综上所述,在数学课堂教学过程中,教师对学生数学想法的倾听和教师对学生数学想法的回应这两个方面密不可分彼此交融。没有倾听的回应是不存在的,没有回应的倾听也是毫无生气的。下面通过比较三个教学对话片段,来解读不同教学水平的数学教师在倾听与回应学生数学想法方式上所存在的特征差异。
(一)职初教师倾听与回应学生数学想法的片段解析
【实例6-2-1】
职初教师让学生自学课本后展开如下对话:
师:什么叫互相垂直?茅同学。
茅:当两条直线互相,嗯,相交时,形成四个角,都为直角。
师:你可以按照书上说得更规范些。
茅:当两条直线相交成直角时,这两条直线互相垂直。(低头看课本)
师:(板书“当两条直线相交成直角时,这两条直线互相垂直。”)是这样吗?好。根据这幅图请你们说出是哪两条直线互相垂直?一起说。
生(乱):a线……b线……
师:怎么说?
师(领生说):直线a和直线b。
师:怎么样?
生:互相垂直。
师:(PPT呈现“当直线a与直线b相交成直角,直线a与直线b互相垂直”)好,再读一遍。预备起。
生(齐):当直线a与直线b相交成直角时,直线a与直线b互相垂直。
【片段解析】
这个对话片段围绕“什么是互相垂直”话题展开。此话题属于数学概念性问题,学生正确理解“垂直”与“互相垂直”两个概念是本课教学的重点。
实例中,茅同学在看书后尝试用自己理解性的话语描述“互相垂直”概念,语句显得不够流畅,这时教师很不满意并要求他“按照书上说得更规范些”。当学生照本宣科完整地读出答案时,教师如释重负并将早已准备好的定义贴条张贴在黑板上。当教师提出第二个任务“判断哪两条直线互相垂直与互相垂直”时,所示图中只有两条直线a与b,对此完全封闭的数学问题,学生不假思索也能作出回答,当全班学生杂乱地各说各的时,教师再次“引领”全班整齐地用一个声音“直线a和直线b”来表述。如此抽象的一个数学概念,如此封闭的一段对话,显然难以确保收到良好的教学效果。
从倾听与回应角度来说,实例中的职初教师以既定预设的教学流程推进着课堂师生对话,对学生数学想法的倾听和回应完全是简单评价性的,不太关注学生真实的数学想法,教师所提的问题几乎完全牵制着学生回答的思路,数学课堂对话的内容和进程几乎完全受制于教师。在这种课堂对话状态下,教师对学生数学想法的倾听与回应只是表面的、形式上的,缺少实质意义上的“对话”和彼此思想的交流与碰撞。
(二)有经验教师倾听与回应学生数学想法的片段解析
【实例6-2-2】
师:今天我们就在两条直线相交的基础上来研究“垂直”。看看垂直必须要怎么样?首先要怎么样?方同学。
方:首先是两条直线要相交。
师:垂直最重要的一点,首先必须是两条直线要相交。那到底怎样的相交才是垂直呢?
生(沉默)
师:想一想相交到什么程度,才叫作垂直呢?四人小组讨论一下!
(学生小组讨论)
师:好,停。通过刚才激烈的讨论,大家从刚才六幅图中发现即便是相交的状态,也不是每一幅图都是成垂直状态,是吧?那说明垂直必须要有一个特征。它是什么特征呢?我们来看一看。(出示下图)
师:它是垂直的吗?
生(低):是。
师:是不是?
生:是。
师:怎么判断?你用什么方法去判断它垂直?王同学。
王:就是这个角应该是90度。
师:这个角90度,那你怎么知道这个角是90度呢?是用目测吗?
王:用三角尺。
师:用三角尺。我现在就用工具来验证一下。(PPT演示量角过程)
师:看看是90度吗?
生(齐):是。
师:什么时候这两条直线才垂直?黄同学。用自己的话说说看。
黄:我认为是两条直线相交,而且形成了一个90度的直角。
师:形成了一个90度直角,这时可以说这两条直线是什么状态?
