【摘要】：称为一阶线性方程.当Q≡0时，式称为线性齐次方程;当Q不恒等于零时，式称为线性非齐次方程.将质量为m的物体在空气中竖直上抛，初速度为v0，若空气阻力与物体的速度v成正比，比例系数为k，g为重力加速度.v所满足的微分方程及初始条件是( ).解:物体竖直上抛时，所受的外力有两个，一是空气阻力，一是物体的重力.这两个力的方向都与物体运动方向相反.由牛顿第二定律知，应选.
1.5.4 一阶线性方程
称为一阶线性方程.当Q(x)≡0时，式(1.5-4)称为线性齐次方程;当Q(x)不恒等于零时，式(1.5-4)称为线性非齐次方程.
线性齐次方程y'+P(x)y=0是一个变量可分离的方程.经分离变量并积分，得通解
非齐次方程(1.5-4)的通解为
【例1.5-5】求方程(x+1)y'－2y=(x+1)4的通解.
解:利用一阶线性方程的通解公式(1.5-5)来求解，为此，把所给方程写成标准形式
这里，P(x)=－
，Q(x)=(x+1)3，
代入公式(1.5-5)，得
y=(x+1)2∫(x+1)3(x+1)－2d[] x+C，
【例1.5-6】已知微分方程y'－
的一个特解为y*=
，则此微分方程的通解是( ).
解:原方程对应的齐次方程的通解为
根据线性方程解的结构可知原微分方程的通解为
故应选(C).
【例1.5-7】将质量为m的物体在空气中竖直上抛，初速度为v0，若空气阻力与物体的速度v(t)(t是时间)成正比，比例系数为k，g为重力加速度.v(t)所满足的微分方程及初始条件是( ).
解:物体竖直上抛时，所受的外力有两个，一是空气阻力，一是物体的重力.这两个力的方向都与物体运动方向相反.由牛顿第二定律知，应选(C).
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