大数定律及其在保险中的应用

一、大数定律及其在保险中的应用

（一）大数定律

我们知道事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增加，事件发生的频率逐渐趋于某个常数。大数定律所要揭示的就是这类稳定性。

大数定律是用来说明大量的随机现象由于偶然性相互抵消所呈现的必然数量规律的一系列定理的统称，是保险经营的重要数理基础。下面我们简要加以介绍。

1.切比雪夫大数定律

设X₁，X₂，…，X_n（n＝1，2，…），是相互独立的随机变量序列，且具有相同的数学期望和方差，

则对于任意的小正数ε＞0都有

将这一法则运用于保险经营，可说明其含义：

假设有n个被保险人，他们同时投保了n个相互独立的标的（比如汽车），每个标的发生损失额的大小是一个随机变量，且所有损失额X₁，X₂，…，X_n期望值相等，即有

EX₁＝EX₂＝…＝EX_n＝μ

2.贝努利大数定律

设事件A在一次试验中以概率p发生。以n_A表示在n次独立重复试验中事件A出现的次数，则对于任意的小正数ε＞0，有

n次数无限多时，事件A发生的频率接近概率p几乎是一个必然事件。或者说，事件A发生的频率与概率p之间有较大偏差的可能性几乎没有。

贝努利大数定律是切比雪夫大数定律的特例。在切比雪夫大数定律中，设每个X_n是服从0～1分布的随机变量，

即　 P（X_n＝1）＝p

而　 P（X_n＝0）＝1－p

这时　EX_n＝1×p＋0×（1－p）＝p

令　 n_A＝X₁＋X₂＋…＋X_n，则可由切比雪夫大数定律推出贝努利大数定律。

贝努利大数定律表明事件发生的频率具有稳定性，也即当试验次数很大时，事件发生的频率与其概率有较大偏差的可能性很小。这一定律是用频率解释概率的数理基础，这对于利用统计资料来估计损失概率是极其重要的。在非寿险精算中，可以假设某一保险标的具有相同的损失概率，这样就可以通过以往的有关统计数据，求出这类保险标的发生损失的频率，这个计算出来的频率即为损失概率。但通过这种方法计算出来的损失概率是对实际概率的估计，与实际概率之间有一个偏差。根据大数定律，在观察次数很多或观察周期很长的情况下，计算出来的这一频率将与实际损失概率很接近。也就是说，随着保险标的数量的增加，根据概率的频率解释计算出来的理论损失概率与实际损失概率之间的误差会逐渐减少，估计出来的损失概率的稳定性和真实性就增高。所以，保险人承保的保险标的的数量越大，保险人根据大数定律厘定的保费越准确，财务稳定性越强，经营危险越小。

3.泊松大数定律

假设某一随机事件A在第一次试验中出现的概率为p1，在第二次试验中出现的概率为p₂，……在第n次试验中出现的概率为p_n。同样用n_A来表示此事件在n次试验中发生的次数，则根据泊松大数定律对于任意的小正数ε＞0，有

泊松大数定律的意思是说，当试验次数无限增加时，其平均概率与观察结果所得的频率将无限接近。

泊松大数定律运用于保险经营上，可以说明，尽管各个相互独立的危险单位的损失概率可能各不相同，但只要有足够多的标的，仍可在平均意义上求出相同的损失概率。为了有足够多的标的，便于运用大数定律，可以把性质相近的标的集中在一起，求出一个整体的费率。

大数定律应用于保险得出最有意义的结论是：当保险标的的数量足够大时，通过以往统计数据计算出来的估计损失概率与实际概率的误差将很小。保险经营利用大数定律把不确定数量关系向确定数量关系转化，即某一危险事件是否发生对某一个保险标的来说是不确定的，可能发生也可能不发生。但当保险标的的数量很大时，我们可以很有把握地确定其中遭受危险事故的保险标的的数量是多少。这样，根据大数定律，我们把对单个保险标的来说是否发生事故的不确定的数量关系转化为对保险标的的集合来说确定的数量关系。

最后，可以通过一个简单的例子来说明大数定律对保险经营的重要意义。例如，在抛掷硬币的随机试验中，知道正面朝上的概率为0.5。但0.5只是理论上的概率，在实际的随机试验中实际发生的频率不会恰好为0.5，而会有一些误差。在10次抛掷硬币的随机试验中，实际出现正面的次数可能为3次，另7次为反面。这时，正面朝上的实际发生频率为0.3，与理论概率0.5有0.2的误差。在1000次抛掷硬币的随机试验中，实际出现正面的次数可能为470次，另530次为反面。这时，正面朝上的实际发生频率为0.47，与理论概率0.5有0.03的误差。在100000次抛掷硬币的随机试验中，实际出现正面的次数可能为49700次，另50300次为反面。这时，正面朝上的实际发生频率为0.497，与理论概率0.5只有0.003的误差。从上面的分析可以看出，随着试验次数的增加，正面朝上的概率为0.5的可信性也随着增大，换句话说，正面朝上的实际发生频率的稳定性会增加。所以，相对于单个损失危险单位，包含多个损失危险单位集体更加能做出准确的估计。保险标的数量越多，实际发生损失频率与预期损失概率越接近，通过以往统计数据得出的预期损失概率的确定性就越高，正如抛掷100000次硬币出现正面朝上的次数会比抛掷10次硬币出现正面朝上的次数更接近其半数一样。

