紊流模型的基本概念和分类

5.6.1 紊动黏性概念

鲍辛涅斯克在1877年提出的紊动黏性概念，是模拟紊动应力（即雷诺应力的最早的建议，也是目前流行的大多数紊流模型的重要基石。鲍辛涅斯克假设，紊动应力可类比于层流的黏性应力，与时均速度的梯度成正比，即

式中，γt为紊动黏性系数，亦称涡旋黏性系数。与分子黏性系数γ相反，γt不是流体的性质，而是依赖于紊动的状态。γt在水流中的不同点取不同的数值，在不同的水流中也取不同的数值。

可见，引入式（5－32），并未构成紊流模型，只是提供了构造紊流模型的基础。但引入式（5－32），可以使模拟紊动应力问题转化为确定γt的分布。

方程（5－32）中的δij，称为克罗奈克（Kronecker）函数，当i＝j时δij＝1，当i≠j时δij＝0。为使紊动黏性表达式（5－32）同样适用于正应力的情况，即i＝j的情况，必须补充含有δij的项－（2／3）kδij。如果不含此项，当i＝j时，由方程（5－32）中的第一项应得出正应力为

根据连续方程（5－18a），上面三项正应力之和为零。但是，根据定义，所有正应力均为正值，其和恰为脉动动能k的两倍，即

为使三项正应力之和恰等于2k，在紊动黏性表达式（5－32）中必须含有第二项－（2／3）kδij。

正应力的作用方式与压力类似，它垂直于控制体积的表面，而且紊动动能像压力一样，是标量，故（5－32）式中的第二项形成某种压力。若将（5－32）式带入动量方程（5－19），消去，则（5－32）式中的第二项可被吸收到压力梯度项之中，静水压力被压力P＋（2／3）k所取代作为未知量。可见，虽然（5－32）式中出现k，但没有必要确定k的数值；必须确定的未知量，只是紊动黏性系数γt的分布。

在若干种类型的水流中，能够得到和L的近似分布，从而可得出γt的近似分布。

紊动黏性的概念被成功地用来计算二维薄剪力层，即边界层型流动。在这类流动中，通常采用x、y坐标系和u、v速度分量。x为主流方向，剪应力是起主要作用的紊动应力。由（5－32）式可得

尽管紊动黏性概念有如上缺陷，但许多实例已经证明，采用这一概念建立的紊流模型，在许多情况下可得到满意的结果，故紊动黏性概念仍为目前流行的大多数紊流模型的基础。

5.6.2 紊动扩散概念

将紊动热（或质量）输运与紊动动量输运直接类比，通常假设热（或质量）输运与被输运的量有关，即

式中，Γ是热（或质量）的紊动扩散系数。Γ与γt一样，不是流体本身的特性，而是依赖于紊动的状态。由于热（或质量）输运与动量输运的机理相似，可以认为Γ的数值与γt的数值有密切联系，即

对于热输运问题，σt称为紊动普朗特数；对于质量输运问题，σt称为紊动施密特（Schmidt）数。实验表明，Γ和γt的比率σt，既不像γt，也不像Γ那样变化明显；在流场中各点，甚至在不同类型的水流中，σt几乎不变。现在不少紊流模型都采用（5－38）式，并将σt取作常数。

但是，必须指出，浮力作用和流线的弯曲将改变σt的数值；而且，前述紊动黏性概念的主要缺陷，对σt同样存在。这就是说：①紊动扩散概念（5－37）式对某些流区不能成立；②Γ与热（或质量）通量的方向有关，事实上不是标量。

大量实际计算已经证明，式（5－37）极为有用，故目前仍被许多紊动热（或质量）输运模型所采用。

5.6.3 紊流模型的分类

有一些紊流模型不是采用紊动黏性和紊动扩散概念，而是采用紊动动量和紊动热（或质量）通量的微分输运方程。按照紊流模型采用紊动黏性概念将其分类，不失为可行的分类法。但是，在采用紊动黏性概念的模型中，最简单的模型和最复杂的模型之间差距很大，所以有必要进行更细的分类。

最简单的紊流模型是对整个流场采取将紊动黏性系数和紊动扩散系数取为常数的措施，或将紊动黏性系数γt直接与时均流速的分布相联系。这一类紊流模型均没有考虑到紊动的空间输运和历史效应。为了考虑紊动的输运，有些紊流模型采用表征紊流特性的物理量（例如速度比尺、长度比尺L等）的微分输运方程。其中，有些模型只采用一个微分方程，即速度比尺的输运方程；而另一些模型除采用的输运方程外，还采用长度比尺L的方程；还有一些更复杂的模型，要求解若干个速度比尺和长度比尺方程。

之所以有越来越多的紊动量的输运方程被引入紊流模型，是因为人们试图用一个综合性的紊流模型更合理地描述千差万别的复杂紊流，使紊流模型的通用性更加广泛。例如，柯拉凡丁（Kolavandin）1969年提出的紊流模型，对于二维边界层，要采用20个微分输运方程；对于一般水流，要采用28个微分输运方程。

鉴于这种情况，目前通行的紊流模型分类法，是根据该紊流模型采用的微分输运方程的个数，将紊流模型划分为零方程模型、单方程模型、二方程模型和多方程模型。以下的叙述将采用这种分类方式。