年金终值和现值计算

一、资金时间价值的含义

资金的时间价值是指资金进入社会再生产过程后的价值增值。通常情况下，它相当于没有风险也没有通货膨胀情况下的社会平均利润率。资金时间价值在财务管理中的应用，主要体现在资金筹集、运用和分配等方面。小额贷款公司的利润、利息就是货币时间价值的体现，在计算资金的时间价值时，经常使用“现值”和“终值”两个概念。现值是指货币的现在价值，即本金；终值是指货币在若干期（一般指年）以后的未来价值，即本利和。在不考虑货币的时间价值时，现值就等于终值。若考虑货币的时间价值，现值与终值之间就会出现差额。时间越长，时间价值越高、差额越大，反之差额越小。

二、资金时间价值的计算

现值和终值的计算涉及到单利和复利的计息方式。在单利方式下，只有本金计算利息。而在复利方式下，本金和利息都要计算利息。

在计算资金的时间价值之前，我们先定义P为现值，F为终值，I为利息，i为利息率，n为计息期数。除非特别指明，计息期为一年。

（一）单利终值和现值

1.单利终值的计算公式

【例2-1】北洋小额贷款公司向客户借出资金10000元，期限为三个月，按年18%的单利利率计息。问到期后小额贷款公司可一次性收回多少钱？

分析：若年利率为18%，则月利率为18%/12=1.5%

F=P（1+i×n）=10000×（1+1.5%×3）=10450元

2.单利现值的计算公式

可见现值与终值的计算是互逆的。

【例2-2】若三个月后客户想一次性从银行取出存款15000元偿还北洋小额贷款公司贷款，已知银行按年6%单利利率计息。问客户现在需存入多少钱？

分析：若年利率为6%，则月利率为6%/12=0.5%

P=F/（1+i×n）=15000/（1+0.5%×3）=14778.33元

上述方法计算单利虽然考虑了资金的时间价值，但对前期已经产生的利息并没有转入计息基数而累计计息。因此，单利计算货币的时间价值并不完善。

（二）复利终值和现值

1.复利终值的计算公式

公式中，（1+i）n被称作复利终值系数或1元的复利终值，用符号（F/P，i，n）表示。例如，（F/P，6%，2）表示利率为6%的2期复利终值系数。为了计算方便，通常将（F/P，i，n）制成1元复利终值系数表（见附录1），使用时直接查表即可。

【例2-3】北洋小额贷款公司向银行借款1000万元，年利率8%，期限5年，到期一次还本付息。问5年后应偿还多少万元？

F=1000×（F/P，8%，5）

查“复利终值系数表”，可知（F/P，8%，5）=1.46933。因此，

F=1000×1.46933=1469.33（万元）

2.复利现值的计算公式

复利现值的计算与复利终值是互逆的。

公式中，（1+i）-n被称作复利现值系数或1元的复利现值，用符号（P/F，i，n）表示。同样，为了计算方便，通常将（P/F，i，n）制成1元复利现值系数表（见附录2），使用时直接查表即可。复利现值计算公式也可写作：

【例2-4】北洋小额贷款公司欲在二年后取得5000万元的存款，则在年利率为5%的情况下，现在须存入银行的资金为多少？

查1元复利现值系数表，（P/F，5%，2）=0.9070

P=F·（P/F，i，n）

=5000×0.9070=4535（万元）

（三）年金终值和现值

年金是指在一定期间内，每隔相等的期间发生的等额的系列收支，具有连续性和等额性。年金按其收付发生的时点不同，可分为普通年金、即付年金、递延年金和永续年金等几种。通常用A来代表。

1.普通年金终值和现值的计算

普通年金，又称后付年金，是指从第一期开始，每期期末发生的年金。

（1）普通年金终值的计算

根据复利终值的计算方法计算年金终值，则：第一年末A的终值为A·（1+i）n-1，依次类推，最后一年年末A的终值为A，普通年金终值F的一般计算公式为：

F=A·（1+i）n-1+A·（1+i）n-2+……+A·（1+i）2+A·

等式两边同乘以（1+i），则有：

F=（1+i）=A·（1+i）n+A·（1+i）n-1+……+A·（1+i）3

+A·（1+i）2+A·（1+i）（2）

（2）式-（1）式，可得：

F（1+i）-F=A·（1+i）n-A

整理上式，有：式中称作年金终值系数，用符号（F/A，i，n）表示。为了计算方便，通常将（F/A，i，n）制成1元年金终值系数表（见附录3）。普通年金终值F的计算公式也可写作：

