等差数列教学设计
张 弓
【课 型】一轮复习课
【三维目标】
1.知识与技能:理解等差数列的概念并能解决简单的实际问题;掌握等差数列的通项公式、前n项和公式,体会等差数列与一次函数、二次函数的关系,提升化归能力及分析问题、解决问题的能力。
2.过程与方法:引导学生系统梳理知识点,建立课时知识体系;通过重点讲解与强化练习,使学生内化知识,提高解题能力,发展思维。
3.情感态度与价值观:激发学生积极思考,发展学生思维的深刻性及数学应用意识和创新意识。
【教学重难点】等差数列的常用性质、通项公式、前n项和公式及其方程思想。
突破措施:深刻理解等差数列的定义及其等价形式,熟练运用通项公式、前n项和公式,注意用函数的观点,方程(组)、消元、整体、数形结合、分类讨论等数学思想分析问题和解决问题。
【高考命题规律及趋势】等差数列为必考内容。题型既有选择题和填空题,又有解答题;难度既有容易题、中等题,也有难题。客观题突出“小而巧”,主要考察性质的灵活运用及对概念的理解,主观题或是较为简单的方程问题,或是“大而全”,着重考察函数方程、等价转化、分类讨论等重要数学思想。
【教学设计过程】
一、高考主体内容、重点、难点及思想方法、命题趋势分析(教师)
二、课时知识体系建构(教师、学生)
1.等差数列的概念:若数列{an}从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则数列{an}叫等差数列,这个常数叫该等差数列的公差(d)。
2.通项公式:an=a1+(n-1)d(公式的推导用了什么方法?)
推广:an=am+(n-m)d
变式:a1=an-(n-1)d(由此联想点列(n,an)所在直线的斜率)
3.等差中项:若a、b、c成等差数列,则b称a与c的等差中项,且
归纳出定性分析等差数列的几个途径:
如:(1)知sn=n2+3n+1,问{an}是否为等差数列?它有何特点?
例1:已知数列{an}满足an+2snsn-1=0(n≥2),a1=
(1)求证为等差数列;
(2)求an。
(学生讨论完成,教师总结)此题应抓住条件等式特点,从寻求sn与sn-1关系入手;基本工具是sn与an的关系。
5.简单性质及结论:
(1)有穷等差数列的逆向数列依旧是等差数列(见变式);
(2)等间隔(即序号成等差数列)抽取的子列依旧是等差数列;
如:am,am+k,am+2k,…是以?为公差的等差数列,特别的,{a2n}、{a2n-1}是以2d为公差的子列。
试分析数列{a3n-1}的特点。
(3)若{an}、{bn}是两个等差数列,则{kan+lbn}依旧是等差数列;
(4)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则am+an=ap+aq;
特别的:
①到有穷等差数列首末两项距离相等的两项的总和相等;
②m+n=2p时,2ap=am+an。
如:sn=18,s3=1,an+an-1+an-2=3,则n=?
(5)sm,s2m-sm,s3m-s2m,…,构成以m2d为公差的等差数列;
如:s2=2,s4=10,则s6=?上述结论可否推广?
(6)项数为2n(n∈N+)时,s偶-s奇=nd,,项数为2n-1(n∈N+)时,s偶-s奇=-an
,s2n-1=(2n-1)an(由此思考
和{an}的关系);
(8)单调性和sn的最值:
一般从哪个角度讨论?(利用sn=f(n))
①d>0时,an,sn有最小值。
若a1≥0,则s1最小;若a1<0,则由确定sn的最小值。
②d<0时,an,sn有最大值。
若a1≤0,则s1最大;若a1>0,则由确定sn的最大值。
②d=0时,{an}为常数列,无严格的单调性。
如:知an=-2n+18,试讨论sn的最值。
三、练习反馈(课前提供题目给学生)
例2:(1)非零实数a,b,c成等差数列,则函数f(x)=ax2+2bx+c的零点个数为_______。
以下问题中,{an}为等差数列:
(2)若a10=30,a20=50,则an=________,又若sn=242,则n=__________。
(3)公差为正数,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则a11+a12+a13=_________。
(4)若,且A,B,C三点共线(该直线不过点O),则s100=____________。
(5)数列{an}共有2n+1项,其中奇数项的和为80,偶数项的和为72,则其项数为____________。
(6)若sn=20,=38,则=s3n________________。
(7){an}、{bn}是两个等差数列,sn、tn分别为它们的前n项和,若=,则
=___________________。
(8)若a2+a6+a16=a,则{sn}中可以确定的项是_________________。
(9)200根圆柱形钢管,堆成一三角形垛或梯形垛,每上一层少一根。最下一层最少要放______________根。
(10){an}的最大项为1,最小项为,其公差d∈
,则n的取值的集合为_______________________。。
例3:等差数列{an}中,a1=25,s17=s9。(1)求sn的最大值;(2)求a1+a2+…+an。
例4:已知函数f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n∈N+),且函数f(x)的图象经过点(1,n2),数列{an}为等差数列。
(1)求数列{an}的通项公式。
(2)当n为奇数时,设g(x)=[f(x)-f(-x)],是否存在整数m,M,使m<g(
)<M恒成立?若存在,求出M-m的最小值;若不存在,说明理由。
(此问教师辅导完成)
四、小结(从重点内容、解题思想、技巧方法三个方面让学生完成)
【课后反思】数列部分的两类基本问题:定性分析和定量计算,宜注重概念和基本性质的理解和运用,注重基本量方法。
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