黄:垂直。
师:现在是90度,我用一个直角符号来表示。(PPT演示直角符号标识,呈现“红线为直角的一边,蓝线为直角的另一边”)谁来读?史同学。
史:红线为直角的一边,蓝线为直角的另一边。
师:这是直角的一边,这是直角的另一边,可以怎么说呢?(出示PPT“蓝线垂直于红线”)谁来读?刘同学。
刘:蓝线垂直于红线。
师:蓝线垂直于红线,是不是随便两条相交的直线就可以这么说呢?它有什么条件?
生:成90度。
师:也就是说只有当它们相交成直角的时候,我们才可以说这两条直线是垂直的状态。(板书“相交成直角”“交点”)现在你能不能说明两条直线互相垂直的条件是什么?首先怎样?其次怎样?朱同学。
朱:满足两条直线互相垂直的条件是首先两条直线要相交。
师:要互相相交。要形成一个——
朱:要形成一个交点。
师:然后是——
朱:其次要相交成直角。
师:要相交成直角,这时候我们才可以说是两条直线——
朱:垂直。
师:好,请坐。谁再说一遍?唐同学。
唐:……
师:谁再来重复一遍?何同学。
何:……
师:大家都知道了,要说两条直线互相垂直,首先是相交,其次必须要相交成直角。
【片段解析】
这个对话片段也围绕“什么是互相垂直”话题展开,具体又分解成多个分话题,如“垂直有什么特征”“用什么方法判断垂直”“互相垂直有什么条件”。
此案例中,有经验教师基本能倾听和理解学生的数学想法,并对学生的数学想法作出针对性的追问和回应。但这种倾听和回应模式更倾向于解释性的,亦即教师通过简单重复或具体阐释等方式,对学生的数学想法加以解释,通过试探性追问和探索性追问重在理解学生说些什么、想些什么,旨在推动作答学生的数学思维,让其他学生听懂和理解师生对话的内容。从总体上说,有经验教师能关注到学生的数学想法,也能基本顺着学生的数学想法进行试探性和探索性的追问,但表现得还不够彻底,会不由自主地“引”或“扶”着学生走路,放手让学生独自完整地表达数学观点的程度还不够。
如案例开头部分,教师让学生针对“相交到什么程度才叫垂直”这个分话题开展小组讨论。但遗憾的是,讨论结束后教师并没有安排时间让学生表达讨论结果,而是直接呈现预设的题目让学生来判断,随后引向既定的“垂直”定义。如此,只能致使学生的讨论流于形式,尚不能使“教”与“学”两者有机交融。
(三)骨干教师倾听与回应学生数学想法的片段解析
【实例6-2-3】
师:小胖画了一个直角,其他两名学生用了两句话来表述这个直角。小巧说,红线为直角的一边,蓝线为直角的另一边(出示文字);小亚说,蓝线为直角的一边,红线为直角的另一边(出示文字)。他们说得意思一样吗?
生:一样。
师:一样。也就是说,把这个直角分成了红蓝两条——
师生(合):直线。
师:其中的一条红线是蓝线的什么?
生(低):垂线。
师:垂线。那么蓝线也是红线的什么?
生:垂线。
师:那么蓝线和红线之间,你能用一句话来表述吗?小徐。
徐:蓝线和红线之间是互相垂直的。
师:有没有不同意见?小施。
施:我觉得应该说相互垂直。
师:相互垂直、互相垂直。“相互”和“互相”怎么理解?小吴。
吴:我用另外一种方式说一说,就是这两条直线都存在了垂直关系。
师:两条直线存在垂直关系。那怎么说得更规范一些呢?让小乐来告诉大家。刚才小胖画的红蓝两条直线是两条直角边的时候,我们可以说,预备读。(出示PPT“红线垂直于蓝线,蓝线垂直于红线,所以红蓝两条直线互相垂直”)
生(读):蓝线垂直于红线,红线垂直于蓝线,所以红蓝两条直线互相垂直。
师:那么刚才这半句话应怎样补充完整,两条直线相交成直角的时候,这两条直线就怎么样啊?
生:互相垂直。
师:真聪明!叫互相垂直(板书“互相垂直”)。
师:哦,你有问题,是吗?小季。
季:如果在前面黑板上画一条平的线,在后面黑板上画一条竖直的线的话,这两条线也相互形成直角,这两条线能不能叫作互相垂直呢?
