敏感系数分析（弹性分析）

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【摘要】：敏感系数分析_管理会计第4章　本量利分析学习要点：1.了解本量利分析的基本假设；2.掌握本量利分析的基本公式及变换形式；3.掌握保本点的计算；4.掌握因素变动对保本点及利润的影响；5.了解目标利润的确定及相关因素的计算；6.掌握各因素敏感系数的计算；7.掌握本量利分析的扩展。它是在成本性态分析和变动成本法的基础上进一步展开的一种分析方法，也是管理会计中的基本内容之一。

第4章　本量利分析

学习要点：

1.了解本量利分析的基本假设；

2.掌握本量利分析的基本公式及变换形式；

3.掌握保本点的计算；

4.掌握因素变动对保本点及利润的影响；

5.了解目标利润的确定及相关因素的计算；

6.掌握各因素敏感系数的计算；

7.掌握本量利分析的扩展。

重点与难点：

1.保本点的计算；

2.因素变动对保本点及利润的影响；

3.目标利润下相关因素的计算；

4.各因素敏感系数的计算；

5.本量利分析的扩展。

本、量、利分析是成本、业务量和利润分析的简称，是研究企业在一定期间内成本、业务量、利润三者之间的变量关系的一种专门方法，也称CVP分析（cost －volume－profit analysis）。它是在成本性态分析和变动成本法的基础上进一步展开的一种分析方法，也是管理会计中的基本内容之一。其基本原理和分析方法在企业的预测、决策、计划和控制等方面有广泛的用途，可以为企业改善经营管理和正确地进行经营决策提供有用的资料。

4.1　本量利分析概述

4.1.1　本量利分析的基本假设

本量利分析是建立在如下一系列基本假设基础上的一种定量分析方法。

1.成本性态分析假设

假设企业的全部成本都已划分为固定成本和变动成本，包括混合成本也已妥善地分解为固定成本和变动成本。

2.变动成本法假设

假设产品成本是按变动成本法计算的，即产品成本只包括变动生产成本，而包括固定性制造费用在内的所有固定成本都作为期间成本处理。

3.相关范围和线性关系假设

假设在一定的时期和业务量范围内，固定成本总额、单位变动成本和单价水平保持不变，由此而建立的成本函数和销售收入函数都是线性函数。

4.产销平衡假设

假设当期生产出来的产品均能销售出去。

5.产品品种结构稳定假设

假设在一个多品种生产和销售的企业中，产销品种的组合不变，也就是在产销总量发生变化时，各种产品的产销额在全部产品产销总额中所占的比重保持不变。

这样，可以排除产品品种结构变化对利润的影响，减少问题的复杂性，集中分析单价、成本及业务量对利润的影响。

4.1.2　本量利分析的基本公式

1.基本的本量利公式

在上述一系列假设下，如果我们把成本、业务量、利润三者之间的依存关系用方程式来描述，那就是基本的本量利公式，即

利润＝销售收入－总成本

　　＝销售收入－（变动成本＋固定成本）

　　＝单价×销售量－（单位变动成本×销售量＋固定成本）

　　＝（单价－单位变动成本）×销售量－固定成本。

设销售单价为p，销售量为x，固定成本总额为a，单位变动成本为b，利润为P，则这些变量之间的关系，可表达为

上述公式中的利润P，在我国管理会计中，是指未扣除利息和所得税以前的“营业利润”，也就是西方财务会计中所谓的“息税前利润”（Earning before Interest and Tax，简称EBIT）。

2.本量利公式的变换形式

在上述CVP分析的基本公式中，涉及5个因素，即p、a、b、x、P，并将P放在等号右边，这种形式便于计算预期息税前利润。在目标利润一定的情况下，将上述基本本量利公式进行恒等变换，即可得出CVP分析的4个变型等式如下。

（1）单价

（2）单位变动成本

（3）固定成本

（4）销售量

4.1.3　本量利分析的相关指标

本量利分析的相关指标，都已经在第3章中讲述，这里简单地复述如下。

1.贡献毛益和贡献毛益率

（1）贡献毛益。贡献毛益总额（Tcm）定义为

单位贡献毛益（Cm）定义为

由上两式可知，

Tcm＝Cm×x。

根据本量利关系的基本公式，利润P也可表示为

P＝Tcm－a。

由此可见，尽管贡献毛益并不等于企业利润，但它的大小，却在一定程度上决定企业的盈利能力。如果贡献毛益小于或等于零，企业就不可能盈利。只有贡献毛益在补偿了企业的固定成本之后仍有剩余，才能形成利润。贡献毛益的绝对额越大，企业盈利能力就越大。

