线性方程组

1.6.4　线性方程组

线性方程组是二元一次、三元一次方程组的推广形式.要求掌握解的讨论、解的性质、解的结构与求解方法.

1.线性方程组

由n个未知数，m个一次方程构成的方程组

称为线性方程组.借助于矩阵与向量，线性方程组可以表示成向量方程(即矩阵方程):

Ax=b，

其中m×n矩阵A称为系数矩阵，列向量x为未知向量，即

向量方程Ax=b的解称为线性方程组的解向量.

当常数向量b=0时，称Ax=0为齐次线性方程组;当常数向量b≠0时，称Ax=b为非齐次线性方程组.

线性方程组与向量组的线性表示、线性相关与线性无关存在内在的联系.设向量组A由m个n维行向量α₁，α₂，…，α_m构成，其中

α_i=(a_i1，a_i2，…，a_in)，i=1，…，m.

行向量组A对应的矩阵是m×n矩阵A.在1.6.3的2中曾经借助于矩阵的乘法来表达线性表示、线性相关与线性无关这三个概念.现在用线性方程组来表达这三个概念.

线性表示的定义可以等价地表示成:非齐次线性方程组A^Tx=β^T有解，其中系数矩阵A^T是n×m矩阵，行向量β=(b₁，b₂，…，b_n).要注意，这个非齐次线性方程组未知数的个数是m，方程的个数是n.线性相关的定义可以等价地表示成:齐次线性方程组A^Tx=0有非零解，其中零向量0是n维列向量.线性无关的定义可以等价地表示成:齐次线性方程组A^Tx=0无非零解.

对于齐次线性方程组Ax=0，零向量总是它的一个解，称这个解为零解.如果非零向量x₀是Ax=0的解(即满足Ax₀=0)，那么称这个非零向量x₀为非零解.

以下假定系数矩阵A是m×n矩阵，即未知数个数=n，方程个数=m，记A的秩R(A)= r，记s=n－r.

2.线性方程组解的讨论

对于齐次与非齐次线性方程组解的讨论对象是不同的.

(1)齐次线性方程组

给定齐次线性方程组Ax=0.

①Ax=0有非零解的充分必要条件是R(A)=r＜n.

②Ax=0无非零解的充分必要条件是R(A)=r=n.

③当m＜n时，Ax=0必定有非零解.

(2)非齐次线性方程组

给定非齐次线性方程组Ax=b.如果方程组有解，那么称它是相容的;如果方程组无解，那么称它是不相容的.记m×(n+1)矩阵

并称～A为非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵.

①Ax=b有解的充分必要条件是R(～A)=R(A)=r.

②Ax=b有唯一解的充分必要条件是R(～A)=R(A)=r=n.

③Ax=b有无限多个解的充分必要条件是R(～A)=R(A)=r＜n.

④Ax=b无解的充分必要条件是R(～A)＞R(A).

增广矩阵～A是在系数矩阵A的基础上增加一列得到的，因此增广矩阵～A的秩或者等于R(A)，或者等于R(A)+1.

3.线性方程组解的性质

齐次与非齐次线性方程组解的性质有本质的差异.

①如果x=ξ₁，x=ξ₂，…，x=ξ_t是齐次线性方程组Ax=0的解，那么任意一个线性组合k₁ξ₁+k₂ξ₂+…+k_tξ_t依然是Ax=0的解.

②如果x=η₁，x=η₂，…，x=η_t是非齐次线性方程组Ax=b的解，那么，当k_i=1时，k₁η₁+k₂η₂+…+k_tη_t是Ax=b的解;当k_i=0时，k₁η₁+k₂η₂+…+k_tη_t是Ax=0的解.

③如果x=ξ是Ax=0的解，η是Ax=b的解，那么ξ+η是Ax=b的解.

4.线性方程组解的结构

在齐次或非齐次线性方程组中，常常遇到有无限多个解，需要写出通解(假定r＜n).

(1)齐次线性方程组

给定齐次线性方程组Ax=0.它的全体解向量所构成的向量组记作S.称解向量组S的最大无关组为齐次线性方程组Ax=0的基础解系.解向量组S的秩s=n－r.记基础解系为ξ₁，…，ξ_s.Ax=0的通解为

x=k₁ξ₁+k₂ξ₂+…+k_sξ_s，

其中k₁，…，k_s为任意数.

基础解系ξ₁，ξ₂，…，ξ_s必定满足以下三个条件.

①ξ₁，ξ₂，…，ξ_s是Ax=0的解.

②ξ₁，ξ₂，…，ξ_s线性无关.

③如果ξ是Ax=0的解，那么ξ必定可以用ξ₁，ξ₂，…，ξ_s线性表示.反之，满足上述三个条件的向量组必定是Ax=0的基础解系.基础解系一般不唯一，但是基础解系所含向量个数是唯一的，它必定等于s=n－r.

