一维简谐波表达式

2.2.3　一维简谐波表达式

1.一维简谐波表达式的建立

这里的一维是指波沿一个固定方向传播;简谐波是指波源以及传播媒质中的各质元均作简谐振动。由于一维简谐波的波阵面是平面，所以又称其为平面简谐波。有些教材也将波动表达式称为波动方程或波函数。若一维简谐波沿x轴传播，则其表达式可以记为y(x，t)，位移y既是时间的函数也是坐标的函数。

图2.2-1

如图2.2-1所示，设有一平面简谐波沿x轴正方向传播，波速为u，坐标原点O处的媒质质元t时刻的位移记为

y(0，t)=Acos(ωt+φ)(2.2-6)波从原点O处传到坐标为x的任意点P处所需时间为

或者说，P点处媒质质元的振动状态要比原点O处媒质质元的振动状态滞后τ时间。进一步说，坐标为x的P点处的媒质质元t时刻的位移y(x，t)应该等于原点O处的媒质质元(t－τ)时刻的位移y(0，t－τ)，即

y(x，t)=y(0，t－τ)=Acos［ω(t－τ)+φ］(2.2-8)

将(2.2-7)式代入到(2.2-8)式中，得到

由于P点的任意性，(2.2-9)式就是一维平面简谐波的表达式。考虑到(2.2-1)式和(2.2-2)式，一维平面简谐波的表达式还可以写成

或

如果波沿x轴负方向传播，P点处媒质质元的振动状态要比原点O处媒质质元的振动状态超前τ时间，坐标为x的P点处的媒质质元、t时刻的位移y(x，t)应该等于原点O处的媒质质元、(t+τ)时刻的位移y(0，t+τ)，于是有

这就是沿x轴负方向传播的一维平面简谐波的表达式。将(2.2-12)式与式(2.2-9)对比可知，形如(2.2-10)式与(2.2-11)式的x轴负向波表达式只需将式中x前面的负号换成正号即可。

2.一维简谐波表达式y(x，t)的意义

一维简谐波表达式y(x，t)的意义如下:

①当x=x₀时，y(x₀，t)给出x₀处媒质质元的位移与时间的变化关系，即y(x₀，t)表示x₀处的振动方程;

②当t=t₀时，y(x，t₀)给出t₀时刻沿传播方向上各个媒质质元的位移分布情况，即y(x，t₀)表示t₀时刻的波形方程;

图2.2-2

③当坐标和时间都不固定时，y(x，t)给出波形的平移，即波动。如图2.2-2所示，波沿x轴正向传播，实线为t时刻的波形，虚线为t+Δt时刻的波形。经过Δt时间，波形向右平移了uΔt距离。

一维简谐波表达式y(x，t)中含有因子，其特征是同时包含时间和坐标，含有这种因子的表达式所描述的波是随时间行进的波，称其为行波，因子称为行波因子，上面的一维简谐波也可称为一维简谐行波。

3.一维简谐波表达式y(x，t)的用途

(1)求描述波的各物理量

形如(2.2-9)式、(2.2-10)式等的各表达式可以称作波的标准形式，如果题目给出的波是用具体数值表示的，要求振幅、周期等物理量时，可写出对应的波的标准形式，这样可以通过对比的方式，经过简单计算得出所求物理量。

(2)求波线上两点间的相位差

设波沿x轴正向传播，在x轴上任意取两点x₁和x₂，按(2.2-10)式用x₂点的相位减去x₁点的相位，得相位差

若x₂＞x₁，则Δφ＜0，这表示沿波的传播方向，后面的点比前面的点相位滞后;反之，若x₂＜x₁，则Δφ＞0，表示前面的点比后面的点相位超前。这一点对于深刻理解波的物理图像至关重要。依此，可以由一点的振动方程写出波动方程。在讨论波的干涉时，也要用到这一概念。

(3)求某一媒质质元的振动速度和加速度

坐标为x处的媒质质元的振动速度是位移对时间的一阶偏导数，即

振动加速度是位移对时间的二阶偏导数

【例2.2-1】若一平面简谐波的表达式为y=0.03cos6π(t+0.01x)(SI)，则下面结果中正确的是(　)。

(A)振幅为3m　(B)周期为1/3s　(C)波速为10m/s　(D)传播方向为x轴正向

解:对比标准形式y(x，t)=Acos，可知:(A)振幅A=0.03m;(B)角频率ω=6π，周期T=2π/ω=1/3s;(C)0.01=1/u，波速u=100m/s;(D)式中x前面为正号，传播方向为x轴负向。初相φ=0。正确答案应为(B)。