消费者最优曲线

一、福利经济学概述

本章第一节在局部均衡讨论的基础上讨论了一般均衡的存在性，运用的是实证分析方法。但运用实证分析方法并不能说明所实现的一般均衡是否具有最好的资源配置效率。本节就资源配置的效率这一问题进行讨论，该问题的研究属于福利经济学的内容。

福利经济学研究整个经济社会的资源配置与个人福利的关系，特别是市场经济体系的资源配置与福利的关系，以及与此有关的各种政策问题。它要回答以下几个重要问题：①实现社会福利最大化的必要条件是什么？②实现社会福利最大化的充分条件是什么？③社会福利最大化能不能实现？简言之，福利经济学就是研究经济社会资源的最优配置问题。由于是在一定价值判断的基础上提出社会福利目标和判断福利大小的标准，用以评判经济运行和资源配置的优劣，因此，福利经济学属于规范经济学分析的范畴。

“福利经济学”这一命题最初是由英国经济学家霍布森在20世纪初提出的。他认为经济学的中心任务在于增进人类的经济福利。所谓经济福利，是指人们的各种欲望或需要获得满足和由此感受到的生理幸福或快乐。而社会福利无非是社会成员个人福利的总和。社会中可直接或间接用货币来衡量的部分，就成为经济福利。福利经济学按其发展阶段可以分为旧福利经济学和新福利经济学。庇古是旧福利经济学的创始人。他的福利经济理论以基数效用论为基础，包括两个基本命题：第一，国民收入总量越大，社会的经济福利就越大；第二，国民收入分配越平均，社会的经济福利就越大。根据第二个命题，庇古认为，如果把富人的部分收入转移给穷人，就会增加社会福利总量。20世纪30年代以后出现了以意大利经济学家帕累托为代表人物的新福利经济学，新福利经济学摒弃了旧福利经济学的基数效用论，以序数效用论为基础，避开收入分配问题，采用一般均衡分析方法，研究在一定收入和价格水平下如何实现最大限度的社会福利问题，以效率作为福利分析的唯一的目标。本章的讨论以新福利经济学的理论为基础。

二、社会福利最大化的必要条件

福利经济学的一般观点认为，社会福利最大化的必要条件是资源配置的效率最优。于是我们先要讨论判断资源配置效率的标准是什么。

资源配置效率是由经济效率的讨论引出的。什么是经济效率？不同的人认识不同。就技术意义而言，经济效率是指投入单位社会必要劳动时间所能获得的价值量。计量经济效率的条件是价值。改变令价值增加，就是有效率的改变；改变令价值减少，就是无效率的改变。20世纪30年代以后，西方经济界提出并开始重视资源配置效率，这是指在一定的技术水平下各投入要素在各产出主体的分配所产生的效益。就福利经济学而言，经济效率是指经济社会资源配置的优与劣。但是，如何定性优与劣，人们的看法又不一致。用不同的条件衡量，资源配置有效率的情况可能变得没效率。所以，这是一个规范经济学的问题。那如何判断各种不同的资源配置的优劣，以及确定所有可能的资源配置中的最优资源配置呢？

（一）单一的个人的判断标准

现有单个人甲对两种资源配置状态A、B判别其优劣。只有三种情况：

式中，符号“＞”、“＜”、“=”分别表示甲的“优于”、“劣于”和“无差异于”三种看法。同样地，单个人乙对两种资源配置状态A、B判别其优劣也只有三种情况：

式中，符号“＞′”、“＜′”、“=′”分别表示乙的“优于”、“劣于”和“无差异于”三种看法。

（二）从社会来看的判断标准

社会是人的集合体。从整个社会（至少两人以上）来看，这两种资源配置状态A和B谁优谁劣呢？由于甲有三种可能的选择，乙也有三种可能的选择，因此从整个社会来看就存在九种可能的选择情况：

这九种可能的选择情况，按甲和乙的不同态度可分为三大类型。第一类型是甲和乙的意见完全相反，这包括上述第3和第7两种情况；第二类型是甲和乙的意见完全相同，这包括第1、第5和第9三种情况；第三类型是甲和乙的意见基本一致。这包括剩余的第2、第4、第6和第8四种情况。

首先来看第一类型。如甲和乙的意见完全相反，则是否能够从社会的角度对状态A和B的优劣作出明确的说明呢？这里显然遇到了麻烦。除非能够假定甲的意见（或者乙的意见）无关紧要，从而可以不加考虑，否则不能判断A与B的优劣。换句话说，在这种情况下，从社会的观点看，状态A与B是“不可比较的”，即没有任何“客观”的标准对它们进行判断。

