轴向拉压杆的变形胡克定律

5.1.8　轴向拉压杆的变形胡克定律

1.轴向拉压杆的变形

杆件在轴向拉伸时，轴向伸长，横向缩短;而在轴向压缩时，轴向缩短，横向伸长。如图5.1-11所示。

图5.1-11

2.胡克定律

当应力不超过材料比例极限时，应力与应变成正比，即

式中E为材料的弹性模量。

或用轴力及杆件变形量表示为

式中EA为杆的抗拉(压)刚度，表示杆件抵抗拉、压弹性变形的能力。

3.泊松比

当应力不超过材料的比例极限时，横向线应变ε'与轴向线应变ε之比的绝对值为一常数，即

泊松比ν是材料的弹性常数之一，无量纲。

【例5.1-2】图5.1-12所示钢木组合三角架中，钢杆AB的直径d=28mm，许用应力［σ］₁=160MPa，弹性模量E₁=2×10⁵MPa;木杆BC的横截面为正方形，边长a=100mm，许用应力［σ］₂=5MPa，弹性模量E₂=1×10⁴MPa。A、B、C节点均为铰接，在节点B处作用一垂直荷载P。

图5.1-12

①若荷载P=36kN，试校核两杆的强度，并求节点B的位移;

②求该结构的许可荷载;

③若P等于许可荷载，计算钢杆的直径。

解:①校核两杆的强度。

先求各杆的内力。取节点B为脱离体，如图5.1-12(b)所示。由平衡条件:

∑X=0，N₂－N₁cosα=0

∑Y=0，N₁sinα－P=0

两杆横截面上的应力

所以，两杆均满足强度条件。

②求节点B的位移。

应先计算两杆在P力作用下的变形。

然后作变形位移图。结构变形后两杆仍应相交在一点，这就是变形的相容条件。因杆AB受拉力而伸长ΔL₁，B点移至新位置B₁;因杆CB受压力而缩短ΔL₂，B点移至新位置B₂。在小变形条件下，可用切线代替圆弧来确定节点B的新位置。即过B₁和B₂分别作AB₁和CB₂的垂线，两垂线的交点B'即为节点B的新位置，如图5.1-12(c)所示。从图中可看出:

B点的水平位移

δ_H=BB₂=ΔL₂=0.96mm(←)

B点的垂直位移

所以，B点的位移

③求结构的许可荷载［P］。

由强度条件，钢杆的许可轴力

相应的许可荷载

同理，木杆的许可轴力

［N₂］=A₂［σ］₂=100²×10^－6×5×10⁶=50kN

相应的许可荷载

为了保证两杆都能安全、正常地工作，结构的许可荷载应取上述［P］₁、［P］₂中的较小值，即

［P］=［P］₂=37.5kN

④重新选择钢杆的直径。

当P=［P］=37.5kN时，木杆的工作应力刚好等于许用应力，材料得到充分利用。但钢杆的工作应力比其许用应力小得多，表明它有多余的强度储备，故应重新选择钢杆的直径，使其达到既安全又经济的要求。由强度条件

于是，选取钢杆直径d=22mm，则钢杆的工作应力比其许用应力大2.8%，在工程上允许范围(±5%)以内。

【例5.1-3】如图5.1-13(a)所示结构，AB杆为钢杆，横截面面积A₁=500mm²，许用应力［σ］₁=160MPa，BC杆为铜杆，横截面面积A₂=700mm²，许用应力［σ］₂=100MPa。求该结构的许可荷载［P］。

解:①计算各杆轴力。

在B点附近将杆AB及杆BC截开，取B节点局部作为脱离体，受力图如图5.1-13(b)所示。设AB杆的轴力为N₁，BC杆的轴力为N₂，且均为拉力。

图5.1-13

由平衡条件

∑X=0，N₂sin60°－N₁sin30°=0

∑Y=0，N₁cos30°+N₂cos60°－P=0

解得

②计算各杆所能承受的许可轴力。根据强度条件≤［σ］，得各杆所能承受的最大轴力为

N_1max≤［σ］₁A₁=160×10⁶×500×10^－6=80kN

N_2max≤［σ］₂A₂=100×10⁶×700×10^－6=70kN

③计算两杆分别达到最大轴力时所对应的载荷。

P₂=2N₂≤2×70=140kN

④确定结构的许可载荷。

比较P₁和P₂，取其中的最小值作为结构的许可载荷，于是

［P］=92.4kN

分析与讨论:

