一阶电路的冲激响应

1.单位冲激函数

单位冲激函数δ（t）又叫狄拉克函数，其数学定义为

这表明单位冲激函数δ（t）只存在于t=0的时刻，其图形与时间轴t之间所限定的面积等于1，如图6-35（a）所示，图中括号内的1表示函数图形的面积。

图6-35　单位冲激函数的图形

式（6-43）的积分还可表示为

δ（t-t0）表示出现在t=t0时刻的单位冲激函数。根据式（6-43），有

δ（t-t0）的图形如图6-35 （b）所示。

函数δ（ t）乘以常数K，则Kδ（t）称为冲激函数。并且

这表明函数Kδ（t）的图形面积等于K，我们称K为冲激函数的强度。强度为K的冲激函数Kδ（t）和Kδ（t-t0）的图形表示如图6-36（a）、（b）所示。

图6-36　冲激函数图形

单位冲激函数δ（t）可以看作单位脉冲函数PΔ（t）的极限。图6-37所示的单位脉冲函数的定义为

PΔ（t）的高度等于宽度Δ的倒数，其图形与时间轴所围的面积等于1，即有

图6-37　单位脉冲函数

直观上把δ（t）函数可看作单位脉冲函数PΔ（t）当Δ→0时的极限。图6-38（a）表示出当一个单位脉冲函数的宽度变得越来越窄时，它的高度则变得越来越大。当Δ变为零时，则单位脉冲函数就成为式（6-43）定义的单位冲激函数。

图6-38　单位冲激函数是单位脉冲函数的极限

上面是把δ（ t）函数看作单位矩形脉冲函数的极限。事实上也可用具有其他波形（如三角形脉冲）但面积仍为1的脉冲来近似δ（t）函数。

由于t≠0时，δ（t） =0，所以对任何t=0时的连续函数f （t），有

因此

同理，对于任何在t= t0时的连续函数f （t），也有

这些都表明，δ（t）函数具有把一个连续函数在某一瞬间的值“筛”出的本领，这一性质称为δ（t）函数的“筛分”性质。

单位冲激函数与单位阶跃函数的数学关系如下：单位阶跃函数ε（t）是δ（t）函数的积分，即

而δ（t）函数是单位阶跃函数ε（t）的导数，即

证明 由式（6-43）知

再结合单位阶跃函数ε（t）的定义式（6-39），则有

图6-39　证明δ（t）是ε（t）的导函数

另外，图6-39（a）所示函数f （t），其导数可表示为

这就是图6-39（b）所示的单位矩形脉冲。当Δ→0时，将有

而的高度趋向无限大，矩形脉冲的面积仍保持为1。由定义式（6-43）知，当Δ→0时

所以有

证毕。

下面是电路中可用冲激函数描述的两个实例。

将一个不带电荷的电容元件在t=0时接到一个直流电压源上，如图6-40（a）所示。显然开关闭合后，电路必须满足KVL，则电容电压发生了跃变。如果电源电压为Us，用阶跃函数ε（t）表示，可得

电容电流为

iC是一冲激电流，强度为CUs=QC，它是电容电荷的跃变量。

因此，当电容充电电流为冲激电流时，电容电压要发生跃变（uC（0-）=0→uC（0+ ） =Us）；冲激电流通过电容的瞬间（从0-到0+ ），电容电荷的跃变量等于冲激电流的强度CUs。

将一个无电流的电感元件在t=0时接到一个电流源上去，如图6-41（a）所示。显然开关合向位置2后，必须满足KCL，电感电流发生跃变。如果电流源的源电流为Is，用阶跃函数表示，则得

图6-40　电容与直流电压源接通

图6-41　电感与电流源接通

电感电压为

uL是一个冲激电压，强度为LIs，它是电感磁链的跃变量。

因此，当电感电压为冲激电压时，电感电流要发生跃变（iL（0- ） =0→iL（0+ ） =Is）；冲激电压加于电感的瞬间（从0-到0+），电感磁链的跃变量等于冲激电压的强度LIs 。

