偏导数全微分

1.2.6　偏导数全微分

1.偏导数

(1)偏导数概念

函数z=f(x，y)对x、y的偏导数依次记作(或f_y(x，y))，它们的定义如下:

类似地，可以定义三元函数f(x，y，z)的偏导数f_x(x，y，z)、f_y(x，y，z)、f_z(x，y，z)等.

按定义，偏导数的求法仍属一元函数微分法的问题.

(2)多元复合函数的求导法则

设u=φ(x，y)、v=ψ(x，y)均具有偏导数，而z=f(u，v)具有连续偏导数，则复合函数z= f［φ(x，y)，ψ(x，y)］的偏导数存在，且

上面这一求导法则，简称为2×2法则或标准法则.从这标准法则的公式结构，可得它的特征如下:

①由于函数z=f［φ(x，y)，ψ(x，y)］有两个自变量，所以法则中包含的两个偏导数公式;

②由于函数的复合结构中有两个中间变量，所以每一偏导数公式都是两项之和，这两项分别含有

③每一项的构成与一元复合函数的求导法则相类似，即“因变量对中间变量的导数再乘以中间变量对自变量的导数”.

由此可见，掌握多元复合函数的求导法则的关键是弄清函数的复合结构，哪些是中间变量，哪些是自变量.为直观地显示变量之间的复合结构，可用结构图(或称树形图)1.2-1来表示出因变量z经过中间变量u、v再通向自变量x、y的各条途径.

图1.2-1

按照上述标准法则的三个特征，我们可以将多元复合函数的求导法则推广.

如，特别当u=φ(x)，v=ψ(x)，z=f(u，v)时，由于函数z= f［φ(x)，ψ(x)］只有一个自变量，偏导数变成导数(这时称为全导数);函数复合结构中有两个中间变量，所以全导数公式中是两项之和;每项构成与一元复合函数求导法则类似.于是，有全导数公式

又如，u=φ(x，y)，v=ψ(y)，z=f(u，v)，复合函数z=f［φ(x，y)，ψ(y)］的结构图如图1.2-2所示.类似地依以上分析，则有

图1.2-2

(3)隐函数求导法则

设方程F(x，y，z)=0确定一个隐函数z=f(x，y)，函数F(x，y，z)具有连续偏导数且F_z≠0，则有

(4)高阶偏导数

二阶及二阶以上的偏导数统称高阶偏导数，如z=f(x，y)的二阶偏导数按求导次序不同有下列4个:

2.全微分

(1)全微分概念

若函数z=f(x，y)的全增量

Δz=f(x+Δx，y+Δy)－f(x，y)=AΔx+BΔy+o(ρ)，

其中A，B仅与x，y有关，而ρ=+(Δy)²，则称函数z=f(x，y)在点(x，y)可微分，并称AΔx+BΔy为函数z=f(x，y)在点(x，y)的全微分，记作dz，即

dz=AΔx+BΔy.

(2)函数可微分的条件

若函数z=f(x，y)在点(x，y)可微分，则偏导数必定存在，且全微分

函数可微分的充分条件是函数具有连续偏导数.

习惯上，记Δx=dx，Δy=dy，故

3.多元函数连续、可偏导、可微分的关系

对于一元函数来说，函数可导必定连续，而可导与可微分两者是等价的.但对于多元函数来说，可(偏)导(即存在偏导数)与连续没有必然的联系，可(偏)导与可微分也并不等价.多元函数可微分必定可(偏)导，但反之不真.当偏导数存在且连续时，函数必定可微分.

上述多元函数连续、可(偏)导与可微分的关系，可用图1.2-3表示.

4.偏导数的应用

(1)空间曲线的切线与法平面

空间曲线Γ:

图1.2-3

在对应参数t=t₀的点(x₀，y₀，z₀)处的切线方程为

法平面方程为

φ'(t₀)(x－x₀)+ψ'(t₀)(y－y₀)+ω'(t₀)(z－z₀)=0.

(2)曲面的切平面与法线

曲面Σ:F(x，y，z)=0在其上一点M(x₀，y₀，z₀)处的切平面方程为

F_x(x₀，y₀，z₀)(x－x₀)+F_y(x₀，y₀，z₀)(y－y₀)+F_z(x₀，y₀，z₀)(z－z₀)=0，

法线方程是

(3)多元函数的极值

定义设函数z=f(x，y)的定义域为D，P₀(x₀，y₀)为D的内点.若存在P₀的某个邻域U(P₀)＞D，使得对于该邻域内异于P₀的任何点P(x，y)，都有

f(x，y)＜f(x₀，y₀)，则称函数f(x，y)在点(x₀，y₀)有极大值f(x₀，y₀)，点(x₀，y₀)称为函数f(x，y)的极大值点;若对于该邻域内异于P₀的任何点P(x，y)，都有

f(x，y)＞f(x₀，y₀)，则称函数f(x，y)在点(x₀，y₀)有极小值f(x₀，y₀)，点(x₀，y₀)称为函数f(x，y)的极小值点.极大值、极小值统称为极值，使得函数取得极值的点称为极值点.

关于判定多元函数取得极值的必要条件、充分条件有以下定理.

定理1(必要条件)设z=f(x，y)在点(x₀，y₀)具有偏导数，则它在点(x₀，y₀)取得极值的必要条件是

f_x(x₀，y₀)=0，f_y(x₀，y₀)=0.