①杆件的许可轴力［N］和结构的许可载荷［P］是两个不同的概念。因为结构中各杆件并不是同时达到危险状态，所以其许可载荷是由最先达到许可轴力的那根杆的强度所决定的。具体求解时，可根据各个杆件的内力达到其许可轴力时所相应的许可载荷，选其中的最小值作为整个结构的最大许可载荷。

②本例题若在求出各杆内力N₁P之后，由BC杆的强度条件

求出P≤140kN，然后再校核AB杆的强度:

强度不满足。所以应用AB杆的强度条件为

求得P≤92.4kN才是结构的许可载荷。比较前述介绍的方法与上述方法，显见本质上是相同的，但步骤上前者规范和简洁，因而宜采用前者为好。

③常见的一种错误解法。

根据两杆所能承受的最大轴力，由∑Y=0，即N₁cos30°+N₂cos60°－P=0来确定许可荷载［P］。

将N_1max≤［σ］₁A₁=80kN及N_2max≤［σ］₂A₂=70kN代入方程中，于是

这一解法的错误在于，其一，只考虑了平衡条件∑Y=0，而没有考虑∑X=0。若将N_1max、N_2max代入∑X=0方程中，可发现

∑X=－N_1maxsin30°+N_2maxsin60°≠0

这表明上述结果不能满足全部平衡条件，因而是不正确的。其二，是因为各杆不一定会同时达到危险状态。

【例5.1-4】图5.1-14(a)所示结构，水平杆CBD可视为刚性，在D点加垂直向下的力P;AB为钢杆，其直径d=30mm，a=1m，E=2×10⁵MPa，σ=200MPa。

_p

(1)若在AB杆上沿轴线方向贴有一电阻应变片，加力后测得其应变值ε=715×10^－6，求这时所加的力P的大小;

(2)若AB杆的许用应力［σ］=160MPa，试求结构的许可载荷及此时D点的垂直位移。

解:①求力P的大小。

取水平梁CBD为考察对象，作出受力图及结构的变形位移图如图5.1-14(b)，检验AB杆

［P］=N_1maxcos30°+N_2maxcos60°=80×=104.3kN的变形是否在线弹性范围之内。

图5.1-14

所以钢杆变形在线弹性范围之内。因此AB杆中的应力

σ=Eε=2×10¹¹×715×10^－6=143MPa

AB杆中的轴力

由平衡条件∑M_C=0，即

P×2a－N×a=0

求得

②求许可荷载及D点位移。

由AB杆的强度条件，求得杆的许可轴力为

并将其代入平衡方程，得许可载荷

由变形位移图，可得D点的垂直位移

分析与讨论:

①在已知应变求应力的问题中，首先应判断变形是否在线弹性范围之内，切忌盲目使用胡克定律。

②本题求解中，受力图及变形位移图是列平衡方程和建立变形协调关系的依据，一定要正确画出这两种图。

【例5.1-5】图5.1-15(a)所示结构，横梁ABCD为刚体，横截面面积为76.36mm²的钢索绕过无摩擦的滑轮，弹性模量E=2×10⁵MPa，荷载P=20kN。试求钢索内的应力和C点的垂直位移。

解:取横梁AD为考察对象，作出受力图及结构变形位移图，如图5.1-15(b)所示。

由平衡条件∑M_A=0，得

Nsin60°×800+Nsin60°×1600－P×1300=0

求得钢索拉力

N=12.51kN

则钢索内的应力

由变形位移图，得变形协调关系

而钢索伸长

联解式(1)、(2)得

C点位移

图5.1-15

分析与讨论:

①首先，解本题的关键之一是正确作出横梁AD的受力图，因为不计滑轮处的摩擦力，所以钢索在B处及D处对横梁的拉力是相等的;其次，固定铰支座A的约束反力一般有二个未知量(用分力R_Ax、R_Ay表示，本例中R_Ax=0是特殊情况)。忽略以上两点都会导致作出错误的受力图，进而列出的平衡方程也是不正确的。

②作变形位移图也是至关重要的一步。应该注意到小变形条件下可“以切线代替圆弧”，及刚性杆不变形的特点。由AD的垂线与DD'的垂线交点得D″，AB的垂线与BB'的垂线交点得B″，连AB″D″必在一直线上。初学时易犯的错误之一是将ΔL₁、ΔL₂误认为相等，从而结构变形位移图作出来后，AB″D″不保持直线，与横梁刚性假设矛盾，可见ΔL₁=ΔL₂不成立。