7.2.16 电路暂态及一阶电路暂态分析
1.电路暂态
电路的工作状态分稳态和暂态，如图7.2-50所示。当各支路电流和各元件电压取值恒定或随时间按周期规律变化时，电路处于稳态，否则电路处于暂态。从一个稳定状态到另一个稳定状态过渡的过程，称为过渡过程或暂态过程。
图7.2-50 电路的稳态与暂态
电路的状态与组成电路的元件和激励有关。电路出现暂态的条件:①内因，电路必须含有电感电容惯性元件，即储能元件;
②外因，电路出现“换路”，即电路中激励、电路结构或参数发生突变。
设含储能元件的电路在t=0时刻发生换路，t=0－为换路前瞬间，t=0+为换路后瞬间，则iL(0－)、uC(0－)为换路前的稳态值，iL(∞)、uC(∞)为换路后的稳态值，因此，电路出现暂态所具有的条件还有
iL(0－)≠iL(∞)、uC(0－)≠uC(∞)
2.换路定律
惯性元件中的能量是不能发生突变的，所以，电容元件C两端的电压uC和流过电感元件L的电流iL不能发生突变，电路严格受换路定律约束，即
【例7.2-16】判断图7.2-51所示电路是否存在暂态?
解:两个电路均含有惯性元件，而且均存在换路。
对于图(a)，换路前电容两端的电压uC(0－)=US，换路后电路再次达到稳定状态时电容两端的电压uC(∞)=US，由于uC(0－)=uC(∞)，所以图(a)不存在暂态。
对于图(b)，换路前电感中的电流iL(0－)=0.5A，换路后电路再次达到稳定状态时电感中的电流lL(∞)=2A，由于iL(0－)≠iL(∞)，所以图(b)存在暂态。
图7.2-51 例7.2-16图
【例7.2-17】电容端电压和电感电流不能突变原因是( )。
(A)元件的端电压和电流不能突变
(B)电场能量和磁场能量的变化率均为有限值
(C)电容端电压和电感电流都是有限值
(D)电容端电压和电感电流都受换路定律制约
解:储能元件是惯性元件，其能量是不能发生突变的。由于电容元件和电感元件中的储能分别为:WC=
，所以，电容元件C两端的电压uC和流过电感元件L的电流iL都是不能发生突变的。答案选(B)。
3.一阶电路的暂态分析
1)一阶电路
只含有一个(或等效为一个)储能元件的线性电路称为一阶电路，如图7.2-52所示。
图7.2-52 一阶电路
2)一阶电路暂态分析法——三要素法
暂态分析是指含储能元件电路发生换路后，从一个稳态向另一个稳态过渡过程中各物理量所遵循的规律。设图示电路在t=0时刻发生换路，某响应f(t)换路后瞬间取值为f(0+)、换路后的新稳态值为f(∞)，则f(t)在暂态过程中的变化规律:
式(7.2-44)中的f(0+)初值、f(∞)稳态值、τ时间常数为f(t)在暂态过程中的三要素。τ的大小与电路结构有关，对于图7.2-38所示电路，时间常数分别为
τ决定了暂态进程的快慢，τ越大、进程越慢，反之则快。
3)三要素法求解步骤
(1)计算初值
①由t=0－电路求iL(0－)、uC(0－);
②根据式(7.2-43)换路定律求iL(0+)、uC(0+);
③由t=0+电路，在iL(0+)、uC(0+)的条件下，根据KVL、KCL、欧姆定律求其他的电压和电流的初值。
【例7.2-18】如图7.2-53所示，已知:R1=R2=10Ω、L=20mH、IS=1A，且开关闭合前电感中无电流，求iL(0+)、uL(0+)。
解:电路换路前已处于稳定状态，iL(0－)=0A
根据换路定律iL(0+)=iL(0－)得:iL(0+)=0A
根据换路后电路可知:由于开关闭合后电感中仍无电流，所以R1iL(0+)=0V
由KCL得:i2(0+)=IS+iL(0+)=1A
根据欧姆定律得R2两端电压:R2i2(0+)=10V
由KVL得:uL(0+)=R2i2(0+)－R1iL(0+)=10V
图7.2-53 例7.2-18图
图7.2-53 换路后电路图
(2)由换路后电路计算稳态值(或终值)
设定电路激励为恒定直流量，所以t→∞电路中的电感视为短路，电容视为开路。
【例7.2-18续】计算例7.2-18图换路后达到稳定状态下的iL(∞)、uL(∞)。
解:t→∞时电路达到稳态，电感相当于短路，所以，
uL(∞)=0，
根据分流公式得:iL(∞)=
=0.5A
图7.2-53 t→∞电路图
(3)计算时间常数
针对换路后的电路，拿走电容或电感元件，将电路的剩余部分视为二端网络，求出该二端网络的无源网络等效电阻R，则
一阶RC电路的时间常数:τ=RC
一阶RL电路的时间常数:τ=L/R
【例7.2-18续】计算例7.2-18电路的时间常数τ。解:由如下电路图可得:R=R1+R2=20Ω，所以τ=L/R=20/20ms=1ms
(4)将三要素带入式(7.2-44)中，获取f(t)
图7.2-53 去掉电感后二端网络N二端网络N的无源网络
【例7.2-19】如图7.2-54，已知电路在t=0s时刻和t=1s时刻出现两次换路。如果R1=R2=R3=10Ω、C=200μF，uC(0－)=0，那么如下描绘电容电压uC变化规律的波形是( )。
图7.2-54 例7.2-19图
解:本题所讨论的问题为电容两端电压uC的变化规律，根据换路定则(换路瞬间电容两端的电压不能突变)可判断选项(C)和选项(D)错误。
当t=0s电路第一次换路时，uC(0+)=10A，τ1=RC=(R1//R3+R2)C=3ms，iL(∞)= 0A，由三要素法确定iL的变化规律为
当t=1s电路第二次换路时，由于1s＞＞5τ1，所以uC(1+)=uC(1－)=5V，
τ2=(R1+R2)C=4ms，uC(∞)=10V。因为τ2＞τ1，说明第二次暂态过程的响应速度慢于第一次暂态过程的响应速度，所以，选(B)项。
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