如果去掉不可比较的第一类型的两种情况，则剩下的其余两种类型共七种情况均可看成是可以比较的。这七种可以比较的情况，按它们形成的社会观点可以重新分类如下：

A优于B：如果甲和乙中至少有一人认为A优于B，而没有人认为A劣于B，则从社会的观点看有A优于B。

A与B无差异：如果甲和乙都认为A与BB无差异，则从社会的观点看有A与B无差异。

A劣于B：如果甲和乙中至少有一人认为A劣于B，而没有人认为A优于B，则从社会的观点看有A劣于B。

（三）基于多数一致原则的标准——帕累托标准

在研究如何判断各种不同的资源配置的优劣这一问题上，19世纪意大利经济学家与社会学家韦尔福雷多·帕累托等学者进行了可贵的探索。他们认为，以一定的资源配置状态作为考察的起点，在其他条件不变的情况下，如果现有资源配置状况的改变能使所有人的处境有好的改进，那这种改变就是有利的，它能增进社会福利；如果它能使一部分人的处境变好，同时没有人因此而处境变坏，则这种变化也是有利的，也能增进社会福利。资源配置的这两种改变，都是在不损害任何一人利益的情况下去至少改进某一个人的处境，资源配置这类改变被称为“帕累托改进”（Pareto improvement）。当某一资源配置状态不存在任何帕累托改进，则这时候的资源配置状态被认为是最优的，社会经济福利可能达到最大化，这种状态被称为“帕累托最优”^[2]状态。在还没有达到帕累托最优状态情况下，通过改变资源配置状况来增进社会福利的办法称为“帕累托改进”（Pareto improvement）。

上述问题可以简单地表述为：如果两人中至少有一人认为A优于（或劣于）B，而没有人认为A劣（或优）于B，则从社会的观点看有A优（或劣）于B。如果两人都认为A与B无差异，则从社会的观点看，亦有A与B无差异。

推论：如果至少有一人认为A优于B，而没有人认为A劣于B，则从社会的观点看有A优于B。这就是帕累托最优状态标准，简称帕累托标准。

按照帕累托标准所作的改进叫帕累托改进。对于经济社会某种既定的资源配置状态，如果所有的帕累托改进都不存在，则称这种资源配置状态为帕累托最优状态。西方经济学把帕累托最优标准作为判断资源配置效率的标准。资源配置满足帕累托最优状态就是具有经济效率的，否则就是缺乏经济效率的。帕累托改进是推进社会福利最大化的必要条件，存在于多种情况之中。

三、资源配置帕累托最优状态的实现条件

瓦尔拉斯认为，一般均衡的实现，资源配置效率一定最优。为此，他按照上一节提出的思路进行论证：首先给出一般均衡的实现条件，然后论证完全竞争的一般均衡一定具有资源配置的帕累托最优。他认为经济社会市场机制对于资源的配置是通过交换、生产以及生产与交换联动过程来实现的。资源配置帕累托最优状态的实现条件包括交换的最优条件、生产的最优条件及交换和生产的最优条件。完全竞争的市场下，一般均衡实现的条件在三个分析角度中都能得到满足。但是，瓦尔拉斯对于图10-1进行的关于一般均衡的实现条件及其资源配置效率最优的数理分析的方法，是在边际效用的基础上建立的一般均衡模型，虽然论证精确，但却不够直观。后人运用序数效用论，无差异曲线等概念，采用埃奇沃斯盒状图建立更为简单直观的一般均衡模型，分三个层次来实证分析一般均衡的帕累托最优实现条件。

（一）交换的帕累托最优条件

大多数经济中都会发生三种基本的经济活动：生产、交换和消费。本节先忽略生产，把视野局限于交换和消费。

一个交换经济是指社会生产状况既定、收入分配状况既定的经济。这种经济中的行为者是那些持有产品的初始存量或禀赋的消费者。经济活动包括交易和消费。可能进行商品互利交易的最简单经济形式是两种商品和两个消费者的经济。产品在两个消费者之间的自愿交换过程就是一种资源再配置的过程。为简化起见，以两个消费者的两种产品交换为例进行说明。在这里，每一个消费者也可以理解成一种类型的消费者，两个消费者可以理解成两类消费者。一般来说，两个交易主体之间自愿的交换总是互利的。假定不同消费者的效用可比，两种既定数量的产品在两个消费者之间的自愿交换如能使各自达到效用的最大化，就被称为交换的帕累托最优^[3]。或者说，交换的帕累托最优是这样一种资源配置状态，在这种状态下，任何使得某些消费者效用状况变好的变化都会使得另一些消费者的效用状况变坏。

