动量定理与动量定理

动量是描述物体运动状态的一个物理量。它定义为一个运动物体的质量与它的速度的乘积。冲量反映的是力在时间上的累积效应，定义为作用在物体上的力与其作用时间的乘积。因为力是物体运动状态改变的原因，冲量对应于动量的改变量。

一、动量与冲量概念建立背景

观察周围运动着的物体，我们发现它们中的大多数都会停下来。例如跳动的皮球、飞行的子弹、走动的时钟、运转的机器等运行一段时间后都会停止运动。这是否说明宇宙间运动的总量在减少呢？整个宇宙是不是也像一架机器那样，总有一天会停下来呢？但是，千百年来对天体运动的观测，并没有发现宇宙运动有减少的迹象。生活在16、17世纪的许多哲学家认为，宇宙间运动的总量是不会减少的，只要能找到一个合适的物理量来量度运动，就会看到运动的总量是守恒的。这个合适的物理量到底是什么呢？

法国哲学家兼数学家、物理学家笛卡儿提出，质量和速率的乘积是一个合适的物理量。可是后来，荷兰数学家、物理学家惠更斯（1629—1695）在研究碰撞问题时发现：按照笛卡儿的定义，两个物体运动的总量在碰撞前后不一定守恒。牛顿在总结这些人工作的基础上，把笛卡儿的定义做了重要的修改，即不用质量和速率的乘积，而用质量和速度的乘积，这样就找到了量度运动的合适的物理量，牛顿把它叫作“运动量”——现在称之为动量。1687年，牛顿在他的《自然哲学的数学原理》一书中进一步指出：某一方向的运动的总和减去相反方向的运动的总和所得的运动量，不因物体间的相互作用而发生变化；还指出了两个或两个以上相互作用的物体的共同重心的运动状态，也不因这些物体间的相互作用而改变，总是保持静止或做匀速直线运动。

近代的科学实验和理论分析都表明：在自然界中，大到天体间的相互作用，小到如质子、中子等基本粒子间的相互作用，都遵守动量守恒定律。因此，它是自然界中最重要、最普遍的客观规律之一，比牛顿运动定律的适用范围更广。

二、动量和冲量的数学表述及物理解析

1．动量

动量被定义为物体的质量与其速度的乘积，它的数学表达式如下。

（1）单个质点的动量：

p=mv（7-1）

（2）质点系的动量：

p=p1+p2+…+p N=m1v1+m2v2+…+m Nv N（7-2）

p=mvc（7-3）

在国际单位制中动量的单位为kg·m／s，它的量纲为［MLT-1］。它是物体的质量和其速度的乘积，表示这个物体在它运动方向上保持运动的趋势。动量是矢量，它的方向与速度的方向相同。

2．冲量

冲量定义为作用在物体上的力F在时间t1～t2上的累积效应，其数学表达式为

冲量是一个过程量，它表达了力对质点作用一段时间的积累效应，是改变质点机械运动状态的原因。国际单位制中动量的单位是N·s或kg·m／s。

3．动量定理

即

I=Δp（7-5）

式中，Δp是时间t1～t2内线动量的变化量。式（7-5）通常称为动量定理。当质量恒定时，动量定理可以用更简单的形式表示如下：

三、动量定理推论——动量守恒定律

如果一个系统不受外力或所受外力的矢量和为零，我们从式（7-6）可推出Δp=0。这表示这个质点或者质点系的总动量保持不变，这个结论叫作动量守恒定律。动量守恒定律是自然界中最重要最普遍的守恒定律之一。它既适用于宏观物体，也适用于微观粒子；既适用于低速运动物体，也适用于高速运动物体。

1．动量守恒定律的具体表述形式

（1） p=p′ （7-7）

即系统相互作用开始时的总动量等于相互作用结束时（或某一中间状态时）的总动量。

（2） Δp=0（7-8）

即系统的总动量的变化为零。若所研究的系统由两个物体组成，则可表述为

m1v1+m2v2=m1v′1+m2v′2（7-9）

（3） Δp1=-Δp2

即若系统由两个物体组成，则两个物体的动量变化大小相等、方向相反，此处要注意动量变化的矢量性。在两物体相互作用的过程中，也可能两物体的动量都增大，也可能都减小，但其矢量和不变。

