网络的状态方程

1.状态变量和状态方程

第6章讨论动态电路暂态过程时，已提到“状态”的概念，现在以二阶动态电路为例作进一步解释。图8-18（a）中包含两个储能元件，一个电感和一个电容。假设在给定的初始条件下已经求得电感电流iL和电容电压uc，则整个电路的支路电压和电流都随之确定。这是因为利用替代定理可将电感元件用源电流为iL的电流源来替代，将电容元件用源电压为uc的电压源来替代，便得到图8-18（b）所示的电阻性电路，解此电阻性电路便可得到整个电路的支路电压和电流。这一例子表明，在一个动态电路中，只要先求出电路中的电感电流和电容电压，再通过求解一组代数方程，就可求出其他支路的响应来。这一结论可推广到高阶电路。由此可见，在给定外施激励和初始条件的情况下，电路中的电感电流和电容电压是决定网络状态的一组数目最少的变量，因而称为状态变量。状态变量的初始值，称为初始状态。

图8-18　状态变量概念的说明

状态变量的n元一阶微分方程组，称为状态方程。它的矩阵形式为

其中：X是n维状态变量列向量，V是m维输入量列向量，即

A是n×n阶方阵，B是n×m阶矩阵，它们都是常量矩阵，只决定于网络的结构和参数。在给定初始条件X（0）的情况下，就可以从式（8-40）中求出状态变量X的解答。

解得状态变量X后，根据替代定理，把电感用电流源iL替代，把电容用电压源uc替代，得到图8-18（c）所示的电阻网络。通过求解电阻网络的代数方程组，就可得到网络任何部分的响应（输出）来。

设待求响应（输出）有p个，用p维列向量Y表示，即

Y将决定于输入量V和状态变量X。根据线性电路叠加原理，它可表示为

式（8-44）称为输出方程，其中C为p×n阶矩阵，D为p×m阶矩阵，它们都是常量矩阵。

2.状态方程的编写法

1）直观编写法

对简单的动态电路，其状态方程可采用直观编写法，以图8-18（a）所示电路进行说明。

首先对接有电容的节点①列KCL方程，得

对含有电感的回路列写KVL方程，得

整理式（8-45）和式（8-46）得

写成矩阵形式，有

2）系统编写法

对于复杂的网络，编写状态方程常采用系统编写法，系统编写法的基本步骤是：

（1）把每个元件作为一条支路，即把网络的电压源、电容、电阻（或电导）、电感、电流源等都作一条支路。

（2）选择一棵树，使电压源和电容支路都成为树支，使电感和电流源支路都成为连支，电阻支路可以部分是树支（称电导支路），部分是连支（称电阻支路）。这样的树称为“特有树”或“专用树”。当网络中没有纯电容或电容与电压源构成的回路以及没有纯电感或电感与电流源构成的割集时，这种特有树总是存在的。支路编号按下列次序：电压源、电容、电导、电阻、电感、电流源。

（3）对树支电容支路的基本割集列KCL方程，对连支电感支路的基本回路列KVL方程，这组方程称为主方程。

（4）对树支电导支路的基本割集列KCL方程，对连支电阻支路的基本回路列KVL方程，这组方程称为辅助方程。

（5）利用辅助方程和元件特性方程消去主方程中的非状态变量，则得状态方程。这一步骤是编写状态方程过程中工作量最大的。下面举例说明。

例8-7　编写图8-19（a）所示电路的状态方程。

解　（1）画出图8-19（a）的有向图，如图8-19（b）所示，选择一棵特有树，支路编号和参考方向都已标注在图中。

（2）对树支2、3、4所确定的基本割集列KCL方程：

图8-19　例8-7图

对由连支7、8所确定的基本回路列KVL方程

式（8-49）和式（8-50）合在一起组成主方程，其中i6和u5是非状态变量。

（3）对由树支5确定的基本割集列KCL方程，对由连支6确定的基本回路列KVL方程，则有

式（8-51）是辅助方程。

（4）利用辅助方程式（8-51）和元件特性方程i5 = G5u5 ，u6=R6i6消去主方程式（8-49）和式（8-50）中的非状态变量i6和u5，整理后则得状态方程

如令x1=u2，x2=u3，x3=u4，x4=i7，x5=i8，，则有