为此，先要作一些假定：假定两种产品分别为X和Y，其既定数量为两个消费者分别为A和B；假定两个消费者都知道对方的产品需求偏好，都是产品价格的接受者；假定交易成本为零；假定A、B的初始配置为：A有产品组合（XA，YA），B有产品组合（XB，YB）；假定A由于对Y产品更为偏好、估价更高，B由于对X产品更为偏好、估价更高，或者假定A拥有较多的产品X，B拥有较多的产品Y，他们就有进行互惠贸易的余地。最初，A提出用1单位X换1单位Y，B同意交换，因为此时两人都会提高各自的总效用水平。如果一次交易结束后，A、B各自的偏好并没有显著改变，两人的边际替代率仍不相同，于是两人会继续交换，直到两个消费者的边际替代率相等为止。此时，交易双方的福利都得到了最大改善。

上述两种产品在两个消费者之间的交易过程可以用一种叫埃奇沃斯盒状图^[4]的工具来模拟，参见图10-2。

图10-2表示的交换的埃奇沃斯盒状图是由两个分别表示两个消费者对两种产品的消费数量的坐标图对扣组合在一起形成的。盒状图的水平长度表示整个经济中第一种产品X的数量盒状图的垂直高度表示第二种产品Y的数量OA为第一个消费者A的坐标原点，OB为第二个消费者B的坐标原点。从OA水平向右测量消费者A对第一种商品X的消费数量XA，垂直向上测量它对第二种商品Y的消费数量YA；从OB水平向左测量消费者B对第一种商品X的消费数量XB，垂直向下测量它对二种商品Y的消费数量YB。

现在考虑盒中任意一点，如点a。a点代表两种产品在两个消费者间的初始配置。初始配置并不考虑消费者的个人偏好。在a点上，对应于消费者A的消费数量（XA，YA）和消费者B的消费量（XB，YB）。下式成立：

图10-2　交换的帕累托最优

换句话说，盒中任意一点确定了一套数量，表示每一个消费者对每一种产品的消费，且满足式（10.1）。因此盒子（包括边界）确定了两种产品在两个消费者之间的所有可能的分配情况。特别是，在盒子的垂直边上的任意一点，表明某个消费者不消费X；在盒子的水平边上的任意一点，表明某个消费者不消费Y。

现在的问题是，在埃奇沃斯盒状图中的全部可能的产品再分配状态点中，哪一些是帕累托最优状态呢？为了分析这一点，需要在埃奇沃斯盒状图中根据假定的偏好加入每个消费者的无差异曲线。由于OA是消费者A的坐标原点，故A的无差异曲线向左下方倾斜且向OA点凸出。图中ⅠA、ⅡA和ⅢA是消费者A的三条代表性无差异曲线。其中ⅢA代表较高的效用水平，而ⅠA代表较低的效用水平。一般来说，无差异曲线从OA点向右移动越远，标志着消费者A的效用水平越高。另一方面，由于OB是消费者B的坐标原点，故B的无差异曲线向右下方倾斜，且向OB点凸出。图中，ⅠB、ⅡB和ⅢB是消费者B的三条代表性无差异曲线。其中，值得注意的是，ⅢB代表较高的效用水平，而ⅠB代表较低的效用水平。一般来说，无差异曲线从OB点向左移动越远，标志着消费者B的效用水平越高。

现在在埃奇沃斯盒状图中任选一点表示两种产品在两个消费者之间的一个初始分配。例如，选择一点a。由于假定效用函数是连续的，故点a必然处于消费者A的某条无差异曲线上，同时也处于消费者B的某条无差异曲线上，即消费者A和B分别有一条无差异曲线经过a点。因此，这两条无差异曲线或者在a点相交（如图10-2所示，点a是无差异曲线ⅡA和ⅠB交点）。容易看出，a点不可能是帕累托最优状态。这是因为，通过改变两种产品的初始分配状态，例如从a点变动到b点，则消费者A的效用水平从无差异曲线ⅡA提高到ⅢA，而消费者B的效用水平并未变动，仍然停留在ⅠB上。因此，在点a仍然存在帕累托改进的余地。由此得到结论：在交换的埃奇沃斯盒状图中，任意一点，如果它处在消费者A和B的两条无差异曲线的交点上，则它就不是帕累托最优状态，因为在这种情况下，总存在两种产品配置的帕累托改进的余地，即总可以改变该状态，使至少有一个消费者的效用状况变好而没有使其余的消费者的效用状况变坏。而消费者A和B的所有的无差异曲线的切点运动的轨迹连接起来构成的一条曲线，称为交易的契约曲线，即图10-2中的VV′′曲线。

