一般力系的简化与平衡

4.1.5　一般力系的简化与平衡

1.力的平移定理

设物体的某一平面上有一作用于A点的力F，现要将F平行地搬移至指定点O。如图4.1-7所示。则可在O点作用一对平衡力(F'，F″)，其中F'=F，F″=－F，显见F和F″构成了力偶(F，F″)，其力偶矩m=Fd，等于原力F对O点的力矩。这样，作用于O点的力F'和力偶矩m与原作用于A点的力F等效。于是得到如下定理:一个力可从原来的作用位置平行移动到另一指定点，但须在该力与该指定点所组成的平面内附加一个力偶，其力偶矩等于原力对指定点的矩。即m=m_O(F)这就是力的平移定理。如果把图4.1-7由后图向前看，即共面的一个力F'与一矩为m的力偶可合成为一个合力F，F的大小、方向与原力F'相等，其间的距离d=|m|/F。

图4.1-7

2.任意力系的简化

(1)简化的一段结果

设有一任意力系F₁、F₂、…、F_n，分别作用于A₁、A₂、…、A_n。现应用力的平移定理将各力向简化中心O点平移，于是原力系与一个通过O点的汇交力系和一个附加力偶系等效。这样就可得任意力系简化的一般结果为

力矢R'称为原力系的主矢，它的大小和方向与简化中心位置无关;力偶矩矢MO(或力偶矩M_O)称为原力系对简化中心O点的主矩，一般地说与简化中心位置有关。

(2)合成的最后结果

任意力系(包括空间和平面)向一点简化后，其最后合成结果可能出现表4.1-5所列出的几种情况。

表4.1-5　任意力系的合成

表中，中心轴是指组成力螺旋的力的作用线。

因平面任意力系是空间任意力系的特殊情况，其向O点简化的主矩可视为垂直于力系作用平面的一个主矩矢，因此上表4.1-5(除力螺旋外)所述亦可适用于平面任意力系。

当任意力系合成为一合力R时，则有

m_O(R)=Σm_O(F_i)

m_Z(R)=Σm_Z(F_i)即合力对任一点(或任一轴如z轴)之矩，等于力系中各力对同一点(或同一轴)之矩的矢量和(或代数和)，并称之为合力矩定理。对于平面力系，合力矩定理可表示为

m_O(R)=Σm_O(F_i)

在计算力对坐标轴之矩时，应用合力矩定理，常可使计算简化。这时，可先将原力沿坐标轴分解为三个分力，然后计算各分力对坐标轴之矩。

由于平行力系是任意力系的特殊情况，故任意力系的合成结果也适用于平行力系。

(3)平行分布的线荷载的合成

沿物体中心线分布的平行力，称为平行分布线荷载，简称线荷载。沿单位长度分布的线荷载称为线荷载集度，以q表示。其单位为N/m(牛/米)或kN/m(千牛/米)。

同向线荷载合成结果为一合力R，该合力的大小和作用线位置可通过求积分的方法和合力矩定理求得。

均匀分布和线性分布的线荷载的合成结果如图4.1-8所示。

图4.1-8

3.力系的平衡条件与平衡方程

任意力系平衡的必要和充分条件是:力系的主矢与力系对任一点的主矩都等于零，即

R'=0，Σm_O(F_i)=0

据此得出表4.1-6所列出的各组平衡方程。但应当指出，在空间任意力系和空间平行力系的平衡方程组中，其投影方程亦可用对轴的力矩方程来替代。当然，该力矩方程必须是独立的平衡方程，即可用它来求解未知量的平衡方程。

表4.1-6　力系的平衡方程

续表

【例4.1-4】有一刚架，所受荷载及支承情况如图4.1-9(a)所示，试求支座A及B处的反力。

图4.1-9

解:画出刚架的示力图如图4.1-9(b)。图中已将铰支座A处的反力分解成水平的及铅直的分力X_A、Y_A，所有反力的指向都是假设的。

本题中有一个力偶荷载。由力偶的性质可知:①因力偶的两个力大小相等，方向相反，两个力的投影之和为零，故写投影方程时不必考虑力偶;②力偶对于任一点的矩都等于力偶矩，故写力矩方程时，可直接将力偶矩m列入。

