生成网格的微分方程法

前已指出，适体坐标的网格生成问题，实际上是一个边值问题。边值问题的求解是偏微分方程领域中的一个经典课题。应用这种方法时，我们可以利用微分方程的一些性质，使所生成的网格更完善、合理。这个方法最早是由Winslow在1967年提出的，以后不少研究者都对此方法的发展做出过贡献。但比较全面而系统地研究这一方法的人当推Thompson（汤姆逊）、Thames（泰姆斯）及Martin（马丁），他们的研究成果主要体现在1974年合写的论文中。此后，在流体力学与传热学的数值计算研究中，逐渐形成了一个分支领域——网格生成技术。

二阶的椭圆型方程是描写边值问题的，最简单的椭圆型方程就是Laplace方程。根据La－place方程解的唯一性及极值原理，可以把ξ、η作为物理平面上Laplace方程的解，即

同时，在物理平面的求解区域边界上规定ξ（x，y）、η（x，y）的取值方法，于是就形成了物理平面上的第一类边界条件的Laplace问题（也可以在部分边界上规定ξ、η对x、y的导数）。在具体实施时，取定物理边界上有限个节点上的（ξ，η）值，然后用数值方法确定内部节点上的值。关于Laplace方程的数值计算问题目前已研究得较为成熟，但由于物理平面是个不规则区域，于是在物理平面上解这一问题又碰到了不规则边界的困难。如果从计算平面上的边值问题出发来考虑，则情况就会大为改观，因为在计算平面上可以永远取成一个规则区域。所谓计算平面上的边值问题，就是指在计算平面的矩形边界上规定x（ξ，η）、y（ξ，η）的取值方法，然后通过求解微分方程来确定计算区域内部各点的（x，y）值，即找出与计算平面内各点相应的物理平面上的坐标。另外，在计算平面上来求解时，如果在部分边界上规定了x、y对ξ、η的导数，而不是x、y之值，这就可能在曲线坐标系上使网格线与这部分边界正交，但此时这部分边界上网格线与边界的交点就要由计算确定。实际上，大多数生成网格的情形都是求解计算平面上的边值问题。为此，需把物理平面上的Laplace方程转换到计算平面上以ξ、η为自变量的方程。下面，我们以▽2ξ＝0为例来进行转换。

为了保证两个平面上点的一一对应关系，要求雅可比行列式

因为正变换雅可比行列式（8－5）成立，则其逆变换存在，且其雅可比行列式

正、逆变换的雅可比行列式有下列关系

则可得

同理，可得到它们的二阶导数的表达式

将此两式代入▽2ξ＝0，并经整理，得

类似地，▽2η＝0可化为

注意到式（a）与式（b）的等号左边方括号内的项是相等的，等号右边方括号内的部分也是相等的，把等号两侧这两个方括号内的部分分别记为A及B，然后以xξ×式（a）－xη×（b），得

在转换区中J≠0，因而只能是B＝0，于是有

即

类似地，可以证明

式（8－8）虽然比式（8－4）复杂，但计算区域却简单。用数值方法在计算平面的矩形域内求解式（8－8），就可获得与计算平面上各节点（ξ，η）相对应的物理平面上节点的坐标（x，y），从而可用有限差分法进一步计算所需的一系列几何参数。

最后要指出，虽然计算平面上网格是等分的，但并不意味着物理平面上生成的网格也是等分的。实际上，由于大多数变换的非线性特点，物理平面上的网格多为非均分的。至于如何控制物理平面上网格的疏密程度，将在随后讨论。