当然，初始自愿交换使双方的利益得到改进不等于能使双方都感到高兴。因为改进与高兴是两个不同的效用满足层次，高兴不等于实现了效用最大化。现在对初始的产品分配状况通过贸易进行再改进。假定一次自愿交易结束后A、B的资源配置为h点，可以看出，h点仍存在帕累托改进余地。进一步研究可以发现，在图10-2椭圆形图中不在VV′曲线上的任一点，都存在帕累托改进余地。于是A、B之间再自愿贸易，并朝着VV′曲线方向改进。最终配置处于无差异曲线的切点c上。此时，A的满足程度无损，B的满足程度达到最大化，不存在任何帕累托改进的余地，此点已为帕累托最优状态点。因为改变c点状态只有如下几种可能：向右上方移到消费者A的较高的无差异曲线上，则A的效用水平提高了，但消费者B的效用水平却下降了；向左下方移到消费者B的较高的无差异曲线上，则B的效用水平提高了，但消费者A的效用水平却下降了；剩下来的唯一一种可能则是消费者A和B的效用水平都降低。例如，从c点移到g点或f点，都属于此种情况。由此可以得到结论：在交换的埃奇沃斯盒状图中，任意一点，如果它处在消费者A和B的两条无差异曲线的切点上，则它就是帕累托最优状态点。在切点上，不存在两种商品配置的帕累托改进的余地，即任何改变都不可能使至少一个消费者的效用状况变好而没有使其余的消费者的效用状况变坏。

当然，消费者A、B基于初次配置点a作的贸易改进，最终配置点不一定是c点，也可能是b点，或者是如图10-2中b、c连线上的任何一点。这表明了自愿交易的双方各自效用改进大小的不同，取决于贸易双方各自讨价还价的能力。但这些改进点入选的条件是因此形成的交易双方的无差异曲线的边际替代率相等。从初始的配置开始，交易双方通过互惠的贸易可以达到许多可能的有效配置。由于交易的契约曲线上的任何一点都是消费者A和B各自相应的无差异曲线的相切点，都是帕累托最优点；通过这一点的切线的斜率，便是双方相应的无差异曲线的边际替代率。

从上面的分析可知，偏离交易契约曲线的点都是无效率的配置点，交易双方的无差异曲线的边际替代率均不相等，因此，交易双方没有达到帕累托最优状态，这时，继续自愿交易，可以改善双方的效用境况，增加双方的福利，直到双方商品组合的边际替代率相等，交易点落在契约曲线之上为止。交易的契约曲线是两个交易者不可能再进行互利贸易的帕累托最优配置点的集合，它包含了所有消费者无差异曲线相切的位置。交易双方的无差异曲线的边际替代率相等，交易达到帕累托最优状态。由此可见，如果要使两种商品X和Y在两个消费者A和B之间的分配达到帕累托最优状态，则对于这两个消费者来说，这两种商品的边际替代率都相等。这就是交换的帕累托最优状态的实现条件。如果消费者A和B的X代替Y的边际替代率分别用Y来表示，则交换的帕累托最优状态条件的公式就是：

可以证明：

用UA（XA，YA）表示消费者A的效用函数，用UB（XB，YB）表示消费者B的效用函数，给定B的效用水平既定为我们要在B的效用水平既定的条件下求A的效用最大化。约束条件是：

其中：是X产品总量，是Y产品总量。根据目标函数与约束条件，建立拉格朗日函数

其中：λ是效用约束的拉格朗日乘子，µ1、2是禀赋约束的拉格朗日乘子。就式µ（10.4）对变量XA、XB、YA、YB求一阶偏导数，并令偏导数值等于0，得到：

由式（10.5）、（10.6）、（10.7）、（10.8）得到：

由式（10.9）、（10.10）、（10.11）、（10.12）得到：

结合式（10.13）与式（10.14），便得到交换的帕累托最优条件：

（二）生产的帕累托最优条件

生产的帕累托最优是指在技术既定、社会生产资源总量既定的情况下，既定数量的生产要素在厂商之间的配置使各自达到产量的最大化的状况。

既定数量的生产要素在厂商之间的自愿交换过程就是资源再配置过程。这一过程实际上就是生产过程。可能进行生产要素互利配置的最简单经济形式是两种生产要素和两个生产者的经济。在这里，每一个厂商也可以理解成一种类型的厂商，两个厂商可以理解成两类厂商。因此，分析生产的帕累托最优条件的方法与分析交换的帕累托最优条件的方法相似，仍采用埃奇沃斯框图来分析。假定经济社会社会只有两家厂商C和D，他们使用数量既定的L与K两种要素，C生产X产品，D生产Y产品；假定两个厂商都知道对方的要素需求偏好，都是要素价格的接受者；假定C拥有较多的要素L，D拥有较多的要素K，他们就有进行互惠交易的余地；假定交换两种生产要素的交易成本为零。即有：

图10-3表示两个厂商C与D将两种生产要素L、K分别用于生产两种产品X、Y的可能情况。图10-3（a）中的ⅠX、ⅡX和ⅢX是厂商C生产X产品的三条代表性的等产量曲线；图10-3（b）中的ⅠY、ⅡY和ⅢY是厂商D生产Y产品的三条代表性的等产量曲线。现将图10-3（b）旋转1800并与图10-3（a）结合，便得到图10-4表示的生产的埃奇沃斯盒状图。

