(1/4) 矩阵的初等变换
下面三种变换称为矩阵的初等变换 （1）互换矩阵中两行（列）元素（记
或
）； （2）用一个非零数k乘矩阵的某一行（列）（记
或
）； （3）矩阵的某一行（列）元素
倍加到另一行（列）对应元素上（记
或
）； 矩阵的初等行或列变换统称矩阵的初等变换。
(2/4) 行阶梯形矩阵与行最简形矩阵
将
进行初等变换，得到
（1）矩阵
称为行阶梯形矩阵，具有以下特点： （i）零行（即元素全为零的行）全都位于非零行的下方； （ii）各非零行左起第一个非零元素的列指标由上至下是严格增大的。 （2）矩阵
也称为行最简形矩阵，具有以下特点： 每个非零行左数第一个非零元是1，并且它所在列的其它元素都是0。
(3/4) 初等矩阵的概念
（1）定义 单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵。 有以下三种类型：对调、倍乘、倍加， (i)对调两行或对调两列得初等矩阵 
。 (ii) 以
乘单位阵的第i行（或第i列）得初等矩阵 
, 其中 
。 (iii) 以k乘E的第j行加到第i行上或以k乘E的第i列加到第j列上，得到初等矩阵 
, （2）初等矩阵的性质 （i）性质1 初等矩阵都是可逆矩阵，且其逆阵也是同类初等矩阵， 
；
；
（ii）性质2 初等矩阵的转置仍是同类初等矩阵， 
；
；
（iii）性质3 用初等矩阵P左（右）乘A，所得PA（AP）就是矩阵A作了一次与P同样的行（列）的初等变换。 例如： 
若
，则
，可以看出PA是A交换两行得到的。
(4/4) 矩阵等价
（1）定义 矩阵A经过有限次初等变换成矩阵B，则称矩阵A与B等价，记作
。若
， 则称后者为A的等价标准形，其中
是r阶单位矩阵，r是矩阵A的秩。 （2）矩阵间等价的性质 （i）
（ii）若
，则
（iii）若
，
，则
。 （3）矩阵等价的充要条件 A
B 
A,B是同型矩阵且有相同的秩 
存在可逆矩阵P和Q，使PAQ=B 
设A是
矩阵，则存在m阶可逆矩阵P，n阶可逆矩阵Q，使 PAQ=
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