实对称矩阵的对角化

由5.3节可知，不是所有的方阵都可对角化. 那么一个n阶方阵要具备什么条件才能对角化？这是一个比较复杂的问题，对此不进行一般性的讨论，而仅讨论n阶方阵A为实对称矩阵的情形.

定理6　实对称矩阵的特征值为实数.

证　假设复数λ为实对称矩阵A的特征值，复向量x为对应的特征向量，即Ax=λx，x≠0.

显然，当特征值λi为实数时，齐次线性方程组

（A-λiE）x=0

是实系数方程组，则必有实的基础解系，所以对应的特征向量可以取实向量.

定理7　实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交.

证　设λ1，λ2是实对称矩阵A的两个不同特征值，x1，x2是对应的特征向量，则

Ax1=λ1x1，Ax2=λ2x2

因A是对称矩阵，故

定理8　A为n阶实对称矩阵，则必存在正交矩阵P，使得P-1AP=PTAP=A，其中A是以A的n个特征值为对角线元素的对角矩阵.（证明略）

推论　设A为n阶实对称矩阵，λ是A的k重特征值，则R（A-λE）=n-k，从而对应特征值λ恰有k个线性无关的特征向量.

证　由定理8可知对称矩阵A与对角矩阵A=diag（λ1，λ2，…，λn）相似，即存在正交矩阵P，使得

P-1AP=A，

于是

P-1（A-λE）P=P-1AP-λE=A-λE，

因此

R（A-λE）=R（A-λE）.

当k是A的k重特征值时，λ1，k2，…，λn这n个特征值中有k个等于λ，有n-k个不等于λ，从而对角矩阵A-λE的对角线上恰有k个元素等于0，n-k个不等于0，所以R（A-λE）=R（A-λE）=n-k.因此齐次线性方程组（A-λE）x=0的基础解系中含有k个解向量，故对应特征值λ恰有k个线性无关的特征向量.

根据定理8及其推论，现将实对称矩阵A对角化的步骤归纳如下：

（i）求出A的全部互不相等的特征值λ1，λ2，…，λs，它们的重数依次为k1，k2，…，ks（k1+k2+…+ks=n）；

（ii）对每个ki重特征值λi，求出线性方程组（A-λiE）x=0的基础解系，得ki个线性无关的特征向量；

（iii）将每个λi对应的ki个线性无关的特征向量正交化、单位化，得ki个两两正交的单位特征向量（若对应λi只有一个线性无关的特征向量，则只需要单位化即可. 由于k1+k2+…+ks=n，故总共可得n个两两正交的单位特征向量）；

（iv）以这n个两两正交的单位特征向量为列向量构成的矩阵，即为要求的正交矩阵P，且有P-1AP=Λ为对角矩阵. 注意对角矩阵Λ中对角线上元素的排列顺序应与矩阵P中列向量的排列顺序保持一致.

解　A的特征多项式为

所以A的特征值为λ1＝-2，λ2=λ3=1.

当λ1＝-2时，解齐次线性方程组（A+2E）x=0，由

得基础解系为

当λ2=λ3=1时，解齐次线性方程组（A-E）x=0，由

得基础解系为

将ξ2，ξ3正交化：取η2=ξ2，

于是得正交矩阵