(2)非齐次线性方程组

给定非齐次线性方程组Ax=b.如果η是Ax=b的某个解，ξ₁，ξ₂，…，ξ_s是Ax=0的基础解系，那么Ax=b的通解为

x=k₁ξ₁+k₂ξ₂+…+k_sξ_s+η，

其中k₁，…，k_s为任意数.

非齐次线性方程组不存在基础解系.

5.解线性方程组

用初等变换不仅可以知道线性方程组解的情况，而且可以求出它的通解.

对齐次线性方程组Ax=0，通过对系数矩阵A作行初等变换，变成行阶梯形即可知道它是否有非零解，在有非零解的情形下，变成行最简形即能写出它的通解.

对非齐次线性方程组Ax=b，通过对增广矩阵～A作行初等变换，变成行阶梯形即可知道它是否有解，在有解的情形下，变成行最简形即能写出它的通解.

【例1.6-30】齐次线性方程组

是否有非零解?如果有非零解，求出方程组的通解.

解:对系数矩阵A作行初等变换，把它变成行阶梯形:

由于n=4，r=R(A)=2，r＜n，因此齐次方程组必有非零解.继续作行初等变换，把A变成行最简形:

齐次线性方程组Ax=0与Bx=0是同解方程组，即与

同解.令x₂=k₁，x₄=k₂便得Ax=0的通解

其中k₁，k₂是任意数.

在本题中，由于m=3，n=4，m＜n，因此立即可以推出Ax=0必有非零解.另外，通解中的两个解向量

ξ₁=［1，1，0，0］^T，ξ₂=［1，0，2，1］^T

是齐次线性方程组Ax=0的基础解系.

【例1.6-31】讨论非齐次线性方程组

解的情况.如果有无限多个解，求出方程组的通解.

解:对增广矩阵～A作行初等变换，把它变成行阶梯形:

由于n=4，R(～A)=2，R(A)=2=r，r＜n，因此非齐次线性方程组必有无限多个解.继续作行初等变换，把～A变成行最简形:

原方程组与

是同解方程组.令x₂=k₁，x₃=k₂，便得通解

其中k₁，k₂是任意数.

在本题中，η=［1，0，0，0］^T是非齐次线性方程组的一个特解，而

ξ₁=［－1，1，0，0］^T，ξ₂=［2，0，1，0］^T

是相应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系.

【例1.6-32】当λ取何值时，非齐次线性方程组

有解?无解?有唯一解?有无限多个解?如果有无限多个解，求出方程组的通解.

解:对增广矩阵作行初等变换，把它变成行阶梯形:

当λ≠0，λ≠－3时，R(～A)=3，R(A)=3=n，因此非齐次线性方程组有唯一解.当λ=0时，R(～A)=2，R(A)=1，方程组无解.当λ≠0时，R(～A)=R(A)，方程组有解.当λ=－3时，R(～A)=2，R(A)=2=r＜n，方程组有无限多个解.

当λ=－3时，对继续作行初等变换，把变成行最简形:

原方程组与

是同解方程组.令x₃=k₁，便得通解

其中k₁是任意数.

在本题中，m=n=3，即方程个数与未知数个数相等.在这种情形下，也可以用行列式来讨论，以回避带有字母λ的初等变换.由系数矩阵A的行列式

推得λ≠0，λ≠－3时方程组有唯一解.对于λ=0，λ=－3的情况分别用初等变换讨论.

【例1.6-33】设A是4×5矩阵，ξ₁，ξ₂是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，则下列结论正确的是(　).

(A)ξ₁－ξ₂，ξ₁+2ξ₂也是Ax=0的基础解系

(B)k₁ξ₁+k₁ξ₂是Ax=0的通解

(C)k₁ξ₁+ξ₂是Ax=0的通解

(D)ξ₁－ξ₂，ξ₂－ξ₁也是Ax=0的基础解系

解:由题设知道，n=5，s=n－r=2，r=3.(B)不正确，因为k₁ξ₁+k₁ξ₂=k₁(ξ₁+ξ₂)只含有一个不定常数.同样理由说明(C)也不正确.(D)不正确，因为

(ξ₁－ξ₂)+(ξ₂+ξ₁)=0，

这表明ξ₁－ξ₂与ξ₂－ξ₁线性相关.(A)正确，因为ξ₁－ξ₂与ξ₁+2ξ₂都是Ax=0的解，且它们线性无关，故选(A).

在本题中要注意，当s=n－r已知时，齐次线性方程组的任意s个线性无关的解向量都构成基础解系.

【例1.6-34】已知非齐次线性方程组

有两个不同的解，则增广矩阵～A的秩等于(　).

(A)1　(B)2　(C)3　(D)秩与a，b，c，d的值有关

解:由题设知道，n=3.由于系数矩阵A中有2阶子式

因此，r=R(A)≥2.因为方程组有2个不同的解蕴含了它有无限多个解，所以R(～A)=R(A)= r＜3=n，综合起来得到r=R(～A)=2.故选(B).