定理2(充分条件)设z=f(x，y)在点(x₀，y₀)的某邻域内具有二阶连续偏导数，且

f_x(x₀，y₀)=f_y(x₀，y₀)=0，f_xx(x₀，y₀)=A，f_xy(x₀，y₀)=B，f_yy(x₀，y₀)=C.则有:

①当AC－B²＞0时，具有极值f(x₀，y₀)，且当A＜0时，f(x₀，y₀)为极大值，当A＞0时，f(x₀，y₀)为极小值;

②当AC－B²＜0时，f(x₀，y₀)不是极值.

(4)条件极值

对函数的自变量具有约束条件的极值问题，称为条件极值问题.对于有些条件极值问题，可以利用约束条件将问题化为无条件极值问题;一般地，则采用拉格朗日乘数法求解.

拉格朗日乘数法:要求函数z=f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的可能极值点，可先作拉格朗日函数

F(x，y)=f(x，y)+λφ(x，y)，

其中λ为参数;再解方程组

得到x、y及λ，则这样得到的(x，y)就是函数f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的可能极值点.

拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个、约束条件多于一个的情形.

(5)多元函数的最大值和最小值

设函数f(x，y)在有界闭区域D上连续、在D内可微分且只有有限个驻点.求f(x，y)在D上的最大、最小值的一般方法是:

①求f(x，y)在D内的一切驻点，并计算函数在这些驻点处的函数值;

②求函数f(x，y)在D的边界上的最大、最小值;

③将由①、②中所得的函数值进行比较，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值.

实际问题中往往可根据问题的性质知道，函数的最大(小)值一定在D的内部取得，而函数在D内只有一个驻点，则可以肯定该驻点处的函数值就是函数f(x，y)在D上的最大(小)值.

【例1.2-46】下列结论正确的是(　).

(A)z=f(x，y)在点(x，y)的偏导数存在是f(x，y)在该点连续的充分条件

(B)z=f(x，y)在点(x，y)连续是f(x，y)的偏导数存在的必要条件

(C)z=f(x，y)在点(x，y)的偏导数存在是f(x，y)在该点可微分的充分条件

(D)z=(x，y)在点(x，y)连续是f(x，y)在该点可微分的必要条件

解:由z=f(x，y)在点(x，y)可微分的定义知，函数在一点可微分必定函数在该点连续，故(D)正确.

本题也可由如下分析得出结论:多元函数存在偏导数与函数连续没有必然联系，故(A)、(B)都不正确;多元函数存在偏导数与函数可微分也并不等价.由函数可微分可推知函数的偏导数必定存在;但反过来，由函数的偏导数存在，不能得出函数可微分的结论，故(C)也不正确，因此，应选(D).

【例1.2-47】求曲线x=t，y=t²，z=t³在点(1，1，1)处的切线及法平面方程.

解:因x't=1，y't=2t，z't=3t²，点(1，1，1)所对应的参数t=1，故曲线的切向量τ=(1，2，3).于是，切线方程为

法平面方程为

(x－1)+2(y－1)+3(z－1)=0，

即x+2y+3z－6=0.

【例1.2-48】球面x²+y²+z²=14在点(1，2，3)处的切平面方程是(　).

(A)(x－1)+2(y－2)－(z－3)=0　(B)(x+1)+2(y+2)+3(z+3)=0

(C)(x－1)+2(y－2)+3(z－3)=0　(D)(x+1)+2(y+2)－(z+3)=0

解:F(x，y，z)=x²+y²+z²－14，曲面的法向量n=(F_x，F_y，F_z)=(2x，2y，2z)，n|_(1，2，3)=(2，4，6)，故曲面在点(1，2，3)处的切平面方程是(C).

【例1.2-49】曲面z=x²－y²在点(，－1，1)处的法线方程是(　).

解:设F(x，y，z)=x²－y²－z，则

F_x=2x，F_y=－2y，F_z=－1.

曲面在点(，－1，1)处的法线的方向向量s=(，2，－1)，故选(C).

【例1.2-50】求函数f(x，y)=x³－y³+3x²+3y²－9x的极值.

解:(1)先求驻点:

解得驻点(1，0)，(1，2)，(－3，0)，(－3，2).

(2)求二阶偏导数:f_xx=6x+6，f_xy=0，f_yy=－6y+6，在点(1，0)处，AC－B²=12·6＞0，又A＞0，故有极小值f(1，0)=－5;在点(1，2)处，AC－B²=12(－6)＜0，故f(1，2)不是极值;在点(－3，0)处，AC－B²=－12·6＜0，故f(－3，0)不是极值;在点(－3，2)处，AC－B²=－12(－6)＞0，又A＜0，故有极大值f(－3，2)=31.

【例1.2-51】求表面积为a²而体积为最大的长方体的体积.

解:设长方形的三棱长为x、y、z，则问题就是在条件φ(x，y，z)=2xy+2xz+2yz－a²=0下，求函数V=xyz(x＞0，y＞0，z＞0)的最大值.

作拉格朗日函数

F(x，y，z)=xyz+λ(2xy+2xz+2yz－a²)，

解方程组

得x=y=z=这是唯一可能的极值点，由于问题本身可知最大值一定存在，所以最大值必在这个可能极值点处取得，即

【例1.2-52】某厂要用铁板做成一个体积为2m³的有盖长方体水箱.问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，所用材料最省.

解:设水箱的长为xm，宽为ym，则其高为m，此水箱所用材料的面积为

解这方程组得x=y=，从而高也为由于水箱所用材料面积的最小值一定存在，并在开区域D={(x，y)|x＞0，y＞0}内部取得，函数在D内只有唯一驻点，故可断定当水箱的长、宽、高均为m时，水箱所用材料最省.