紊流平均运动的基本方程

紊流运动的实验研究表明，虽然紊流结构十分复杂，但它仍然遵循连续介质的一般动力学规律，因此，雷诺在1886年提出用时均值概念来研究紊流运动。他认为，紊流中任何物理量虽然都随时间和空间而变化，但是任一瞬时的运动仍然符合连续介质流动的特征，流场中任一空间点上应该适用黏性流体运动的基本方程。此外，由于各个物理量都具有某种统计学规律，所以基本方程中任一瞬时物理量都可用平均物理量和脉动物理量之和来代替，并且可以对整个方程进行时间平均运算。雷诺从不可压缩流体的连续性方程和N－S方程，导出紊流平均运动的连续性方程和动量方程（以下简称雷诺方程）。随后，人们引用时均值概念又导出了紊流平均运动的能量方程和紊动动能方程等，并且把它们推广到可压缩流体中，从而形成了目前广泛使用的一种经典紊流理论。

关于这种方法的理论依据（即在一般情况下紊流的瞬时随机量场是否满足非恒定的N－S方程的问题），从导出雷诺方程开始就有争论，至今尚无充分一致的结论。目前，大多数研究紊流的学者认为：既然分子运动中已经证明N－S方程是波耳兹曼方程的二阶近似，那么紊流运动应该遵循分子运动的统计规律，可以统计平均运算。此外，用从N－S方程出发建立的紊流方程来求解一些流动问题时，其结果与实验数据相吻合。因而，雷诺的研究方法可以作为广泛适用于工程计算的一种基本方法。

在这里，我们将以可压缩流体的基本方程为出发点，导出紊流平均运动的基本方程。

5.3.1 连续性方程

设空间点上流体质点的瞬时速度为ui＝u¯i＋u′i，瞬时密度为ρ＝＋ρ′。把它们代入式（3－13），对时间取平均，并引用时均运算关系式，可得

这就是可压缩流体紊流平均运动的连续性方程。其中称为脉动密度与脉动速度的相关量。式（5－17）与式（3－13）相比，多出一个相关量散度，这是紊流运动所引起的附加项。

对于不可压缩流体，ρ＝¯ρ＝const。则

由此可知，在不可压缩流体的紊流运动中，时均速度的散度和脉动速度的散度均等于零。

5.3.2 动量方程（雷诺方程）

如果把瞬时值代入式（3－24），取时间平均，并引用时均运算关系式，可得

这就是不可压缩流体的紊流平均运动方程，也常被称作雷诺方程。它与不可压缩流体的N－S方程相比，多出一个附加项项解释为作用在流体上的应力，附加在压力p和黏性切应力项中，即可用来表示。为紊流平均运动形变张量的两倍于是方程（5－19）又可表示为

这样，在形式上它和N－S方程相同。

不过要注意，如果对应力张量关系式用时均值概念进行运算时中将不出现（－ρ项，雷诺把它附在上面，只是为了使方程（5－20）在形式上与N－S方程相一致。人们把附加项称为雷诺应力（或紊流应力）。

5.3.3 标量输运方程

5.3.4 涡量输运方程

黏性流总是有旋流。对于不可压缩流体运动来说，由于涡量输运方程中没有压力梯度项，所以在紊流理论研究中，人们往往采用时均值概念下的涡量输运方程来阐明能量传递关系，甚至在数值解方法中有些工程模式也采用涡量输运方程来封闭。

对于质量力有势（或不计质量力）的不可压缩黏性流体流动，用瞬时涡量、瞬时速度代入式（3－31），且进行时均运算并整理，则得

该式称为紊流平均运动的涡量输运方程。其中项表示黏性引起的涡量耗散；项表示紊流脉动对涡量的传递（即紊动使脉动量的扩散）项是紊流脉动形变对涡束的拉伸和扭曲所引起的涡量变化，可以类似地看作是紊流脉动形变而引起的涡量产生项。