从贡献毛益与固定成本的关系看，若贡献毛益小于固定成本，则利润为负数，企业就会亏损；若贡献毛益大于固定成本，则利润为正数，企业就会盈利；若贡献毛益等于固定成本，则利润为零。根据上述公式，我们还可得

Tcm＝a＋P，也即a＝Tcm－P。

（2）贡献毛益率。贡献毛益率（cmR）定义为

于是，利润公式可表达为

P＝销售收入×贡献毛益率－固定成本＝px×cmR－a。

【例4.1】A企业只生产甲产品，单位变动成本为300元，本期实现销售1000件，单价为500元，发生固定成本190000元。要求：

（1）计算本期甲产品的单位贡献毛益、贡献毛益、贡献毛益率；

（2）利用贡献毛益指标，计算该企业的本期实际利润。

解：

（1）单位贡献毛益为

Cm＝p－b＝500－300＝200（元），

贡献毛益为

Tcm＝Cm×x＝200×1000＝200000（元），

贡献毛益率为

cmR＝Cm／p＝200／500＝40%。

（2）利润为

P＝Tcm－a＝200000－190000＝10000（元）。

2.变动成本率

变动成本率（bR）定义为

bR＝b／p＝bx／（px）。

变动成本率与贡献毛益率之间为互补的关系，即有

cmR＋bR＝1，bR＝1－cmR与cmR＝1－bR。

【例4.2】仍采用前例A企业的相关数据，则本期甲产品的变动成本率

bR＝b／p＝300／500＝60%。

4.1.4　本量利分析的基本内容

本量利分析的基本内容有以下几个方面：

（1）单一品种和多品种的保本分析；

（2）因素变动分析；

（3）保利分析；

（4）本量利的敏感性分析；

（5）本量利分析的扩展。

这5方面内容，将在本章下面各节分别阐述。

4.2　保本分析

保本分析（break－even analysis）是研究企业处于保本状态时本量利关系的一种定量分析。它是本量利分析的基础，其分析的关键，是确定产品的保本点，从而确定企业经营的安全程度。

4.2.1　保本点的含义

保本点（break－even point，简称BEP），又称盈亏平衡点、盈亏临界点，是指企业在一定条件下处于不盈不亏的销售数量或销售收入。它是一种专门研究企业恰好处于不亏不盈时，成本与业务量之间关系的定量分析方法，其主要目的是确定企业一定时期的保本点指标。

一个企业如果能事先知道销售多少产品便可保本，这对企业的经营决策显然是很重要的，因为保本是获得利润的基点，超过了这一销售量，再扩大销售量，企业才可能获利。

保本点通常有两种表示形式：一种是用实物量表示，称为“保本销售量”，简称“保本量”（BEu）；另一种是用货币金额来表示，称为“保本销售额”，简称“保本额”（BEd）。

单一品种条件下的保本点，有保本量和保本额两种表示形式。在多品种条件下的保本点，每一品种可单独测算其保本量和保本额，这时，总保本额还有一定意义，而总保本量就可能没有多大意义。

4.2.2　单一品种保本点的计算

1.基本公式法

基本公式法，是在本量利分析的基本公式的基础上，计算出保本量和保本额的一种方法。

在保本点上P＝0，将此代入（4.1.5）式，就得到

x＝a／（p－b）。

也即保本量

从而保本额

2.贡献毛益分析法

将贡献毛益的有关公式（4.1.7）与（4.1.8）代入（4.2.1）与（4.2.2）式，可得到保本量

与保本额

【例4.3】某公司只生产甲产品，其单位变动成本为400元，单价为1000元，预计下年度可以实现的销量可达2000件，发生的固定成本为240000元。

要求：计算该公司的保本销售量和保本销售额。

解：单位贡献毛益

Cm＝p－b＝1000－400＝600（元），

贡献毛益率

cmR＝Cm／p＝600／1000＝60%，

从而，保本销售量

BEu＝a／Cm＝240000／600＝400（件），

保本销售额

BEd＝p×BEu＝1000×400＝400000（元）。

4.2.3　保本作业率和安全边际

1.保本作业率

保本作业率，也称盈亏临界点作业率、保本点开工率，是指保本点的销售量占企业正常销售量的比值。也即

保本作业率＝保本点销售量／正常销售量　

　　　　　＝保本点销售额／正常销售额。

该指标说明，企业要实现盈利所必须达到的最低作业水平。因此，该指标对企业安排生产有一定的指导意义。

【例4.4】继上例，该公司的保本作业率为

保本作业率＝保本点销售量／正常销售量＝400／2000＝20%。

也就是说，该企业只有在开工作业率高于20%时才有盈利，否则就会出现亏损。

2.安全边际及其与其他指标的关系

（1）安全边际。安全边际（margin of safety），是指实际或预计销售量（额）和保本量（额）之间的差额。这个差额，是企业销售量（额）可以降低的最大限度。如果企业减少的销售量（额）超过安全边际，则企业将面临亏损。

