不规则曲线图形的面积怎么算

1.3.3　定积分的应用

1.平面图形的面积

(1)直角坐标情形

设平面图形由曲线y=f(x)，y=g(x)(f(x)≥g(x))和直线x=a，x=b所围成(图1.3-1),则其面积

图1.3-1

图1.3-2

(2)极坐标情形

设平面图形由曲线ρ=φ(θ)及射线θ=α，θ=β所围成(图1.3-2)，则其面积

2.旋转体的体积

设旋转体由曲线y=f(x)与直线x=a，x=b及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周而成(图1.3-3)，则其体积

3.平面曲线的弧长

(1)直角坐标情形

设曲线的方程为y=f(x)(a≤x≤b)，f(x)在［a，b］上具有一阶连续导数，则其弧长

图1.3-3

(2)参数方程情形

设曲线的参数方程为x=φ(t)，y=ψ(t)(α≤t≤β)，φ(t)，ψ(t)在［α，β］上具有连续导数，则其弧长

(3)极坐标情形

设曲线的极坐标方程为ρ=ρ(θ)(α≤θ≤β)，ρ(θ)在［α，β］上具有连续导数，则其弧长

【例1.3-27】计算由两条抛物线:y²=x，y=x²所围成的图形的面积.

解:两条抛物线所围成的图形如图1.3-4所示，x的变化区间为［0，1］，所求面积为

图1.3-4

图1.3-5

【例1.3-28】计算心形线ρ=a(1+cosθ)(a＞0)所围成的图形的面积.

解:心形线所围成的图形如图1.3-5所示，θ的变化区间为［－π，π］.所求面积为

【例1.3-29】计算由椭圆=1所围成的图形绕x轴旋转而成的旋转椭球体的体积为(　).

解:这个旋转体也可看做是由半个椭圆

及x轴围成的图形绕x轴旋转而成.x的变化区间为［－a，a］，所求体积为

故应选(C).

【例1.3-30】求悬链线y=cch介于x=－b与x=b之间的一段弧的长度.

解:x的变化区间为［－b，b］，y'=sh，从而所求弧长为

【例1.3-31】计算摆线x=a(θ－sinθ)，y=a(1－cosθ)的一拱(0≤θ≤2π)(图1.3-6)的长度.

图1.3-6

解:θ的变化区间为［0，2π］，x'(θ)=a(1－cosθ)，y'(θ)=asinθ，所以弧长为

【例1.3-32】设曲线y=与直线y=x及x=2所围图形的面积为A，则计算A的积分表达式为(　).

图1.3-7

解:三条曲线y=、y=x及x=2所围成的图形如图1.3-7所示，故所求面积

应选(B).