中值定理与导数的应用

1.2.5　中值定理与导数的应用

1.中值定理(1)罗尔定理

若函数f(x)在闭区间［a，b］上连续，在开区间(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则至少有一点ξ∈(a，b)，使得f'(ξ)=0.

(2)拉格朗日中值定理

若函数f(x)在闭区间［a，b］上连续，在开区间(a，b)内可导，则至少有一点ξ∈(a，b)，使得下式成立

f(b)－f(a)=f'(ξ)(b－a).

2.求未定式的值的方法——洛必达法则

(1)未定式的情形

关于的情形.

设:①当x→a(或x→∞)时，f(x)→0且F(x)→0;

②在点a的某去心邻域内(或当|x|＞N时)，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0;

③存在(或为无穷大)，

若型，且f'(x)、F'(x)满足上述三个条件，则可继续运用洛必达法则，即

对于型，也有相应的洛必达法则，这里不再赘述.

(2)其他形式未定式的情形

其他尚有0·∞、∞－∞、0⁰、1^∞、∞0型的未定式，它们均可通过变形化成的情形.如0·∞型可变形成型通过通分变形，0⁰、1^∞、∞0通过取对数变形.

3.函数性态的判定

(1)函数单调性的判定

利用一阶导数的符号判定函数的单调性，有以下定理:

定理设函数y=f(x)在［a，b］上连续，在(a，b)内可导:

①如果在(a，b)内f'(x)＞0，那么函数y=f(x)在［a，b］上单调增加;

②如果在(a，b)内f'(x)＜0，那么函数y=f(x)在［a，b］上单调减少.

以上判别法，可简单地用表1.2-1表示.

表1.2-1　用导数符号判定单调性

(2)函数极值的判定

定义设函数f(x)在x₀的某邻域U(x₀)内有定义，如果对于去心邻域7U(x₀)内的任一x，有

f(x)＜f(x₀)(或f(x)＞f(x₀))，

那么就称f(x₀)是函数f(x)的一个极大值(或极小值).

函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点.

函数的极大值和极小值的概念是局部性的，应与函数在某个区间内的最大值和最小值的概念区分清楚.

关于判定函数取得极值的必要条件，有以下定理.

定理1(必要条件)设函数f(x)在点x₀处可导，且在x₀处取得极值，则f'(x₀)=0.

通常称函数的导数等于零的点为函数的驻点.定理1就是说，可导函数的极值点必定是函数的驻点.但反过来，函数的驻点却不一定是函数的极值点.关于判定函数取得极值的充分条件，有以下两个定理.

定理2(第一充分条件)设函数f(x)在x₀处连续，且在x₀的某去心邻域7U(x₀，δ)内可导:

①若x∈(x₀－δ，x₀)时，f'(x)＞0，而x∈(x₀，x₀+δ)时，f'(x)＜0，则f(x)在x₀处取得极大值;

②若x∈(x₀－δ，x₀)时，f'(x)＜0，而x∈(x₀，x₀+δ)时，f'(x)＞0，则f(x)在x₀处取得极小值;

③若x∈7U(x₀，δ)时，f'(x)的符号保持不变，则f(x)在x₀处没有极值.

定理3(第二充分条件)设函数f(x)在x₀处具有二阶导数且f'(x₀)=0，f″(x₀)≠0，则:

①当f″(x₀)＜0时，函数f(x)在x₀处取得极大值;

②当f″(x₀)＞0时，函数f(x)在x₀处取得极小值.

定理2是利用一阶导数的符号判定函数的极值，简单地可用表1.2-2表示.

定理3是利用二阶导数的符号判定函数的极值，简单地可用表1.2-3表示.

表1.2-2　用一阶导数判定极值

表1.2-3　用二阶导数判定极值

(3)曲线凹、凸性及其拐点的判定

关于利用函数的二阶导数的符号判定曲线的凹、凸性，有以下定理.

定理(曲线凹、凸性的判定定理)设f(x)在［a，b］上连续，在(a，b)内具有一阶和二阶导数:

①若在(a，b)内f″(x)＞0，则f(x)在［a，b］上的图形是凹的;

②若在(a，b)内f″(x)＜0，则f(x)在［a，b］上的图形是凸的.

以上判别法，可简单地用表1.2-4表示.

表1.2-4　用二阶导数判定曲线的凹、凸性

连续曲线y=f(x)上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点.若f″(x₀)=0或f″(x₀)不存在，而f″(x)在x₀的左、右两侧邻近异号，则点(x₀，f(x₀))就是曲线的一个拐点.

注意:曲线的拐点(x₀，f(x₀))是曲线上的点，不要误以为x₀是曲线的拐点，x₀只是拐点的横坐标.

【例1.2-32】

【例1.2-36】下列命题中，正确的是(　).

(A)单调函数的导函数必定为单调函数

(B)设f'(x)为单调函数，则f(x)也为单调函数

(C)设f(x)在(a，b)内只有一个驻点x₀，则此x₀必为f(x)的极值点

(D)设f(x)在(a，b)内可导且只有一个极值点x₀，则f'(x₀)=0

解:可导函数的极值点必定是函数的驻点，故选(D).

注意:函数的单调性与导函数的符号有关，但函数的单调性与导函数的单调性却并无关系，故(A)、(B)都不对.又可导函数的极值点必定是函数的驻点，但反之，函数的驻点，未必是它的极值点，如y=x³在(－∞，+∞)内有唯一驻点x=0，但x=0不是它的极值点，故(C)也不对.

【例1.2-37】若f(x)在(a，b)内满足f'(x)＜0，f″(x)＞0，则曲线y=f(x)在(a，b)内是(　).

(A)单调上升且是凹的　(B)单调下降且是凹的

(C)单调上升且是凸的　(D)单调下降且是凸的

解:由f'(x)＜0及函数单调性的判定法，知曲线是单调下降的.

又由f″(x)＞0及曲线凹、凸性的判定法，知曲线是凹的，故选(B).

【例1.2-38】已知函数y=f(x)对一切x满足xf″(x)+3x［f'(x)］²=1－e^－x，若f'(x₀)=0(x₀≠0)，则(　).

(A)f(x₀)是f(x)的极大值

(B)f(x₀)是f(x)的极小值

(C)(x₀，f(x₀))是曲线y=f(x)的拐点

(D)f(x₀)不是f(x)的极值，(x₀，f(x₀))也不是曲线y=f(x)的拐点

解:x=x₀是f(x)的驻点，又f″(x₀)=(1－e^－x0)＞0，故f(x₀)是f(x)的极小值，应选(B).

【例1.2-39】函数f(x)=asinx+处取得极值，a的值应为(　).

(A)－2(B)2

解:按可导函数取得极值的必要条件:f'(x₀)=acosx₀+cos3x₀=0，代入x₀=，便得a=2，故选(B).

【例1.2-40】=1，则f(x)在x=a处(　).

(A)导数存在，但f'(a)≠0　(B)取得极大值

(C)取得极小值　　　　　　(D)导数不存在

解:由假设，知f(x)－f(a)=(x－a)²+o((x－a)²)，由此可得f(x)在x=a处取得极小值，且导数存在，f'(a)=0，故选(C).