F=A·（F/A，i，n）

【例2-5】北洋小额贷款公司若在4年内每年末从银行贷款100万元，贷款年利率10%，则第四年末应付本息总额是多少？

这显然是普通年金终值的计算问题。查1元年金终值系数表，（F/ A，10%，4）=4.6410

F=100×（F/A，10%，4）

=100×4.6410=464.10（万元）

事实上，小额贷款公司在向金融机构借款的过程中，有可能有能力支付各期的利息，但在到期日可能没有足够的现金来偿还本金。如果小额贷款公司的财务状况恶化，或者金融市场紧缩，对小额贷款公司将极为不利。解决这个问题的办法就是建立偿债基金。所谓偿债基金，就是为了在约定的未来某一时点清偿债务或积累一定数额的资金而必须分次等额形成的存款准备金。这里，未来某一时点债务或一定数额的资金就相当于年金终值F，而分次等额的存款就是年金，所以计算年偿债基金，就是已知年金终值和年金终值系数，求年金的问题。

根据F=A·（F+A，i，n），则有：

【例2-6】北洋小额贷款公司若在3年后偿还6000万元的债务，在利率为10%的情况下，从现在起每年末存入银行多少钱才能偿还这笔债务？

这是已知年金终值和年金终值系数，求年金的问题。

A=6000/（F/A，10%，3）

=6000/3.3100≈1812.69（万元）

（2）普通年金现值的计算

普通年金现值是指一定时期内每期末等额收（付）款的现值之和。

根据复利现值的计算方法计算年金现值，则：第一年末A的现值：A/（1+i），第二年末A的现值：A/（1+i）2，依次类推，第n年末A的现值为A/（1+i）n，普通年金现值P的一般计算公式为：

等式两边同乘以（1+i），则有：

（2）式-（1）式，则有

整理上式，有：

式中

【例2-7】北洋小额贷款公司采用分期付款方式借款6000万元，付款期限3年，在利率10%的情况下，每年末应支付多少元？

这是已知现值和年金现值系数求年金的问题。根据P=A·（P/ A，i，n），可知：

A=P/（P/A，i，n）

查年金现值系数表，（P/A，10%，3）=2.4869被称作年金现值系数，用符号（P/A，i，n）表示。为了计算方便，通常将（P/A，i，n）制成1元年金现值系数表（见附录4）。普通年金现值P的计算公式也可写作：

A=6000/（P/A，10%，3）

=6000/2.4869≈2412.64（万元）

2.即付年金终值和现值的计算

即付年金也称为先付年金，是指从第一期开始，每期期初发生的年金。

（1）即付年金终值的计算

根据复利终值的计算方法计算即付年金终值，则：第一年初A的终值：A×（1+i）n，第二年初A的终值：A×（1+i）n-1，依次类推，第n年年初A的终值为A（1+i），即付年金终值F的一般计算公式为：

F=A·（1+i）n+A·（1+i）n-1+……

+A·（1+i）2+A·（1+i）

根据等比数列求和公式，有：

式中被称为即付年金终值系数，它与普通年金终值系数相比，计算期数多1，系数小1。即：即付年金终值系数可记作[（F/A，i，n+1）-1]。由于年金终值系数是按普通年金终值编制的，所以在计算即付年金终值时应将其调整为普通年金终值来计算。这样，通过查阅“1元年金终值系数表”，得到利率为i。期数为（n+1）期的年金终值系数，然后减1，便得出对应的即付年金终值系数。可用下列公式计算即付年金的终值。

【例2-8】北洋小额贷款公司决定连续4年于每年初存50万元作为固定资产更新改造资金，在银行利率为10%的情况下，公司第四年末取出的本利和是多少？

这是即付年金终值计算问题。

F=A·[（F/A，i，n+1）-1]

=A·[（F/A，10%，5）-1]

=50×（6.1051-1）=255.255（万元）（2）即付年金现值的计算

即付年金现值是指一定时期内每期期初等额收付款的现值之和。

根据复利现值的计算方法计算即付年金现值，则：第一期初A的现值：A，第二期初A的现值：A/（1+i），依次类推，第n期期初A的现值为A·/（1+i）n-1，即付年金现值P的一般计算公式为：

P=A+A/（1+i）+A/（1+i）2+……+A/（1+i）n-1

【例2-9】北洋小额贷款公司转让其房屋使用权8年，每年初收到出租收入50万元，假设银行利率为10%，如果在第一年年初一次性收款，则合理的定价是多少？

P=A·[（P/A，i，n-1）+1]

