【摘要】：对二维随机变量（X，Y）来说，随机变量X，Y的数学期望和方差只反映了与X ，Y各自有关的信息.但这些值对这两个随机变量之间的相互联系并没有提供任何信息，我们希望也有这样一个数字特征，能够在一定程度上反映两个随机变量之间的相互联系.从方差的性质3我们知道，如果两个随机变量X，Y相互独立，有E（X-EX） （Y-EY） = 0.反之，如果E（X-EX）（Y-EY）≠0，则随机变量X和Y肯定不独立.这说
对二维随机变量（X，Y）来说，随机变量X，Y的数学期望和方差只反映了与X ，Y各自有关的信息.但这些值对这两个随机变量之间的相互联系并没有提供任何信息，我们希望也有这样一个数字特征，能够在一定程度上反映两个随机变量之间的相互联系.从方差的性质3我们知道，如果两个随机变量X，Y相互独立，有E（X-EX） （Y-EY） = 0.反之，如果E（X-EX）（Y-EY）≠0，则随机变量X和Y肯定不独立.这说明数值E（X-EX）（Y-EY）在一定程度上反映了这两个随机变量之间的某种关系.由此引入下述定义：
定义4.4.1设（X，Y）是二维随机变量，如果（X-EX）（Y-EY）的数学期望存在，则称E（X-EX）（Y-EY）为随机变量（X，Y）的协方差，记作cov（X，Y）.
下面将导出协方差两个十分重要的公式.
由协方差的定义和数学期望的性质，可以得到：
由协方差和方差的定义，可以得到：
同样，对任意实数a，b，c可得
除了这两个公式，不难证明协方差的下列性质.
性质1 cov（X，Y） = cov（Y，X）.
性质2 cov（X，X） = DX.
例4.4. 1设（X，Y）的联合分布律为
求随机变量（X ，Y）的协方差cov（X，Y）和相关系数ρXY.
解 先求出边缘分布，
试求X和Y的协方差cov（X，Y）与相关系数ρXY.
解 见图4-4-1有
从而（X，Y）的相关系数为
这样我们就知道了二维正态分布的五个参数的含义.
图4-4-2
解 见图4-4-2有
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