首先以A点为矩心，写力矩方程

ΣM_A(F_i)=0:R_B2b－Pa－Qb－m=0

由此得

然后以水平方向为x轴，铅直方向为y轴，写投影方程

ΣX_i=0:X_A+P=0

ΣY_i=0:Y_A+R_B－Q=0

于是得

由ΣM_B(F_i)=0也可直接求出Y_A，作为校核。

【例4.1-5】梁AC用三根连杆支承，并受荷载如图4.1-10(a)所示。已知P₁=20kN，P₂=40kN，试求每根连杆所受的力，图中长度单位是m。

解:考虑梁的平衡，作示力图如图4.1-10(b)。假定连杆作用于梁的力如图所示，其相反方向的力就是连杆所受的力。

从示力图可以看出，如果首先用投影方程，则不论怎样选取投影轴，平衡方程中至少将包含两个未知数。为了使平衡方程中的未知数最少，便于求解，首先取R_B与R_C的交点O₁为矩心，由ΣM_O1(F_i)=0可直接求得R_A;再取R_A与R_B的交点O₂为矩心，由ΣM_O2(F_i)=0可直接求得R_C。最后由ΣX_i=0或ΣY_i=0求R_B。

在写力矩方程时，要善于应用力矩定理，将一个力分解成为两个分力，分别求其对于所选矩心的矩，以简化计算。

现在根据上面的分析进行计算。由ΣM_O1(F_i)=0有

P₁×6+P₂cos30°×2+P₂sin30°×4－R_Asin

45°×8－R_Acos45°×4=0

将P₁、P₂之值代入，解得

R_A=31.8kN

由ΣM_O2(F_i)=0有

R_C×6－P₂cos30°×4－P₂sin30°×2=0

解得R_C=29.8kN

最后由ΣX_i=0有

R_Acos45°－R_Bcos45°－P₂sin30°=0

解得R_B=3.5kN

写出ΣY_i=0可作为校核之用。或者，求出R_A之后，由ΣX_i=0求出R_B;再由ΣY_i=0求R_C。

对于每一具体问题，究竟宜用力矩方程抑或投影方程求解，应根据具体条件进行分析，总以简便为原则。

图4.1-10

图4.1-11

【例4.1-6】某厂房支承屋架和吊车梁的柱子(图4.1-11)下端固定，柱顶承受屋架传来的力P₁，牛腿上承受吊车梁传来的铅直力P₂及水平制动力T。如以柱脚中心为坐标原点O，铅直轴为z轴，x轴及y轴分别平行于柱脚的两边，如图所示，则力P₁及P₂均在yz平面内，与z轴距离分别为e₁=0.1m，e₂=0.34m，制动力T平行于x轴。已知P₁=120kN，P₂=300kN，T=25kN，h=6m。柱所受重力Q可认为沿z轴作用，且Q=40kN。试求基础对柱作用的约束力及力偶矩。

解:因柱埋得较深，基础可看做空间固定端支座。将基础对柱的约束力分解为沿三个坐标轴的分力X、Y及Z，约束力偶矩则用m_x、m_y、m_z表示。写出六个平衡方程:

ΣX_i=0:X－T=0

ΣY_i=0:Y=0

ΣZ_i=0:Z－P₁－P₂－Q=0

ΣM_x(F_i)=0:m_x+P₁e₁－P₂e₂=0ΣM_y(F_i)=0:m_y－Th=0ΣM_z(F_i)=0:m_z+Te₂=0

将各已知值代入，解得

X=25kN，Y=0，Z=460kN

m_x=90kN·m，m_y=150kN·m，m_z=－8.5kN·m

【例4.1-7】某冷却塔用三根铅直杆和三根斜杆支撑，如图4.1-12(a)。△ABC为等边三角形，边长等于a;各铅直杆长度也等于a;冷却塔重P;风压力为Q，其作用线平行于AC边并通过冷却塔中心线。试求各杆作用于冷却塔的力，假设各杆均可看做连杆。

图4.1-12

解:六根连杆作用于冷却塔的力分别以S₁、S₂、S₃、S₄、S₅及S₆表示，并假设都是压力，如图4.1-12(a)所示。

从示力图可以看出，如采用直角坐标系求解本题，将不可避免地需要求解一些联立方程。现在采用下述方法求解，计算将简单得多。

首先取AA'为矩轴，则除S₅外，其余各未知力，或与之相交，或与之平行，因而由ΣM_AA'=0可直接求出S₅。为了求出各力对于AA'的矩，将所有各力投影到水平面上，如图4.1-12(b)，其中S'₄=S₄cos45°，S'₅=S₅cos45°，S'₆=S₆cos45°。于是

将S'6=S₆cos45°及S'4=S₄cos45°代入，解得

再分别以AB、BC、CA为矩轴，写出力矩方程:

将上面求得的S₄、S₅及S₆之值代入，解得

以铅直轴为z轴，写出ΣZ_i=0，可以校核以上的计算无误。