标志变异指标

4．4．1 标志变异指标的概念和作用

标志变异指标是反映总体各单位标志值差异程度的综合指标。 它表明总体各单位标志值的离散程度和集中趋势，也称标志变动度。 而平均指标只是从一个侧面反映变量的集中趋势。

标志变异指标的作用表现为以下两点：

第一，标志变异指标是衡量平均指标代表性的尺度。

当总体各单位标志值间的差异较大时，计算的标志变异指标值就越大，平均数的代表性就越弱；反之，标志变异指标值越小，平均数的代表性越强。

第二，标志变异指标可以用来研究现象发展变化的均衡性和协调性。

标志变异指标值越小，现象发展变化越均衡，越协调；标志变异指标值越大，现象发展变化越不均衡，越不协调。

按计算方法的不同，标志变异指标可以分为全距、平均差、标准差和离散系数。

4．4．2 全距和平均差

1）全距

全距是指总体各单位标志值中的最大值与最小值之差，通常以R表示，即

R＝最大标志值－最小标志值 （4．22）

由于全距是一个数列中两个极端数值之差，所以也叫极差。

例如有甲乙两个数列：

甲数列 68 69 70 71 72，x＝70，R＝4

乙数列 50 60 70 80 90，x＝70，R＝40

这两个数列的平均数均为70，但其全距不一样，甲数列R＝4，乙数列R＝40，所以这两个数列的平均数的代表性也不同：由于乙数列的全距大，故其平均数的代表性弱；而甲数列的全距小，故其平均数的代表性强。

对于组距数列，全距等于最高组的上限与最低组的下限之差。 至于开口组，则可先求出组中值，再利用组中值求得全距。

应用全距计算较简便，能较快地直接作出判断。 但它只考虑了最大值与最小值之差，没有联系数列中其他数值的差异情况，因而准确性不够。

2）平均差

平均差是指各标志值与算术平均数的离差绝对值的算术平均数，通常用A·D表示。 平均差的计算分为简单平均差与加权平均差两种形式。

①简单平均差 对于未分组资料x1，x2，…，xn，若其平均数为x，则平均差为：

以甲、乙两组日产零件平均差的计算为例说明平均差的计算过程。 甲、乙两组日产零件平均差的计算如表4．11所示。

表4．11 日产零件平均差计算表

以上计算结果表明，两组平均日产零件数均为70件，但乙组平均差为12件，比甲组平均差大10倍，故甲组平均数的代表性比乙组平均数的代表性强。 同时，也说明甲数列各标志值波动小，变动稳定、均衡。

②加权平均差 其计算公式为：

例如，某企业某月工人日包装箱分组资料如表4．12所示，求平均差。

表4．12 平均差计算表

x＝箱＝9．05箱

平均差使用绝对值计算是为了避免各变量值与平均数的离差之和等于零。 平均差是根据全部变量值计算出来的，受极端值的影响比较小，所以对整个变量值的离散趋势有较为充分的代表性。 但由于它采用绝对值的计算方法，不适宜进一步进行数学处理，因此，实际应用受到一定限制。

4．4．3 标准差和离散系数

1）标准差

标准差是总体中各单位标志值与算术平均数离差平方的算术平均数的平方根，又称均方根差或均方差，通常用σ表示。 其计算公式分为简单与加权两种形式：

（1）简单平均式

其计算公式为：

（2）加权平均式

其计算公式为：

标准差的大小不仅可以反映数据离散程度（即差异程度）的大小，而且也反映平均数所具有的代表性的强弱。 标准差小，表明其平均数的代表性强；反之，则表示平均数的代表性弱。 现仍以表4．11和表4．12的资料为例说明标准差的计算过程，如表4．13和表4．14所示。

因为 σ甲＜σ乙

所以，甲组平均数的代表性比乙组强。

表4．13 日产零件标准差计算表

表4．14 标准差计算表

如果是组距数列，则应先求出组中值，然后按加权法进行计算。 例如，农民家庭收入情况资料如表4．15所示，求标准差。

表4．15 标准差计算表

2）离散系数

全距、平均差和标准差都是用绝对数形式来说明标志变动程度的大小，它们都是有计量单位的。 而对于水平相差较为悬殊的不同总体变量数列的对比，或计量单位不同的数列的对比，就需要计算离散系数，通过离散系数来消除或降低平均数的影响，用离散系数来测定平均数的代表性。

离散系数具体有平均差系数和标准差系数两种。

（1）平均差系数

其计算公式为：

式中 VA·D——平均差系数。

将平均差与平均数相除，其目的是为了消除或降低平均数的影响，从而使不同总体之间能够对比。 平均差系数值越大，平均数的代表性越弱；平均差系数值越小，平均数的代表性越强。

（2）标准差系数

其计算公式为：

式中 Vσ——标准差系数。

标准差系数值越大，平均数的代表性越弱；标准差系数值越小，平均数的代表性越强。

例如，已知成年组、幼儿组的平均身高分别为168cm、73cm，其标准差分别为2．828cm，1．414cm，计算比较标准差系数。

计算结果表明，成年组的身高变动程度小于幼儿组。 由此得出结论：成年组平均身高168cm的代表性要比幼儿组平均身高73cm的代表性强。