师:听明白了吗?他提出了这样一个问题。刚才这两条线,我是画在同一块黑板上,那么假如把这两条直线,一条水平的线画在这块黑板上,另外一条线在后面那块黑板的竖直方向,这两条线也是成为直角,那他问这两条线互相垂直吗?谁能回答他?小张。
张:互相垂直的。因为不管中间隔多少距离,只要两个东西拼在一起,中间是一个直角,就可以算是垂直。
师:你说把这两条直线拼,怎么拼?
张:就是把它按照原来的位置,水平移到另一条线上。
师:要把后面那条线移移移,移到哪?
张:移到前面来了。
师:所以你认为也是互相垂直。觉得有没有道理?小王。
王:我觉得没有道理。这两条直线根本就没有碰在一起。
张:后面的移过来以后就碰到了。
王:可是之前没有碰到,没有碰到就没有相交,怎么能说垂直呢?
张:本来是远离的,按原来的位置移移移,移过来就会相交。
王:那是移过来的线和它垂直,不能说后面黑板上的线和前面黑板上的线垂直。
张:它们本来就是同一条直线。
王:位置变了怎么是同一条直线呢?
张:就是同一条直线。
师:到底是不是同一条直线呢?刚才小季讲的,一条线在前面,一条线在后面,小张你说要把后面那条线移到前面这块黑板上,也就是这两条直线必须在哪?
张:在一块黑板上。
师:移在一块黑板上了,是不是?这个黑板是不是一个面,这个面是不是一个平面?(边讲边做手势)
张:嗯。
师:那么要想这句话成立,是不是可以在前面加个什么条件?小陈。
陈:要在同一平面上。
师:表扬。真好!要在同一个平面上(板书),这两条直线相交成了——
生:直角。
师:这个时候,这两条直线就是——
生:互相垂直。
师:刚才一条直线在这个平面,另外一条直线在那个平面,虽然看上去也成了一个直角,但是它们不在同一个平面上,也就不能称为互相垂直。
【片段解析】
这个对话片段同样是围绕着“什么是互相垂直”这个话题展开,但相对于前两个案例来说,它更具“对话性”。也就是说,这个对话片段更好地体现了在开放思维的空间下通过师生与生生之间的思维交互,达成数学共识,建构数学意义。
案例中的教师以“蓝线和红线之间,你能用一句话来表述吗”这个问题引发学生开放的思维,又以“有没有不同意见”激发学生的多元思维。更有意思的是,当师生刚刚得出“两条直线相交成直角时,这两条直线互相垂直”这一结论时,冷不丁有学生提出了数学疑惑“前黑板上一条平的线和后黑板上一条竖直的线,相互形成直角,那么这两条线能不能叫互相垂直呢”。学生这一问题的提出完全出乎教师预料,但教师能在重复问题后以“谁能回答他”这一开放邀请性的追问来引发其他学生的思考,随即又以“觉得有没有道理”来“挑衅”和生成生生辩论,将课堂对话推向高潮。正当小张、小王“争执”不下时,教师以“到底是不是同一条直线呢”这一追问自然地接过话匣,并以寥寥数语几个问题的追问,提醒学生反思前后思维过程,帮助学生自悟出“要在同一平面上”这个必要条件,从而解决了学生之间的“数学争端”。
可见,案例中的骨干教师能创设时空让学生尽情地释放数学灵感与数学想法,能移情性地倾听学生的数学想法,哪怕是很细微的声音,能自如地利用学生的数学想法,并将其纳入或调整教学,能适机介入对学生的数学想法进行探索性和开放性的追问,能基于学生思维起点乘胜追击,引导学生作出有理有据负责任的解释。所有这些,反映出这位骨干教师有比较强的教学倾听与回应能力。正是在这种探究开放性的倾听与回应中,激励生生质疑与辩论,让学生在思维火花的碰撞中深化数学思维、在数学语言表达中使内在思维变得更加可视、在挑战与反挑战中反思并自纠数学思维误区,从而实现对“互相垂直”这一概念所含本质属性“同一平面上”“两条直线”“相交成直角”的真正理解和自我建构。
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