我们先看两个例子：
例1 求一条平面曲线，使曲线上任一点处的切线斜率等于该点横坐标平方的3倍，并且曲线过坐标原点．
解 设曲线方程为y＝y（x），则曲线在点P（x，y）处的切线斜率为y′（x），所以未知函数y＝y（x）满足关系式
此外，未知函数y＝y（x）还应满足条件：
对式（1）两边积分，得
其中C为任意常数．
把条件（2）代入（3），得C＝0，所以所求曲线的方程为
例2 一质量为m的物体受重力作用而下落，如果开始下落时位置和速度都为0，试求物体下落的距离S与时间t的关系．
解 设物体在时刻t下落的距离为S＝S（t），因物体只受重力的作用，由牛顿第二运动定律可知，物体运动的加速度
其中g为重力加速度．此外，未知函数还应满足如下条件：
对式（5）两端积分，得
再积分一次，得
这里C1，C2为任意常数．
上述两个例子中的关系式（1）和（5）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程．一般地，有如下定义：
定义 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程称为微分方程．未知函数是一元函数的，称为常微分方程；未知函数是多元函数的，称为偏微分方程．
我们只讨论常微分方程，为方便起见简称为微分方程或方程．
微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶．例如，前面所介绍的微分方程（1）是一阶常微分方程，微分方程（5）是二阶微分方程．
一般地，n阶微分方程的形式是
其中F是n＋2个变量的函数．这里必须指出，在方程（10）中，y（n）是必须出现的，而x，y，y′，…，y（n－1）等变量则可以不出现．例如n阶微分方程
y（n）＋1＝0
中，除y（n）外，其他变量都没有出现．
由前面的例子可以看到，在研究某些实际问题时，首先要建立微分方程，然后找出满足微分方程的函数．确切地说，函数y＝φ（x）满足方程微分方程（10），即用
代入方程（10），而使其成为恒等式
则函数y＝φ（x）称为微分方程（10）的解．
例如，函数（3）和（4）都是微分方程（1）的解；函数（8）和（9）都是微分方程（5）的解．
微分方程（1）的解
y＝x3＋C
含有一个任意常数．在这个解中，当任意常数C取不同的值时，就得到不同的y（x），它们都是微分方程的解，故一个微分方程有无穷多个解．
一般说来，一个n阶微分方程的解若含有n个互相独立的任意常数，即若微分方程的解中含有独立的任意常数的个数与方程的阶数相同，则这个解称为该方程的通解．
例如，函数y＝x3＋C是方程（1）的通解，因为它含有一个任意常数，而方程（1）是一阶的．又如函数（8）是方程（5）的通解，它含有两个独立的任意常数，而方程（5）是二阶的．
这里所说的任意常数是相互独立的，是指它们不能合并而使任意常数的个数减少．要准确理解，可参看7.4节中函数线性无关的概念．
由于通解中含有任意常数，所以它还不能完全确定地反映某一客观事物的规律性．要完全确定地反映客观事物的规律性，就必须确定这些常数的值．为此，要根据问题的实际情况，提出确定这些常数的条件．例如，例1中的条件：曲线过坐标原点．
一般地，对于一阶微分方程，用来确定任意常数的条件是：
其中x0，y0都是给定的值；对于二阶微分方程，用来确定任意常数的条件是：
其中x0，y0，y1都是给定的值．上述这种条件称为初始条件．
确定了通解中的任意常数以后，就得到微分方程的一个特定的解，称为微分方程的特解．例如函数（4）是方程（1）满足初始条件（2）的特解；函数（9）是方程（5）满足初始条件（6）的特解．
求微分方程满足初始条件的特解的问题叫做初值问题．
微分方程的解的图形是曲线，称为微分方程的积分曲线．
例3 验证函数y＝C1cos 2x＋C2sin 2x（C1，C2为任意常数）是微分方程
y″＋4y＝0
的通解，并求满足初始条件：y（0）＝1，y′（0）＝0的特解．
解
把y，y″代入微分方程，得
左边＝－4C1cos 2x－4C2sin 2x＋4（C1cos 2x＋C2sin 2x）＝0＝右边．
所以，y＝C1cos 2x＋C2sin 2x是微分方程y″＋4y＝0的解，又因为解中含有两个独立的任意常数，常数个数与方程的阶数相同，所以是方程的通解．
将初始条件y（0）＝1，y′（0）＝0代入
于是C1＝1，C2＝0，所以方程满足初始条件的特解为
y＝cos 2x．
1．指出下列各微分方程的阶数：
（2）
（3）
（4）
2．判断下列各题中的函数是否为所给微分方程的解？
（3）
3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程：
（1）曲线在点（x，y）处的切线斜率等于该点横坐标的平方；
（2）曲线在点（x，y）处的切线与横轴交点的横坐标等于切点横坐标的一半．
4．已知曲线通过点（0，0），且该曲线在点（x，y）处的切线斜率为xe－x，求该曲线的方程．
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