图10-4表示的生产的埃奇沃斯盒状图是由两个分别表示两个厂商对两种产品的生产数量的坐标图对扣组合在一起形成的。盒状图的水平长度表示整个经济中总的劳动投入数量盒状图的垂直高度表示整个经济中总的资本投入数量Oc为第一个厂商C的坐标原点，OD为第二个厂商D的坐标原点。从OC水平向右测量厂商C对劳动要素L的消费数量LX，垂直向上测量它对资本要素K的消费数量KX；从OD水平向左测量厂商D对劳动要素L的消费数量LY，垂直向下测量它对资本要素K的消费数量KY。

图10-3　厂商C与D的生产情况

图10-4　生产的帕累托最优

在图10-4中，产品X的等产量曲线ⅢX、ⅡX、ⅠX分别与产品Y的等产量曲线ⅢY、ⅡY、ⅠY相切于e′、c′、b′点，把这些点连接起来，便得到CC′曲线，这条CC′曲线，称为生产契约曲线。

现在假定生产是在完全竞争条件下进行。如果生产要素的初始配置不在生产契约曲线上，而在契约曲线以外的任何一点，例如a′点上，虽然生产要素已经耗尽，但点a′仍然存在生产的帕累托改进余地。例如，厂商可将a′点调整至c′点，则可以在不减少X的产量ⅡX的前提下，将Y的产量由ⅠY增加到ⅡY。或者将a′点调整至b′点，则可以在不减少Y的产量ⅠY的前提下，将X的产量由ⅡX增加到ⅢX。由此得到结论：在生产的埃奇沃斯盒状图中，生产要素配置的任意一点，如果它处在厂商C和D的两条等产量曲线的交点上，则它就不是生产的帕累托最优状态，因为在交点上，总存在两种要素配置的帕累托改进的余地，结果使至少有一个厂商的产量增加而没有使其余的厂商的产量下降。而厂商C和D的所有的等产量曲线的切点运动的轨迹连接起来构成的一条曲线，称为生产的契约曲线。即图10-4中的CC′曲线。

现在对C、D间初始的要素分配通过贸易进行改进。假定一次交易结束后C、D的要素配置为h′点，可以看出，h′点仍不是最终配置点，因为此点上仍存在生产的帕累托改进余地。进一步研究可以发现，在图10-4椭圆形图中不在CC′曲线上的任一点，都存在帕累托改进余地。C、D之间再贸易，并朝着CC′曲线方向改进。最终配置点处于两条等产量曲线的切点c′上。此时，C的产量水平无损，D的产量水平达到最大化，不存在任何帕累托改进的余地，此点已为生产的帕累托最优状态点。因为改变c′点状态只有如下几种可能：向右上方移到厂商C的较高的等产量曲线上，则C的产量水平提高了，但厂商D的产量水平却下降了；向左下方移到厂商D的较高的等产量曲线上，则D的产量水平提高了，但厂商C的产量水平却下降了；剩下来的唯一一种可能则是厂商C和D的产量水平都降低。例如，从c′点移到g′点或f′点，都属于此种情况。由此可以得到结论：在生产的埃奇沃斯盒状图中，任意一点，如果它处在厂商C和D的两条等产量曲线的切点上，则它就是生产的帕累托最优状态点。因为在切点上，不存在两种要素配置的帕累托改进的余地，即任何改变都不可能使至少一个厂商的产量增加而没有使其余的厂商的产量下降。

当然，厂商C、D基于生产要素初次配置点a′作的贸易改进，最终配置点不一定是c′点，也可能是b′点，或者是如图10-4中c′、b′连线上的任何一点。这取决于生产要素贸易双方各自讨价还价的能力。但这些改进点入选的条件是因此形成的交易双方的等产量曲线的边际技术替代率相等。从生产要素初始配置的开始，交易双方通过互惠贸易可以达到许多可能的有效配置。由于生产的契约曲线上的任何一点都是厂商C和D各自相应的等产量曲线的相切点，都是帕累托最优点；通过这一点的切线的斜率，便是双方相应的等产量曲线的边际技术替代率。

因此，图10-4中最有效率的生产要素的配置点，应该在两条等产量曲线的切点上。生产契约曲线上所有的点都是两条等产量曲线的切点，是两个厂商不可能再进行生产要素互利贸易的帕累托最优配置点的集合，所以生产契约曲线是既定数量的生产要素在最有效率地利用时所能生产的不同产品的最大产量的组合。

