转盘及推流转轮数学模型

水流流动是由曝气转盘及水下推流转轮旋转驱动的，可以将其看作是计算部分区域的流动问题。多参考系模型、混合平面模型和滑动网格模型可以用来解决转动系统的模拟问题。前两种模型假设流动是稳定的。下面对各个模型进行详细描述。

（1）多参考系模型（Moving Reference Frame，MRF）

多参考系模型是将不同旋转或移动速度的每个区域进行稳态近似，所以当边界上的流动几乎均匀混合时，用此方法比较合适。如转子与定子之间相互作用比较弱的叶轮可以使用多参考系模型；叶片相互作用相对较弱并且没有大范围瞬态影响时的混合槽也能使用多参考系模型，但要精确模拟叶轮片的瞬态流场时，多参考系模型就无能为力了。多参考系模型的整个计算区域被分成多个小的子域，每个子域有各自的运动方式，或静止或旋转或平移，每个子域的控制方程是关于子域参考系而写的，子域的交界面则是通过将速度换算成绝对速度进行各自子域内的流场结构信息的交换。计算时给定旋转参考系里的转子一个角速度用以提供动力。

通过速度及速度梯度将运动参考系转到绝对参考系。计算区域中旋转轴初始位置的向量定义如下：

式中，x0是计算区域中旋转轴初始的位置，x为笛卡尔的位置向导坐标。

通过下列方程，相对速度在运动参考系中可转换成静止参考系中的值：

式中，相对的非惯性参考系的速度用vr表示，绝对的惯性参考系的速度用v表示，非惯性的参考系平移速度用vt表示。

这里，根据相对速度的计算公式，可得出绝对速度的向量梯度为

通过每个子域中的参考系建立子域中的控制方程，在求解绝对速度的公式时存储绝对速度，因而可在两个子域间互相转换。

（2）滑移网格法

滑移网格法与多参考系法不同，它是在两个网格区域实行完全瞬态的模拟。根据实验室坐标系，可写出内部区域流体的流动方程，但其网格可视为以叶轮速度进行旋转，网格对其外部区域而言被固定在了实验室的坐标系上。由于网格旋转产生了加速项，而非惯性的坐标系中体积力与这些加速项相等，因此这里将加速项列入动量方程中。内区域和外区域在其交界面上可通过滑移网格运算法则隐式地耦合，这个法则负责两个子区域的相对运动并按要求进行插值运算。Murthy等（1994）使用了滑移网格法模拟搅拌槽中叶轮的旋转。

（3）动量源项法

在应用动量源项方法时，叶轮的转动是通过一种动量源来驱动的。首先将机翼空气动力学中动量源项方法应用到搅拌槽二维流动模拟中，源项中所有系数都取自于机翼空气动力学实验。基于机翼空气动力学的动量源项方法虽然原理简单，但在三维流场的计算中，操作过程却很繁杂。M.Dhainaut提出了一种依赖空间和时间变量的新型动量源项法，在此种方法中，动量源等于叶轮与流体速度的差值和一个比较大的经验系数之积。源项是否需要加入网格单元，则取决于初始时网格和叶片之间的相对位置及流动时间，因此在计算过程中需要对网格和虚拟叶片的相对位置进行检查。由于采用的是瞬态求解方法，所以，这种方法在耗费计算机资源方面与滑移网格法相当。