网格分布的控制

在进行数值计算时，人们常常希望在物理平面上的网格划分能适应区域中物理量场的变化情形，即在变化剧烈处稠密一些，在变化平缓处稀疏一些。另外，从边界条件离散化的角度，人们希望网格线与物理区域的边界线正交，以利于较准确地计算边界上的物理量。所有这些要求都属于网格分布的控制问题。网格分布对于获得一个较好的数值解有很大的影响，因而它是网格生成理论中的一个重要研究内容。

最简单的调节物理平面上网格疏密程度的方法，是在计算平面的边界上恰当地设置x、y值。例如，在物理平面上要求网格线比较稠密的区域，在计算平面的相应地点上相邻两网格线间x或y坐标的变化就应取得小一些。但是，边界节点值的设置仅会对靠近边界的区域内产生影响，而在离开边界较远的内部，边界节点值的设置则主要由方程本身的特性所决定。由于Laplace方程具有使被求解函数均匀与光滑化的特点，所以在远离边界内部由Laplace方程所生成的物理平面上的网格将趋于均匀分布。因而，想用Laplace方程，通过使计算平面边界上x、y不均匀分布的方法来获得如图8－8（a）的网格分布是不可能的（为简便起见，物理平面上的求解区域也画成了矩形），而只能产生见图8－8（b）所示的情形。由Laplace方程生成的网格还有一个特点，即在曲面边界附近，随曲面凹凸方向的不同，网格线会发生渐稀或渐密的变化，前者发生于曲面凸向计算区域时［图8－9（a）］，后者发生于曲面凹向计算区域时［图8－9（b）］。由Laplace方程所生成网格的这种分布特性，对提高数值计算结果的准确性是不利的。

我们如果把物理平面上的等η线或等ξ线看成是稳态导热问题的等温线，则等温线密集的程度就反映了局部地区热流密度的不同。如果某一局部地区有热源存在，则该地区的等温线必定更密集。所以，我们应用带“源项”的Laplace方程（即Poisson方程）来生成网格。即在物理平面上采用下列方程

这里，源函数（或分布函数）P、Q是用来调节区域内部网格分布的。

图8－8 Laplace方程生成网格的特性

图8－9 曲面附近网线疏密程度的变化

同样，采用类似于导出式（8－8）的方法，可导得在计算平面上关于x、y的偏微分方程

这样，函数P、Q的构造就成了控制网格分布的主要因素。

关于控制函数P和Q的选择，Thompson等人建议

式中，ai、ci、bi、di是调整网格线的疏密程度的参数。