生产的帕累托最优条件，对于用来生产两种产品的两种生产要素来说，它们的每一种组合的边际技术替代率相等。如前所述，边际技术替代率是指保持产量水平不变时，两种生产要素的边际产量之比。只要两个厂商的两种生产要素投入量的边际技术替代率不相等，就可以进行投入量的替代，这样就能增加一种产品的产量而不减少另一种产品的产量，甚至两种产品的产量同时增加。只有当两个厂商的每一组生产要素投入边际技术替代率相等时，这种替代才会停止，这时便达到最有效率的生产，实现了生产的帕累托最优条件。对于厂商C和D来说，L代替K的边际技术替代率分别用表示，则生产的帕累托最优状态条件的公式就是：

（三）生产与交换的帕累托最优条件

生产与交换的帕累托最优是指经济社会生产与交换同时达到帕累托最优的情况。在讨论交换的帕累托最优条件时，我们考虑的经济是一个纯粹的自愿交换经济，没有涉及生产的问题，也就是交换的帕累托最优并不能保证生产的帕累托最优，或者说两者之间没有必然的联系。而在我们讨论生产的帕累托最优条件时，考虑的经济中又完全抽象掉了商品的交换，同样，生产的帕累托最优也不保证交换的帕累托最优。之前的讨论中，我们实际上是将交换和生产分开来独立地进行分析。现在我们将上述交换和生产这两方面分析综合起来，考虑在完全竞争条件下如何得到交换和生产的帕累托最优条件。为此，先要作引入分析。

1.生产可能性曲线的引出

图10-4中的生产契约线CC′代表了所有生产的帕累托最优状态的集合；CC′上的每一点均表示两种投入在两个生产者之间的分配为最优，即表示最优投入。但仔细观察后可发现，生产契约线CC′还向我们提供了另一些有用的信息：

（1）在该曲线上的每一点也表示了一定量投入要素在最优配置时所能生产的一对最优产出。曲线上的每一点对应一对相切的等产量曲线：一条曲线代表X的最优产量，另一条与之相切的曲线代表Y的最优产量。

（2）这一对最优产出还是帕累托意义上的最优产出。即此时要增加某一产出的数量，就不得不减少另一种产出的数量。

（3）遍取生产契约线CC′上的每一点（设为ni），可得到相应的所有点ni的X、Y的最优产出组合量；利用另一坐标图，可以画出X、Y最优产出组合的轨迹。

图10-5中横轴表示最优产出组合中X的数量，纵轴表示最优产出组合中Y的数量。利用该图可以画出最优产出量的轨迹。例如，对应于图10-4中生产契约曲线上的点c′，最优产出量为（ⅡX，ⅡY），该产出量在图10-5中就是图中的P2点。同样，对应于生产契约曲线上的e′点，最优产出量为（ⅠX，ⅢY），该产出量在图10-5中就是P1点；对应于生产契约曲线上的b′点，最优产出量为（ⅢX，ⅠY），该产出量在图10-5中就是P3点。将生产契约曲线上每一点均通过这种方法“变换”到图10-5中来，便得到曲线BB′。曲线BB′就是生产可能性曲线（或产品转换线）。

图10-5　生产可能性曲线图

如前所述，生产可能性曲线是表示在既定的技术水平下，经济系统中既定要素投入都得到有效使用时能够生产出的两种商品的各种最大数量组合。生产可能性曲线可用转换函数T（X，Y）=0表示。它用以说明在既定要素投入都得到有效使用时，社会从X商品生产转换为Y商品生产的可能性。因此，生产可能性曲线上的任何一点都是生产的帕累托最优状态点，而曲线内的任何一点都不是生产的帕累托最优点。

2.生产可能性曲线的特点

生产可能性曲线BB′具有两个特点：

（1）它向右下方倾斜。表示在最优产出量中，两种最优产出的变化是相反的。这种反方向变化说明两种最优产出之间的一种“转换”关系，即可以通过减少某种产出数量来增加另一种产出的最大数量。这也是所以称为生产可能性曲线的原因。如果设产出X的最大变动量为△X，产出Y的变动量为△Y，则他们的比率的绝对值｜△Y/△X｜可以衡量1单位X商品转换为Y商品的比率。该比率的极限则定义为X商品对Y商品的边际转换率MRTXY，亦即：

因此，产品的边际转换率就是生产可能性曲线的负斜率，它是指在资源数量和技术水平既定的条件下，增加一个单位某种商品的生产所必须放弃的另一种商品的最大生产数量。由（10.16）式，可以得出生产可能性曲线的第一个特点。

