求一阶电路全响应的三要素法

三要素法是从直流或正弦激励下的一阶电路全响应求解中归纳总结出来的一种通用法则，采用该法则能快速地求得直流或正弦激励下一阶电路的全响应。

同一个一阶电路中各个响应（电压或电流）的时间常数τ是相同的，对只含一个电容元件的一阶电路，τ=Req C；对只含一个电感元件的一阶电路，。其中Req是换路后电容元件或电感元件所接的电阻性二端网络除去独立源的等效电阻。

下面分别给出直流或正弦激励下的一阶电路全响应的三要素法公式。

1.直流激励下的一阶电路

若全响应f（t）的初始值为f（0+ ），将其代入上式确定积分常数A的值，则有

从而得到

式（6-36）中包含三个基本量，响应的初始值f（0+ ）、响应的稳态值f（ ∞）和电路的时间常数τ。这3个基本量称为三要素，只要求得这三要素，代入式（6-36），便可得到直流激励下一阶电路的全响应。所以式（6-36）称为直流激励下一阶电路全响应的三要素法公式。

2.正弦激励下的一阶电路

正弦激励下一阶电路的全响应也是其稳态分量和暂态分量之和。稳态分量是与激励源同频率的正弦量，用符号（t）代表，它可从换路后得到的正弦稳态电路用相量法求得；暂态分∞量仍为。所以一阶电路的全响应为

若响应f（t）的初始值为f（0+ ），稳态分量的初始值为f∞ （0+），将它们代入式（6-37）中确定出A值，则有

从而得

这便是正弦激励下一阶电路全响应的三要素法公式。其中响应的稳态分量（t）、响应的初始值f（0+）和电路的时间常数τ是三要素。

当激励为非正弦周期函数时，式（6-38）仍然适用，只不过稳态分量f∞ （t）要按第5章的方法计算。

例6-10　图6-24所示电路，换路前电路已稳定，t=0时闭合开关，求响应uC。

图6-24　例6-10图

解　换路前电路已稳定，电容开路，则有

由换路定律得

换路后uC的稳态分量为

电路的时间常数为

由式（6-36）得

例6-11　图6-25（a）所示电路，换路前电路已稳定，t=0时开关由位置1拨向位置2，试求电流i和iL 。

图6-25　例6-11图

解　（1）求电流i和iL的初始值。

换路前电路已处稳态，电感短路，则有

由换路定律，iL（0+） =iL（0-） =1A。 t=0+时刻的等效电路如图6-25（b）所示，应用网孔法，则有

所以有

（2）求换路后电流i和iL的稳态值。

换路后的直流稳态电路如图6-25（c）所示，电感短路，则电流i和iL的稳态分量为

（3）换路后，电路的时间常数为

（4）由式（6-36）得

例6-12　图6-26 （a）所示电路中，Is =10A，R1 =1Ω，R2 =2Ω，C=1μF，gm =0.25S，uC（0-） =2V，t=0时开关闭合，求全响应iC 、uC和i1 。

图6-26　例6-12图

解　（1）首先把电容左侧的电阻性含源二端网络用戴维南定理化简。

由图6-26（b），根据KCL得

由图6-26（c），根据KCL得

最后得图6-26（d）所示简化电路。

（2）由换路定律，得uc（0+） =uc（0-） =2（V）

（3）换路后电流ic和电压uc的稳态值为

（4）电路的时间常数为

（5）由式（6-36），得

（6）由图6-26（a）知

所以