【摘要】：在第1章介绍极限时，我们计算过两个无穷小之比以及两个无穷大之比的极限，通常称这两种形式的极限为型和型未定式．此类极限可能存在，也可能不存在．在前面，计算这类极限都是具体问题具体分析．本节将根据柯西中值定理来推出求这类极限的简便又重要的一般方法——洛必达法则．证 因为当x→x0时，的极限与f（x0）及g（x0）无关，所以可以补充定义f（x0）＝g（x0）＝0，于是由条件（1）、（2）可知，f（x），
3.2.1 
型未定式
下面先讨论x→x0的情形．
定理1 设函数f（x）和g（x）满足
（2）在点x0的某去心邻域内，f′（x），g′（x）都存在，且g′（x）≠0；
这种在一定条件下通过分子、分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则．
注意到当x→x0时ξ→x0，所以
并且当上式右端为无穷大时，左端也为无穷大．
依次类推，直到求出所要求的极限为止．
解 
例2 求
解 
例3 求
解 如果直接用洛必达法则，那么分母的导数较为复杂．如果作一个等价无穷小代换，那么运算就简便得多．
从本例可以看到，在应用洛必达法则时应注意与其他求极限的方法结合，以简化运算．
定理2 设f（x）和g（x）满足
（2）在点x0的某去心邻域内，f′（x），g′（x）都存在，且g′（x）≠0；
解 若μ为正整数，则相继应用洛必达法则μ次，得
故所求极限为零．
上述两例的结果说明：当x→＋∞时，对数函数ln x，幂函数xμ（μ＞0），指数函数ex均趋于正无穷，但它们趋于无穷的“快慢”程度却不一样．三者相比，指数函数最快，幂函数次之，对数函数最慢．
应用洛必达法则得到
再看另一种化法：
此极限比原来的更复杂，因而这种化法不能解决问题．可见选择恒等变形的方法是很重要的．
解 这是00型未定式．令y＝xx，取对数得
当x→∞时极限不存在，也不是无穷大，所以定理2的条件（3）不满足，即所给极限不能用洛必达法则得出．正确解法如下：
1．用洛必达法则求下列极限：
（2）
（10）
（15）
（19）
其中a，b，c均大于零且不等于1；
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