，则称函数f(x)在区间I上是单调减少的.单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.

(3)函数的奇偶性

设函数f(x)的定义域D关于原点对称.若对于任一x∈D，f(－x)=f(x)恒成立，则称函数f(x)为偶函数;若对于任一x∈D，f(－x)=－f(x)恒成立，则称函数f(x)为奇函数.

偶函数的图形关于y轴是对称的;奇函数的图形关于原点是对称的.

(4)函数的周期性

设函数f(x)的定义域为D.若存在一个不为零的数T，使得对于任一x∈D有(x±T)∈D，且

f(x+T)=f(x)恒成立，则称f(x)为周期函数，T称为f(x)的周期.通常说周期函数的周期是指最小正周期.

2.函数的极限

(1)函数极限的概念无穷小与无穷大

函数的极限按自变量的变化趋向x→x₀与x→∞可分成以下两种.

当x→x₀时，f(x)无限趋近于常数A，称作f(x)当x→x₀时的极限为A，记成=A或f(x)→A(x→x₀);

当x→∞时，f(x)无限趋近于常数A，称作f(x)当x→∞时的极限为A，记成=A或f(x)→A(x→∞).

它们的严格数学定义需用“ε－δ”或“ε－X”来描述，可参阅相关教材.

关于函数的极限，有如下性质.

定理1(函数极限的唯一性)如果极限存在，那么这极限唯一.

定理2(函数极限的局部有界性)如果=A，那么存在常数M＞0和δ＞0，使得当0＜|x－x₀|＜δ时，有|f(x)|≤M.

定理3(函数极限的局部保号性)如果=A，而且A＞0(或A＜0)，那么存在常数δ＞0，使得当0＜|x－x₀|＜δ时，有f(x)＞0(或f(x)＜0).

定理4(函数极限与数列极限的关系)如果极限存在，{x_n}为函数f(x)的定义域内任一收敛于x₀的数列，且满足:x_n≠x₀(n=1，2，3，…)，那么相应的函数值数列{f(x_n)}必收敛，且

对于x→∞时，函数极限的性质，只需按照上述性质相应地作一些修改，便可得出.

在函数极限的定义中，若f(x)当x→x₀(或x→∞)时的极限A=0，则称f(x)为当x→x₀(或x→∞)时的无穷小.

若当x→x₀(或x→∞)时，f(x)的绝对值|f(x)|无限增大，则称f(x)为当x→x₀(或x→∞)时的无穷大，记成=∞(或=∞).

注意:按函数极限的定义，f(x)为无穷大是极限不存在的一种特殊情形，但习惯上也称“函数的极限为无穷大”.

无穷小与函数的极限，有如下关系:

定理在自变量的同一变化过程x→x₀(或x→∞)中，函数f(x)具有极限A的充分必要条件是f(x)=A+α，其中α是无穷小.

无穷小与无穷大，有如下关系:

定理在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则为无穷小;反之，如果

f(x)为无穷小，且f(x)≠0，则为无穷大.

(2)左、右极限

在函数极限的概念中，自变量x→x₀的变化趋向，x可以从x₀的左、右两侧趋向于x₀.但有时只需考虑x仅从x的左侧趋向于x(记成x→x^－)，或x仅从x的右侧趋向于x(记成

₀₀

0

₀₀ x→)^[3].

若当x→时，f(x)无限趋近于常数A，则称f(x)当x→x时的左极限为A，记成

类似地，有f(x)当x→x₀时的右极限，记成

函数f(x)当x→x₀(或x→∞)时的极限存在的充分必要条件是函数的左、右极限均存在且相等，即

(3)极限运算法则

关于函数极限的运算法则，有以下几个定理。

定理1有限个无穷小的和也是无穷小.

定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

定理3(极限的四则运算法则)

若limf(x)=A，limg(x)=B，则

定理4如果φ(x)≥ψ(x)，而limφ(x)=a，limψ(x)=b，那么a≥b.

注意:上述记号“lim”下面是同一自变量的变化过程.

定理5(复合函数的极限运算法则)设函数y=f［g(x)］是由函数y=f(u)与函数u= g(x)复合而成，f［g(x)］在点x₀的某去心邻域内有意义，=A，且存在δ₀＞0，当x∈时，有g(x)≠u，则₀

3.极限存在准则和两个重要极限

(1)夹逼准则和极限

准则Ⅰ(数列情形)若数列x_n，y_n及z_n满足条件:y_n≤x_n≤z_n(n=1，2，3，…)且=a，则数列x_n的极限存在且

准则Ⅰ'(函数情形)若函数f(x)，g(x)及h(x)满足条件:

①当0＜|x－x₀|＜δ(或|x|＞M)时，有g(x)≤f(x)≤h(x);现在按照国家标准，改记成.相应地，函数的左、右极限在第3版中记成或f(x₀+0))，现改记成

其中e是一个无理数，e=2.71828…….

4.无穷小的比较

设α及β都是在同一个自变量变化过程中的无穷小，且α≠0，也是在这个变化过程中的极限.

①若，就称β是比α高阶的无穷小，记作β=o(α)，并称α是比β低阶的无穷小.

②若，就称β是与α同阶的无穷小.

③若，就称β是与α等价的无穷小，记作α～β.

关于等价无穷小，有以下性质:

若α～α'，β～β'，且lim存在，则

当x→0时，有以下常用的等价无穷小:

x～sinx～tanx，1－cosx

ln(1+x)～x，e^x－1～x

【例1.2-1】

解:

一般地，对有理分式函数

其中P(x)、Q(x)是多项式，若≠0，则

注意:若Q(x₀)=0，则关于商的极限运算法则不能应用，需特殊考虑.

【例1.2-2】求

解:=0，不能应用商的极限运算法则.但分子、分母有公因子x－3，故

解:当x→∞时，分子、分母都为无穷大，不能应用商的极限运算法则，但可先用x³去除分子、分母，故

【例1.2-5】等于(　).

(A)1　(B)0　(C)不存在且不是∞　(D)∞

解:由于≤1，按照“有界函数与无穷小的乘积是无穷小”，故应选(B)，注意不要与极限相混淆.

【例1.2-11】等于(　).

(A)2　(B)0　(C)∞　(D)不存在且不是∞

故极限不存在，且不是∞，应选(D).

【例1.2-12】设f(x)=2^x+3^x－2，则当x→0时，有(　).

(A)f(x)与x是等价无穷小　　(B)f(x)与x同阶但非等价无穷小

(C)f(x)是比x高阶的无穷小　(D)f(x)是比x低阶的无穷小

所以应选(B).

①tanx即tgx.

【例1.2-13】当x→0时，tanx－sinx是x³的(　).

(A)高阶无穷小　　　　　(B)低阶无穷小

(C)同阶但非等价无穷小　(D)等价无穷小

所以应选(C).

注意:当x→0时，tanx～x，sinx～x，但不能得出tanx－sinx～x－x=0，从而得出上述极限为零，而选(A).事实上，上面的计算结果表明tanx－sinx(x→0).由此可知，在利用等价无穷小求极限时，不能对分子或分母中的某个加项作代换，而应该对分子或分母的整体，或其中的无穷小的因子作等价代换，才不致出错.

【例1.2-14】极限的值等于(　).

(A)e　(B)e²　(C)e^－1　(D)e^－2

所以应选(B).

【例1.2-15】极限的值等于(　).

(A)0　(B)　(C)2　(D)+∞

所以应选(B).