对于不可压缩流体，则涡量输运方程中涡量输运方程（5－22）成为

在式（5－23）中，涡量的下角标实际上只有i＝3，所以它只是x3方向的涡量输运方程，且在形式上与一般的标量扩散方程相同。

5.3.5 紊动能量方程

流体存在黏性，所以紊动本身是要消耗能量的，为了维持紊动，就必须向紊流提供能量。而紊动的作用（即流体质点的随机脉动）将引起流体质量、能量等可迁移特征量的扩散，因此，只有在供给紊动的能量、扩散的能量和耗散的能量处于平均时，紊流才处于定常状态。根据第3.3节得到的各种形式的能量方程，采用时均运算概念，同样可以得到紊流时均流能量方程的各种形式。不过应该注意，由于温度的变化，或者流动过程中与外界发生热交换，将会引起流体密度、黏性系数、导热系数等物理性质的改变，它们彼此的影响会给紊流运动的研究增添不少麻烦，因而，在推演这些关系式时可采用流体物性不变的简化假设。

设K表示单位时间、单位体积的动能，K＝ρuiui／2。适当利用连续性方程和N－S方程，可得

这就是瞬时紊流总能量方程。其中各项的意义为：等号左端代表单位体积流体的动能变化率，又可写成，即为局部动能变化率与迁移动能变化率之和。等号右端，ρuifi为单位体积流体的质量力功率；为单位体积流体的压力功率梯度，即压力净功率，负号表示p沿内法线方向作用为单位体积流体的黏性力功率梯度，即黏性应力净功率或黏性应力用于传递运动的功率；为单位体积流体的黏性应力通过变形而做功的功率，也就是机械能的耗散率，称耗散能率或散逸能率。

对（5－24）式进行时均，就得到紊流的平均形式的总能量方程。运算时必须符合雷诺法则。再令则得

这就是不可压缩流体在单位时间、单位体积的紊流平均总能量方程。

其中各项的物理意义如下（均对单位时间、单位体积而言）：①为平均流的动能局部变化率，②为平均流的动能迁移变化率，③为紊动的动能局部变化率，④为紊动的动能随平均流的迁移变化率或脉动动能随平均流的输运，⑤为质量力对平均流作用的功率，⑥为净压力对平均流所做功率，⑦为脉动净压力对脉动流所做功率，⑧为雷诺应力对平均流做功的空间变化率，⑨为雷诺应力对脉动流做功的空间变化率，⑩为平均流黏性应力对平均流做功的空间变化率，⑪为脉动黏性应力对脉动流做功的空间变化率，⑫为平均流的机械能耗散率，⑬为脉动流的机械能耗散率。需要特别注意的是⑧，它是平均流能量和脉动流能量相联系的一项，后面还要谈到。

若对雷诺方程乘以，可得平均运动的能量方程为

式中各项意义如下（均对单位时间、单位体积而言）：①为平均运动的动能局部变化率。②为平均运动的动能迁移变化率。③为质量力对平均流所做功率。④为平均运动净压力功率。⑤为雷诺应力对平均流做功率的空间变化。⑥为雷诺应力因平均流变形率而做的功，它描述了平均运动和脉动运动间的能量交换。若它为正，即整项为负，则使平均流的能量减少，这表示平均流的能量转变为脉动能量，即此时以消耗平均流能量来维持紊动。反之，则表示脉动能量转化为平均流能量。显然这时无外部能源供给，则紊动将衰减。⑦为平均流黏性应力功率的空间变化。⑧为平均流机械能耗散。

若要得到时均紊动能量的方程，可由时均形式的紊动总能量方程（5－25）减去平均流能量方程（5－26），而得

方程（5－27）的各项意义已如上述，不再重复。需要特别指出的是，这里一项与方程（5－26）中相应项的符号相反，这正好说明脉动能量的产生、发展和维持全靠平均运动提供。

以上这些能量间的关系，在紊流的统计特性上加上了重要的限制，是对雷诺方程的补充。但也出现了一些在雷诺方程中未曾出现过的量，如等，这说明，补充能量方程又增添了新的未知量，封闭问题仍未解决。

紊流运动的曲线坐标系下的基本方程，因限于篇幅，这里不再列出，读者若要用到时可参阅有关文献。