（二）保险运行的数理解释

人们在日常生活中会面临各种危险，这些危险往往给人们带来巨大的财产损失和经济困难，如火灾与风灾的财产损失、失业与死亡的个人损失。尽管人们无法预测或完全预防这些危险的发生，但他们能够为这些损失对其财务造成的影响做准备。保险正是提供了这样一种帮助人们分散危险、分摊损失的机制，这就是保险的本质——损失分担，其方法是以确定的小损失（缴纳的保费）取代不确定的大损失。在此，可用下面简单的例子来说明保险中的损失分摊机制。

假设有1000栋房屋都分别面临着失火的风险，且在一年中每栋房屋失火的概率为0.2％，每栋房屋一旦失火的损失均为10000元。虽然房屋失火的可能性很小，但是万一失火，对房主来说，损失巨大。如果保险公司把所有面对同样危险的房主组织起来，约定对每人先收取一定的费用（比如说P元，就是我们常说的纯保费），以换取保险人对房屋失火的危险的承担，也即一旦房屋在一年内发生失火事件，保险人将赔付房屋失火所造成的损失10000元。那么根据统计资料，在这一年内预计失火的房屋是2栋，由此引发的单个房屋赔款期望值为20元（0.002×10000＋0.998×0＝20），总额期望值为20×1000＝20000（元），很显然保险人对每位房主应收取的费用P为20元，即每人缴纳20元，可获得一旦危险发生时的10000元的补偿。

在上述分析中，值得注意的是，保险公司在一年内实际的赔款总额是一个随机变量，而这里20000元却是保险公司根据以往统计数据预测的赔款总额的期望值。很显然实际的赔款发生额会与预测期望值20000元有偏差。

一般而言，随着保险标的数额的增加，这种偏差会减小，比如有10000甚至更多房屋参加了这个保险计划，则根据大数定律，发生较大偏差的可能性就很小了；反之，如果该保险计划只有少数保险标的，则保险公司是很难准确估计期望损失的。如果保险标的少到只有一个，即只为一栋房屋投保，则无异于一次赌博。

显然，大数定律在这种损失分摊的机制中起着重要的作用。保险就像是一个蓄水池，每人贡献一点保费，这些资金被保险公司集中起来以弥补少数不幸者所遭受的损失。当参与这种蓄水机制的单位数越多时，蓄水池的功能越能正常、稳定地发挥。

（三）大数定律与风险分散

在上面例子中我们看到房主只需缴纳20元的纯保费，即可获得在危险发生时保险公司对损失的赔偿——10000元。保险公司收取了保费，也就承担了被保险人转移给它的危险，那么保险公司是如何管理危险的呢？

事实上，保险公司并不能更好地预测单个被保险人面临风险的可能性的大小，也不可能降低危险发生的可能性。在预测危险方面，保险人与被保险人的根本区别在于被保险人只能预测自己面临的危险，而保险人预测的是所有被保险人面临的整体危险。虽然保险人不能准确预测具体某个被保险人是否发生损失，但是保险人可以对承担的整体危险做出比较准确的估计。下面就从随机变量的方差与变异系数上加以具体分析。

设保险人承保了n个危险相同、相互独立的危险单位，用随机变量X₁，X₂，…，X_n表示每个保险单位的损失量，则X₁，X₂，…，X_n是相互独立并且与随机变量X具有相同的分布。对单个被保险人而言，他自己面临的危险是实际损失X与期望损失EX的偏差，可用X的标准差σ_X表示这种偏差，如果将n个被保险人看成一个整体，那么平均每个被保险人的实际损失为

由相互独立、同分布的随机变量的性质可知：

由以上公式可以看出，当n充分大时，平均损失珡X就越稳定。

又根据切比雪夫大数定律，当承保单位数n充分大时，珡X与EX发生较大偏差的可能性就很小。

这说明如果将n个被保险人看成一个整体，那么每个被保险人面临的平均危险随着保险人数的增加而减少。

如果考察保险人所面对危险总额的变异系数：

可以看出，承保单位数n越大，保险人对危险的估计就越准确。

（四）大数定律在保险中应用的双重性

保险公司必须根据以往的统计资料预先给出每栋房屋失火的概率并由此计算出纯保费。因此，准确估计出险概率对保险公司是至关重要的。

根据大数定律，以往经验数据越多，对事件发生的概率估计就越准确。这种估计的准确性是能否准确预测未来危险的前提条件。但是另一方面，即使我们能准确估计出事件发生的概率，如果未来危险单位数较少，也很难准确预测未来危险。为使预期结果能很好地接近真实结果，必须将概率估计值运用到大量危险单位中。因此，大数定律的应用具有双重性。

第一，为准确估计事件发生的概率，保险公司必须掌握大量的经验数据。经验数据越多，对事件发生的概率的估计就越准确。

第二，一旦估计出事件发生的概率，必须将此概率估计值运用到大量的危险单位中才能对未来损失有比较准确的估计。

在用经验数据进行未来危险预测时，保险公司往往假设过去事件发生的概率与未来事件发生的概率相同，并且对过去事件发生概率的估计是准确的。但是过去事件发生的概率与未来事件发生的概率往往不一样。事实上，由于各种条件的变化，事件发生的概率也在不断变化。另外，也不能从过去的经验数据中得出完全准确的概率。所有这些都导致实际经验与预期结果之间存在必然偏差，保险公司的危险实际上也就是这种偏差。保险公司可以通过承保大量危险单位提高对危险单位预测的准确性。