=50×[（P/A，10%，8-1）+1]

=50×（4.8684+1）=293.42（万元）

3.递延年金

递延年金是普通年金的特殊形式，凡是收付与第一期无关的年金都是递延年金。

（1）递延年金现值的计算

递延年金现值是指递延期以后，每期等额发生的系列收支的现值之和。

递延年金现值的计算有乘法和减法两种常用的计算方法。假设递延期为m，年金发生期为n。

【例2-10】北洋小额贷款公司拟投资建设一项固定资产，建设期3年，使用寿命8年，预计投产建成后，每年产生收入50万元。利率为10%，计算收入的现值。

从题意中已知m=3，n=8，

P=A·[（P/A，i，n）-（P/F，i，m）]

=50×（P/A，10%，8）×（P/F，10%，3）

=50×5.3349×0.7513≈200.41（万元）

也可以用下列方法计算。

P=A·[（P/A，i，m+n）-（P/A，i，m）]

=A×[（P/A，10%，11）-（P/A，10%，3）]

=50×（6.4951-2.4869）≈200.41（万元）

（2）递延年金终值的计算

递延年金的特征决定了递延年金终值的计算与递延期无关。其计算方法可以依据普通年金终值的计算方法。假设递延期为m，年金发生期为n，则递延年金终值的计算公式如下：

F=A×（F/A，i，n）

【例2-10】中，收入的终值为：

F=A×（F/A，i，n）

=A×（F/A，10%，8）

第一种方式：乘法计算

先将递延年金视为n期普通年金，计算递延期末m的现值，然后将此现值计算调整到第一期期初。

Pm=A·（P/A，i，n）

P=Pm·（P/F，i，m）

即：P=A·（P/A，i，n）·（P/F，i，m）（2.10）

第二种方式：减法计算

先将递延年金视为（m+n）期普通年金，计算（m+n）期普通年金的现值，然后扣除实际并未发生的递延期m的年金现值，就可求出递延年金的现值。

=50×11.4359=571.795（万元）

4.永续年金

永续年金是指没有终值的年金，它无期限地等额收付款项。故只计算现值，不计算终值。其现值的计算可通过普通年金现值的公式推导而出：当n→∞时，。故

【例2-11】假设B公司欲收购北洋小额贷款公司，已知北洋小额贷款公司年平均税后收入120万元，而且近五年来，基本上都处于平均状态。当利率为10%时，比较公平的收购价格是多少？

因为北洋小额贷款公司的收入比较稳定，公平的价格就是年收入一定的永续年金的现值。

=120/10%=1200（万元）

三、资金时间价值的意义

资金的时间价值是公司进行筹资决策、评价筹资效益的重要依据。就小额贷款公司而言，资金的时间价值主要体现在筹资环节。

1.资金时间价值是小额贷款公司选择筹资时机的依据

资本市场利率千变万化，为避免资金闲置浪费，就必须使筹集到的资金及时的加以运用，尽可能使筹资时间与用资时间保持一致。因此小额贷款公司必须充分考虑各种影响因素，树立时间价值观念。比如受生产周期和季节性生产的影响，小额贷款公司为满足客户对不同时期资金的需求，在向银行借款时时机最好选择在客户对资金需求量较大的时段，而且最好在发放贷款之前不久筹集到所需要的资金，以降低银行借款利息支出、加速资金周转。

2.资金时间价值是小额贷款公司确定筹资期限的依据

小额贷款公司的筹资期限最好根据资金的需求时间和举债条件来确定。一般情况下，向银行贷款的时间越长，银行采用的利率越高，为避免因举债时间不同带来的利率变化影响筹资成本，小额贷款公司必须做到长期占用资金举借长期债务解决，短期占用资金举借短期债务解决，否则会因资金时间价值的存在，支付过多的利息而加重公司财务负担。

3.资金时间价值是小额贷款公司进行资本结构决策的重要基础

资金时间价值是公司资本成本的一部分，而资本成本是公司为取得和使用资本必须付出的代价，比如支付的利息、股息、债息等等。占用资金的时间越大，付出的代价也就越大。所以在确定资金成本时必须考虑资金的时间价值才能做出正确的资本结构决策。

总之，随着小额贷款公司业务的拓展和规模的扩大，关于时间价值计算的方法，将会越来越多的用于还款决策、职工养老金决策和租赁决策等方面，时间价值在小额贷款公司财务管理中将会有更加广泛的用途。