2．动量定理与动能定理的区别

动量定理的表达式为

FΔt=Δp=mv2-mv1（7-10）

反映了力对时间的累积效应，是力在时间上的积累，且式（7-10）是矢量式，按照矢量运算法则运算。

而动能定理的表达式为

反映了力对空间的累积效应，且式（7-11）为标量式，遵守代数运算法则。

3．动量守恒定律的四个性质

1）矢量性

动量守恒数学表达式是一个矢量表达式，对于作用前后物体的运动方向都在同一直线上的问题，应选取统一的正方向。凡是与选定的正方向相同的为正，相反的为负。若方向未知，可设为与正方向相同，通过解的结果的正负，判定未知量的方向。

2）瞬时性

动量是一个瞬时量，动量守恒是指系统在任一瞬时的动量守恒。m1v1+m2v2=m1v′1+m2v′2的等号左边是作用前的各物体动量和，等号右边是作用后的各物体动量和，不同时刻动量不能相加。

3）相对性

动量大小与选择的参考系有关，应注意各物体的速度是相对同一惯性系的速度，一般选取地面（或实验室）为惯性参考系。

4）普适性

它不仅适用于两个物体组成的系统，也适用于多个物体组成的系统；不仅适用于宏观物体组成的系统，也适用于微观粒子组成的系统，具有普适性。

四、动量概念在现代物理学中的拓展

1．相对论力学中的动量

在相对论力学中，动量定义为

p=γm0u（7-12）

当物体在低速极限下运动时，相对论力学的动量式可变化为牛顿力学的动量式

p=m0u（7-13）

爱因斯坦由洛伦兹变换下的四维动量守恒提出了相对论的四维动量，其中四维动量可从量子场理论使用格林函数自然导出。四维动量定义为

其中，px表示相对论动量的x分量，E表示系统的总能量，且E=γm0c2。

2．无静止质量物体的动量

无静止质量物体，譬如光子亦有动量。计算的公式为

式中，h表示普朗克常量，λ表示光子的波长，E表示光子的能量，c表示光在真空中的速度。

3．量子力学中的动量

在量子力学中，动量定义为波函数的一个算符。海森堡不确定性原理定义了单一观测系统中一次测定动量和位置的精确极限。在量子力学中，动量与位置是一对共轭物理量。

对单个不带电荷且没有自旋的粒子来说，动量算符可写为

五、应用举例

例 一长为l，密度均匀的柔软链条，其单位长度的密度为λ，将其卷成一堆放在地面上。若手握链条的一端，以匀速v将其上提。当绳端提离地面的高度为x时，求手的拉力。

解：取地面为惯性参考系，地面上一点为坐标原点O，竖直向上为x轴。以整个链条为一系统。设在时刻t，链条一端距原点的高度为x，其速率为v。由于在地面部分的链条的速度为零，故在时刻t，链条的动量为

p（t）=λxvi（7-16）

式中，λ为链条的质量线密度。将式（7-16）两边微分得

dp（t）=λvdxi（7-17）

作用在整个链条的外力，有手的拉力F，重力λxg和λ（l-x）g以及地面对链条的支持力N。由牛顿第三定律知N与λ（l-x）g大小相等、方向相反，所以系统所受的合外力为

根据动量定理，有

（F-λxg）dt=λvdx（7-19）

故 F=λv2+λxg（7-20）

式中用到了v=。式（7-20）就是匀速提起链条需要的拉力表达式，显然它与链条上升的速度以及链条自身的质量密度相关。

六、课后练习

7-1 质量为m的质点在Oxy平面内运动，运动学方程为r=acosωti+bsinωtj，求：

（1）质点在任一时刻的动量；

（2）从t=0到2π／ω的时间内质点受到的冲量。

7-2 一静止的原子核经过放射性衰变产生出一个电子和一个中微子。测得电子的动量为1．2×10-22kg·m／s，中微子的动量为6．4×10-23kg·m／s，两动量方向彼此垂直。求核反冲的动量的大小和方向。

7-3 一物体在光滑的水平面上以速度v=5m／s沿x正方向运动，突然由于内部作用力（爆炸）作用在水平面内分裂成A，B，C三块，测得它们的质量为m A=m B=3m C。如果以物体分裂处为坐标原点，经2s后其中两个碎片的位置为A（15，-6）和C（4，9），试求碎片B的位置坐标。

7-4 质量为M、长为l的船浮在静止的水面上。船上有一质量为m的人，开始时人与船也相对静止。然后，人以相对于船的速度u从船尾走到船头。假设人走到船头后就站在船头不动，过一段时间后船相对水面静止下来，船运动中受到水的阻力与速度成正比，即f=-kv，求在整个过程中船移动的距离。