适体坐标系的基本概念

图8－3 物理平面与计算平面中的对应关系

据前所述，在做物理问题的数值计算时，最理想的坐标系是各坐标轴与所计算物体的边界一一相符合的坐标系，称为适体坐标，又称贴体坐标、附体坐标。当没有现成的坐标系可以利用时，就希望通过计算的方法构造这样的坐标系。看图8－3，设在物理平面的x－y坐标系中有一不规则区域，为了构造一个与该区域相适应的坐标系，把该区域相交的两个边界作为曲线坐标系的两个轴，记为ξ及η。在该物体的四个边上，规定不同地点的ξ，η值。在做这种规定时要注意：①在一条边上只能一个坐标单值地发生变化，而另一个坐标则保持为常数；②在两条对应边上，同一曲线坐标的最大值与最小值应当对应相等，以便在计算平面上能得出矩形区域。其余的问题是：在物理平面的求解区域内，与任一点（x，y）相应的（ξ，η）值是多少？一旦建立了计算平面与物理平面求解区域内部点与点之间的对应关系，则在计算平面上所得的求解结果就很容易被转换到物理平面上去。如果把ξ、η看成是物理平面上的两个未知函数，则上述确定ξ、η的问题就是物理平面上的一个边值问题。因此，从物理平面上来说，所谓要生成一个适体坐标，实际上相当于要求解物理平面上的一个边值问题。

也可以反过来叙述这一问题：首先把物理平面上的ABCD区域按已规定的边界上的ξ、η值，画成为计算平面的ξ、η直角坐标系中对应的矩形（见图8－3），然后以均匀的网格把矩形离散化。于是问题就变为：已知在计算区域边界上各节点（ξ，η）相应的（x，y），问在计算区域内部与任一点（ξ，η）相应的（x，y）值是多少？这样，如把（x，y）看成是计算平面上的未知函数，则生成适体坐标的问题也就是计算平面中的一个边值问题。

从数值计算的观点出发，对生成的适体坐标有以下几个要求：①物理平面上的节点应与计算平面上的节点一一对应，同一簇中的曲线不能相交，不同簇中的两曲线仅能相交一次。②在适体坐标系中的每个节点应当是一系列曲线坐标轴的交点，而不是一群三角形元素的顶点或一个无序的点群，这样才便于设计有效、经济的算法及程序。要做到这一点，只要在计算平面中采用矩形网格即可。③物理平面求解区域内部的网格疏密程度要易于控制。④在适体坐标的边界上，网格线最好与边界线正交或接近于正交，以便于边界条件的离散化。实现③、④两点要求的方法将在第8.5节中讨论。

目前生成适体坐标的方法大致可以分为三类：复变函数法、代数变换法和解微分方程法。

1）复变函数法。利用复变函数的理论可以把相当一批二维不规则区域变换成矩形区域，而且可以得出解析的或部分解析的变换关系式。例如，要把物理平面上的环形区域变成计算平面上的矩形区域，可将物理平面上的极坐标r－θ（见图8－4）作为计算平面中的直角坐标［图8－4（b）］，于是环形域即转化成为计算平面上的矩形域。r、θ与x、y间的关系为

实际上，这就是复变函数中的变换

这里，W及Z各为物理平面及计算平面上的复数。

图8－4 变换举例

为使计算平面中的区域变得最简单，常常采用正方形区域（见图8－4）。这可以通过令

来实现，相应地x、y的计算式为

用复变函数理论来构造适体坐标的方法仅限于二维问题。

2）代数变换法。这是利用一些代数关系式来进行区域变换的方法。

3）解微分方程的方法。指通过求解边值问题的微分方程，来建立物理平面与计算平面上各点间的对应关系。至于这一边值问题控制方程的类型，物理问题本身并无任何限定。这就给了我们一定的自由度，使我们可以按照对所生成网格的要求来选择控制方程。这类方法将是我们讨论的重点。

下面对计算平面上求解区域的形状选择作些说明。凡是在物理平面上由四条两两相交的曲线所构成的单连域（即边界线所包围的范围内不含有非求解区域的情形），在计算平面上自然取为正方形或矩形（见图8－3）。物理平面上的L形区域则可以有两种选择，见图8－5所示。

图8－5 L形区域的两种变换

物理平面上的Π形区域可以变换成计算平面上的Π形区域（见图8－6），也可以变换成正方形（见图8－7）。对后一情形要特别注意，为使节点间一一对应的要求不受破坏，在计算平面中求解节点方程时，在重叠线的节点上，每一个变量应有两套数组，以分别存放从左边及右边计算而得之值。对于多连域（即求解区域的边界线包含有非求解区域的情形），则会出现物理平面上的一条线变成计算平面上的两条线的情形，见图8－4所示。在该例中，物理平面上θ＝0及θ＝π两个重合的半径，在计算平面上则变为两条边。由于物理平面上θ＝0或π不是计算边界，因而在计算平面上求解控制方程时，对θ＝0及θ＝π的边不必规定边界条件，只需应用此两线上变量值对应相等的条件（亦即周期性的条件）。还须指出，计算平面上的尖角点未必要对应于物理平面上的尖角点，反之亦然。例如，物理平面上一条连续封闭曲线所围的区域，可以转换成计算平面上的一个正方形。由此可见，对于一定的不规则区域，在计算平面上选择何种形式的区域与之相对应，是有一定自由度的。作为选择计算平面上求解区域的形状的一个主要条件，就是所生成的网格要适用于所计算的问题。一般地，在计算平面上都采用正方形均分网格。

图8－6 Π形域变成Π形域

图8－7 Π形域变成正方形

采用适体坐标求解流动与换热问题的总体步骤如下：

1）网格生成。即在计算平面上选择与物理平面上复杂区域相应的求解区域，并找出两个区域内部节点的对应关系x＝x（ξ，η），y＝y（ξ，η）或其反函数。这些关系可以是解析的也可以是数值的。

2）控制方程的生成与离散。把物理平面上的控制方程及边界条件转换成计算平面上的形式，并离散转换方程。

3）离散方程的求解及解的传递。在计算平面上获得收敛的解后，再根据节点间的对应关系将其传送到物理平面上去。