由于经济中资源总是既定的，或者说当一种产品的产量增加，另一种产品的产量相应减少时，经济中的资源总量并不发生变化，因此有：

所以，产品的边际转换率就是两种产品的边际成本之比，即

由于完全竞争条件下，均衡时商品的边际成本等于商品的价格，因此：

由此还可得出这样一个结论：在商品价格既定条件下，边际产品转换率等于两种商品的价格之比，所以，生产可能性曲线任何一点的斜率的绝对值都等于两种商品的价格之比。

（2）它凸向右上方，表明产品的边际转换率递增。由于生产要素适合于某种产品的生产总是有限度的。例如，假定一个社会只生产两种产品：棉布和面包。如第四章第二节所述，在技术水平和其他要素投入不变时，如果把越来越多的一种要素（如土地）投入棉布的生产（相应的越来越少的土地投入面包的生产），则每单位要素的边际生产率就会出现递减，因此，生产棉布的要素边际生产率是递减的，或者说边际成本是递增的。对于面包生产的情况也可作类似的分析，它的边际生产率也是递减的。这里我们可以将生产X和Y所需要的两种要素L、K捆梆起来视同一种生产要素（L+K），这样，在其他条件不变时，捆梆要素在生产X和Y时的边际报酬也是递减的。可以证明，当一种产品如X增加而另一种产品如Y减少时，X的边际生产率是递减的，同时，Y的边际生产率是递增的。

由此可以推算出产品的边际转换率递增，从而生产可能性曲线凸向右上方。

3.生产与交换的帕累托最优条件

可能同时进行商品互利交易与生产要素互利配置的最简单经济形式是经济社会只有一个消费者和一个厂商，只有两种产品（消费者的劳动或闲暇与厂商生产的消费品）的经济。假定消费者和厂商都知道对方的要素需求偏好，都是价格行为的接受者；假定交易成本为零。在图10-6中的生产可能性曲线上任选一点例如E点。由生产可能性曲线的的性质可知E点是生产契约曲线上的一点，故满足生产的帕累托最优条件。从E点出发分别引一条垂直线到和一条水平线到则得到一个矩形该矩形形同图10-2交换的埃奇沃斯盒形图：它的水平长度和垂直长度分别表示两种产出的给定数量且埃奇沃斯盒形图中的交换契约曲线为VV′。VV′曲线上任意一点均为交换的帕累托最优状态点。因此，给定生产契约曲线上一点，即给定一个生产的帕累托最优状态。由此构建一条交换的契约曲线，即有无穷多个交换的帕累托最优状态点与之对应。在这无穷多个交换的帕累托最优状态点中，任意一个点，例如c点，都表示交换在单独看来时已经处在帕累托最优状态，但并不一定表示在与生产联合起来看时亦达到了帕累托最优状态。

图10-6　生产和交换的帕累托最优

在图10-6中，生产可能性曲线上E点的切线S的斜率的绝对值是产品X对Y的边际转换率MRTXY，交换契约曲线上c点是无差异曲线I2和的切点。I2和的共同切线T的斜率的绝对值是产品X对Y的边际替代率MRSXY。切线S和T可能平行，也可能不平行，即产品X对Y的边际转化率与X对Y的边际替代率可能相等，也可能不等。如果边际转化率与边际替代率不相等，则可以证明这时并未达到生产和交换的帕累托最优状态。^[5]

假设产品的边际转换率为2，边际替代率为1，即边际转换率大于边际替代率。边际转换率等于2意味着厂商通过减少1单位X的生产可以增加2单位的Y。边际替代率等于1意味着消费者愿意通过减少1个单位X的消费来增加1单位Y的消费。在这种情况下，如果厂商少生产1单位X，从而少给消费者1单位X，但却多生产出2个单位的Y。从多增加的两个单位Y中拿出1个单位给消费者即可以维持消费者的满足程度不变，从而多余的1单位Y就代表了社会福利的净增加。这就说明了如果产品的边际转换率大于边际替代率，则仍然存在帕累托改进的余地，即仍然未达到生产和交换的帕累托最优状态。同理可以分析出，如果产品的边际转换率小于于边际替代率，则仍然存在帕累托改进的余地（仍然未达到生产和交换的帕累托最优状态）。

给定生产可能性曲线BB′上一点E和相应构建的交换契约曲线VV′上一点c，只要E点的产品的边际转换率不等于c点的产品边际替代率，则c点就仅表示交换的帕累托最优状态，而非生产和交换的帕累托最优状态。由此可得生产和交换的帕累托最优条件：

即产品的边际替代率等于边际转换率。例如，在图10-6中的交换契约曲线VV′上，点e的边际替代率与生产可能性曲线BB′上E点的边际转换率相等，因为过点e的无差异曲线的切线T′与过点E的生产可能性曲线的切线S恰好平行。因此，点e同时满足生产和交换的帕累托最优。

可以证明：

令A所消费的X商品的数量为XA，A所消费的Y商品的数量为YA，B所消费的X商品的数量为XB；B所消费的Y商品的数量为YB，有下列关系式：

用UA（XA，YA）表示消费者A的效用函数，用UB（XB，YB）表示消费者B的效用函数，给定B的效用水平既定为，有

我们要在给定的转换函数T（X，Y）=0与B的效用水平既定的条件下^[6]求A的效用最大化。根据所求目标函数与约束条件，可得拉格朗日函数：

其中，λ、µ为拉格朗日乘子。对变量XA、YA、XB、YB求一阶偏导数，并令偏导数值等于0，得到四个一阶条件：

整理式（10.25）、（10.26）、（10.27）、（10.28），得到：

用式（10.28）比式（10.29），用式（10.30）比式（10.31），得到：

结合式（10.32）与式（10.33），得到交换与生产的帕累托最优条件。^[7]

