圆杆扭转时的扭转角计算及刚度条件

5.3.4　圆杆扭转时的扭转角计算及刚度条件

1.圆杆的扭转角计算

单位长度扭转角

扭转角

若长度L内M_T、G、I_p均为常量，则

公式适用于线弹性范围，小变形下的等直圆杆。GI_p表示圆杆抵抗扭转弹性变形的能力，称为抗扭刚度。

2.圆杆扭转时的刚度条件

刚度条件:圆杆扭转时的最大单位长度扭转角不得超过规定的许可值，即

由刚度条件，同样可对受扭圆杆进行刚度校核、截面设计和确定许可荷载三类问题的计算。

【例5.3-1】一传动轴如图5.3-5所示。已知轴的直径d=45mm，转速n=300r/min，主动轮输入的功率N_A=36.7kW，从动轮B、C、D输出的功率分别为N_B=14.7kW、N_C=N_D=11 kW;轴的材料为45号钢，G=8×10⁴MPa，［τ］=40MPa，［θ］=2°/m。试校核轴的强度和刚度。

解:(1)计算外力偶矩

(2)画扭转图，确定危险截面

用截面1-1、2-2、3-3分别将杆截开，取各脱离体如5.3-5(b)所示，由平衡条件∑M_X=0，分别得

M_T1=－T_B=－468N·m

M_T2=T_A－T_B=1168－468=700N·m

M_T3=T_D=351N·m

图5.3-5

扭矩图如图5.3-5(e)所示。由图可见在AC段内的扭矩最大，M_T=700N·m，因为轴是等截面的，故A_右至C_左间任一横截面均为危险截面。

(3)强度校核

满足强度条件。

(4)刚度校核

满足刚度条件。

【例5.3-2】一直径为d的圆截面杆承受外力偶矩T后，测得该杆表面与纵线成45°方向的线应变为ε，如图5.3-6(a)所示。试求其材料的剪切弹性模量G。

解:圆杆表面A点处的剪应力

圆杆扭转时处于纯剪应力状态，如图5.3-6(b)所示。由于剪应变γ单元体原来的对角线ac，在变形后成为ac'，对角线的伸长量为c'c″，对角线ac的线应变为

图5.3-6

根据剪切胡克定律

【例5.3-3】阶梯轴ABC受外力偶作用(如图5.3-7)。已知AB、BC段直径分别为d₁=75 mm和d₂=60mm，材料的许用剪应力［τ］=60MPa，许用单位扭转角［θ］=0.6°/m，材料的剪变模量G=80GPa。求:①校核轴的强度;②C截面相对A截面的扭转角，并进行轴的刚度校核。

解:①计算扭矩并作扭矩图。

由外力偶矩可直接得到

M_TBC=－1.5kN·m

M_TAB=2.5kN·m

其扭矩图见图5.3-7(b)。

②计算最大剪应力和强度较核。

由于AB段扭矩大，而BC段直径小，因而不能直接确定最大剪应力发生在哪一段截面上，需分别计算两段截面上最大剪应力值。

AB段

MPa

图5.3-7

BC段

由计算结果知，最大剪应力发生在BC段截面的周边上，即

τ_max=35.4MPa＜［τ］

故满足强度要求。

③计算变形和刚度校核。

因AB、BC段上的扭矩和截面各自不变，可用式5.3-10分别计算相对扭转角，然后相加，即

C截面相对A截面的扭转角为正，说明C截面的转动方向同T_AB的转向。

进行刚度校核时，需计算最大单位扭转角，即

显然θ_max=θ_BC=0.845°/m＞［θ］

刚度不符合要求。

分析与讨论:

①对截面、扭矩变化的轴必须计算出全轴中的最大剪应力和最大单位扭转角，然后从强度和刚度分别考虑，才能保证轴安全正常工作。

②计算相对扭转角时应注意分段，总扭转角为各段扭转角的代数和。各段的扭转角的正、负号，可由该段扭矩的正、负表示。

【例5.3-4】空心圆轴内外径之比，壁厚t=2.5mm，受外力偶m=1.98kN·m作用，材料许用剪应力［τ］=100MPa，许用单位扭转角［θ］=2°/m，剪切弹性模量G=80GPa。试设计轴的直径。若采用实心轴，则轴的直径应多大，并比较空心轴与实心轴的用材量。

解:(1)计算扭矩

由截面法求各截面上扭矩M_T=m=1.98kN·m

(2)强度设计

空心轴抗扭截面系数

由强度条件

取D=48mm，则d=24mm。

(3)刚度设计

空心轴极惯性矩

由刚度条件得

为同时满足强度和刚度要求，空心轴应取外径D=52.8mm、内径d=26.4mm。

(4)实心轴直径d₁设计

根据强度条件

取d₁=46.6mm。

按刚度条件

取d₁=51.8mm。

综合强度和刚度要求，应取实心轴直径d₁=51.8mm。

(5)比较用材量

设轴的材料、长度相同，则质量比等于轴的横截面面积比

分析与讨论:

由上可以看出，采用空心轴不仅节省材料而且可减轻轴的质量。究其原因，可以从以下两方面作出解释。

①从应力分布规律知，靠近轴心附近应力很小。因此，实心轴轴心附近材料没有发挥有效作用。

②从截面几何性质分析，空心轴的材料分布离轴心愈远，其抗扭截面系数W_t和极惯性矩I_p愈大，从而提高了轴的抗扭强度和刚度。