电势的计算

电势分布的计算是静电场的另一类基本问题，根据已知条件的不同，电势的计算有下面两种不同的方法．

（1）利用电势定义式计算

（2）利用电势叠加原理计算

当分布在有限区域的电荷给定时，可利用点电荷的电势公式和电势叠加原理计算电势分布．

在点电荷q的电场中，取无限远处为电势零点，利用电势定义式，距点电荷r处一点的电势为

由于静电场力做功与路径无关，可选择一条便于计算的积分路径，取沿径向的E线为积分路径，该点电势为

上式表明，点电荷电场中的电势随r的增加而减小．正电荷电场中各点的电势都为正值，负电荷电场中各点的电势都为负值．

如果场源电荷由若干点电荷组成，根据场强叠加原理，由电势的定义式（9.17）可得点电荷系电场中a点的电势为

上式为电势叠加原理，它表明点电荷系电场中某点的电势等于各点电荷单独存在时在该点产生的电势的代数和．

对于电荷连续分布的带电体，可将其视为无穷多个电荷元组成的电荷系，每个电荷元dq都可视为点电荷，电荷元dq在a点处的电势为

r是电荷元dq到场点的距离．由电势叠加原理，整个带电体在a点的电势为

上式的积分遍及整个带电体，因电势是标量，这里的积分是标量积分，所以电势的计算要比电场强度的计算简便一些．

下面通过几个例子来说明电势的上述两种计算方法．

例9.8　求均匀带电球面电场的电势分布，已知球面半径为R，所带电量为Q（设Q ＞ 0）．

解　由于该带电体电场分布具有球对称性，较易由高斯定理求出空间电场的分布，因此可利用定义式求电势分布．

由静电场的高斯定理可得球面内外的场强为

取无限远处为电势零点．由电势的定义式，球面内距球心r处一点的电势为

取球面径向为积分路径．由于球内外两个区域电场分布不同，需分段积分，所以

球面外距球心r处一点的电势为

上述结果表明，均匀带电球面内各点电势相等，与球表面电势值相同；球面外电势分布与电荷都集中于球心时的点电荷电势分布一样，电势分布的曲线如图9.18所示．

图9.18　均匀带电球面的电势分布

例9.9　求均匀带电细圆环轴线上一点的电势．已知圆环半径为R，带电量为Q（设Q ＞ 0）．

图9.19　例9.9 图

利用上述结果，很容易计算一均匀带电圆盘在通过盘心且垂直于盘面的轴线上的电势．

图9.20　例9.9 图

整个带电圆盘在点P产生的电势为