四、完全竞争与帕累托最优状态的实现

完全竞争的经济社会在市场机制配置资源实现了一般均衡时，实现资源配置的帕累托最优的必要条件是具备的，只是前面关于经济社会资源配置的帕累托最优条件是在两个消费者、两种产品、两个厂商、两种投入要素的最简单情况下推导出的，显然可以将之推广到多个消费者、多种商品、多个厂商、多种要素的一般情况。

（一）帕累托最优的三个条件

（1）交换的最优条件。任何两种产品的边际替代率对所有的消费者都相等。用公式表示即是：

式中：X和Y为任意两种产品；A和B为任意两个消费者。

（2）任何两种要素的边际技术替代率对所有的厂商都相等。用公式表示即是：

式中：L和K为任意两种要素；A和B为任意两个厂商。

（3）生产和交换的帕累托最优。任何两种产品的边际转换率等于它们的边际替代率。用公式表示即是：

式中：X和Y为任意两种产品。

当上述三个条件均得到满足时，我们就说整个经济达到了帕累托最优。

（二）完全竞争市场条件下的帕累托最优状态的实现

现在考虑完全竞争中，帕累托最优状态是怎么实现的。我们知道，完全竞争经济在一些假定条件下存在着一般均衡，即存在一组价格，使得所有商品的需求和供给都恰好相等。设这一组价格为pX，pY，…；pL，PK，…。其中，PX，PY，…分别为商品X，Y，…的价格；pL，PK…分别表示要素L，K，…的价格。在完全竞争条件下，每个消费者和每个厂商均是价格的接受者，他们将在既定的价格条件下来实现自己的效用最大化和利润最大化。换句话说，均衡价格体系pX，pY，…；PL，PK…对所有消费者和厂商均是相同的。

首先，来看消费者。任意一个消费者例如A在完全竞争经济中的效用最大化条件是：对该消费者来说，任意两种商品的边际替代率等于这两种商品的价格比率，即：

同样，其他消费者如B在完全竞争条件下的效用最大化条件亦是：对B而言，任意两种产品的边际替代率等于这两种产品的价格比率，即：

将以上两式整理可得：

这就是交换的帕累托最优条件。因此，在完全竞争条件下，产品的均衡价格实现了交换的帕累托最优状态，此时，消费者剩余也实现了最大化。

其次，来看厂商的情况。在完全竞争经济中，任意一个厂商C的利润最大化条件之一是：对该厂商来说，任意两种要素的边际技术替代率等于这两种要素的价格比率，即：

同样，其他厂商如D的在完全竞争条件下的利润最大化条件亦是：对D而言，任意两种要素的边际技术替代率等于这两种要素的价格比率，即：

将以上两式整理可得：

这就是生产的帕累托最优条件。因此，在完全竞争条件下，要素的均衡价格实现了生产的帕累托最优状态，此时，生产者剩余也实现了最大化。

最后，来看厂商和消费者综合在一起的情况。现在的问题是要说明完全竞争经济如何满足生产和交换的帕累托最优状态，即在完全竞争条件下，产品的边际转换率是如何与边际替代率相等的。为此，先对产品的边际转换率再作一点解释。我们知道，X产品对Y产品的边际转换率就是：

它表示增加△X就必须减少△Y，或者增加了△Y就必须减少△X。因此，△Y可以看出是X的边际成本（机会成本）；同样，△X也可以看成是Y的边际成本。如果用MCX和MCY分别表示产品X和产品Y的边际成本，则X产品对Y产品的边际转换率可以定义为两种产品的边际成本的比率：

在完全竞争条件下，厂商利润最大化的条件是产品的价格（边际收益）等于其边际成本，于是有：

再由消费者效用最大化条件及式（3.30）和式（3.33）推导式，在完全竞争条件下，消费者效用最大化的条件是产品的价格等于其边际效用，于是有：

整理即得：

其中，MRSXY表示每一个消费者的共同的边际替代率。式（10.35）就是生产和交换的帕累托最优条件。因此，在完全竞争经济中，产品的均衡价格实现了生产和交换的帕累托最优，它使自愿同意市场机制重新配置资源的消费者的效用达到最大，厂商的利润达到最大，消费者和生产者的剩余总和达到最大，市场上没有一种产品存在过度供给或过度需求，市场自动出清。完全竞争经济的一般均衡在资源配置上最有效率的结论^[8]被描述为福利经济学第一定理。