2.一阶电路的冲激响应

动态电路在单位冲激激励下的零态响应称为单位冲激响应。下面计算一阶电路的单位冲激响应。

求单位冲激响应，可分两个阶段进行：（1）在t=0-到t=0+的区间内，电路在单位冲激激励δ（t）的作用下引起初始状态，电容电压或电感电流发生跃变，储能元件获得能量；（2）t≥0+时，δ（t） =0，电路中的响应是由非零的初始状态引起的零输入响应。求得在t=0-到t=0+时间内单位冲激激励δ（t）所引起的非零的初始状态，即uC（0+）或iL（0+ ），是求解冲激响应的关键。

图6-42（a）是一RC并联电路，求此电路在单位冲激电流源δi （t）激励下的零态响应uC。

在t=0-到t=0+时间内，由于零态电容元件相当于短路，单位冲激电流δi（t）只通过电容支路，对电容充电，使电容电压发生跃变。t=0+时充电结束，电容电压为

当t＞0+时，δi（t） =0，单位冲激电流源又相当于开路，已充电的电容则通过电阻放电，如图6-42（b）所示。电路的响应仅是非零初始电压uC（0+）产生的。所以RC并联电路在单位冲激电流源的激励下的电压响应为

图6-42　RC电路的冲激响应

式中：τ=RC。

电容的电流在电容充电时（t=0-到t=0+）为一冲激电流，t＞0+后则是绝对按指数规律衰减的放电电流，即

此电流也可按下式求出

因为

所以

电容电压和电流的波形如图6-43所示。

图6-43　RC并联电路冲激响应波形

图6-44（a）是一RL串联电路，求此电路在单位冲激电压源δu （t）激励下的零态响应i。

图6-44　RL电路的冲激响应

在t=0-到t=0+的时间内，零态的电感元件相当于开路、单位冲激电压δu （t）全加在电感元件上，使电感电流发生跃变。当t=0+时，电感电流为

当t＞0+时，δu（t）=0，单位冲激电压源又相当于短路。这时电路响应仅由非零初始电流i（0+）引起，如图6-44（b）所示。所以，RL串联电路在单位冲激电压源激励下的电流响应为

电感电压在t =0-到t=0+时为一冲激电压，t＞0+时，其绝对值则是按指数规律衰减的，即

电感电流和电压的波形如图6-45所示。

图6-45　RL电路冲激响应波形

同一电路的单位阶跃响应s（t）和单位冲激响应h（t）有下列重要关系

证明 由于单位冲激函数和单位阶跃函数的关系为

对于一个线性动态电路，其输入—输出方程是一线性常系数微分方程。设该电路的输入（激励）为e（t）时，输出（响应）为r（t），则当所加的输入（激励）为e（t）的导数（或积分）时，所得的输出（响应）必为r（t）的导数（或积分）。单位冲激激励为单位阶跃激励的一阶导数，因此单位冲激响应可由单位阶跃响应求导数得到。证毕。

同一电路的单位阶跃响应与单位冲激响应的关系，为我们提供了一种求电路单位冲激响应的一种方法，即先求同一电路的单位阶跃响应，通过对单位阶跃响应求导得到该电路的单位冲激响应。

例6-14　求图6-46所示电路的冲激响应uC。

解　（1）在t=0-到t=0+的时间内，零态电容元件相当于短路，电容电流为

图6-46　例6-14图

则有

（2）当t＞0+时，电容通过两并联电阻放电，故

例6-15　如图6-47（a）所示电路中，电容原来未充电，（1）is =25ε（t） mA；（2） is =δ（t）mA，求uC和iC。

图6-47　例6-15图

解　先用戴维南定理化简图6-47（a）中电容所接的电阻性含源二端网络，则得图6-47（b）所示电路，其中

（1）当is =25ε（t）mA时

对电容电压的单位阶跃响应为

则对电容电压的单位冲激响应为

（2）当is =δ（t）mA时

电容电压和电流为