安全边际有两种表示形式：一种是用实物量表示，称为安全边际量（MSu）；另一种是用货币金额表示，称为安全边际额（MSd）。安全边际量与安全边际额的计算公式分别为

MSu：＝实际或预计销售量－保本量＝Su－BEu

与

MSd：＝实际或预计销售额－保本额＝Sd－BEd。

安全边际量和安全边际额属于正指标，它们表示了距离亏损边缘的安全程度。安全边际越大，说明企业盈利性越大，发生亏损的可能性越小，企业经营就越安全。反之，说明企业盈利性越小，发生亏损的可能性越大，企业经营就不安全。同一企业，可以通过比较不同时期的安全边际绝对量的大小，来评价企业经营安全程度的变化。

但是在评价不同企业和不同行业经营安全程度时，就只能利用安全边际的相对数指标。安全边际的相对数，称为安全边际率。安全边际率的计算公式为

MSR＝MSu／Su＝MSd／Sd。

安全边际率属于正指标，越大越好。安全边际率数值越大，企业发生亏损的可能性就越小，说明企业的业务经营越安全。

人们根据企业实际经营安全程度等级和安全边际率经验数据的一定分布区间，设计了评价企业经营安全程度的一般标准。西方企业经常使用的经营安全程度的评价标准如表4－1所示。

表4－1　企业的安全性指标

【例4.5】继上例，该公司的安全边际量、安全边际额与安全边际率依次为

MSu＝Su－BEu＝2000－400＝1600（件），

MSd＝Sd－BEd＝2000000－400000＝1600000（元）

与

MSR＝MSu／Su＝1600／2000＝80%。

由于安全边际率为80%，所以可以认为，荣华公司的业务经营很安全。

（2）安全边际与其他指标之间的关系。

①与销售利润、销售利润率的关系

销售利润可以表示为

P＝MSu×cm＝MSd×cmR。

另外，销售利润率可以表示为

【例4.6】继上例，该公司的下年度预计销售利润率与销售利润P分别为

销售利润率＝MSR×cmR＝80%×60%＝48%

与

P＝MSd×cmR＝1600000×60%＝960000（元）。

②与保本点的关系

因为

MSR＝MSu／Su＝（Su－BEu）／Su＝1－BEu／Su＝1－BEd／Sd，

所以保本量与保本额分别为

BEu＝Su×（1－MSR）　　与　　BEd＝Sd×（1－MSR）。

【例4.7】继上例，假定已知其安全边际率为80%，则其保本量和保本额分别为

BEu＝Su×（1－MSR）＝2000×（1－80%）＝400（件）

与

BEd＝Sd×（1－MSR）＝1000×2000×（1－80%）＝400000（元）。

③与保本作业率的关系

保本作业率＋安全边际率＝1。

4.2.4　保本图

保本分析也可采用绘制“保本图”（break－even chart）的方式进行。保本图，是指将保本点分析反映在直角坐标系中，将影响利润的有关因素及其相应关系，以图的形式表现出来。保本图具有直观、简明的特点，便于使用者理解和接受。但由于它是依靠目测绘制而成，所以难以准确，通常应结合其他方法一起使用。

1.基本式保本图

这是保本图最传统的形式，其特点是将固定成本置于变动成本之下，从而清晰的表明固定成本不随业务量变动的成本特性，揭示保本点、安全边际、盈利区与亏损区的关系。

保本图的绘制程序如下。

（1）在直角坐标系中，以横轴表示销售量，以纵轴表示金额。

（2）绘制固定成本线。在纵轴上确定固定成本的数额，并以此为起点，绘制一条平行于横轴的直线，即为固定成本线。

（3）绘制销售收入线。根据

销售收入＝单价×销售量（销售量≥0）

的函数关系式绘制销售收入线。

（4）绘制总成本线。根据

总成本＝单位变动成本×销售量＋固定成本（销售量≥0）

的函数关系式绘制总成本线。

（5）标明保本点、盈利区与亏损区。销售收入线与总成本线的交点即为保本点。在销售量小于保本点时，企业处于亏损状况，亏损额随销售量的增长而逐渐减少。在销售量大于保本点时，企业处于盈利状态，盈利额随销售量的增长而逐增加。

图表4－1是基本式保本图的示例。

图4－1　基本式保本图

2.贡献毛益式保本图

贡献毛益式保本图的特点是将固定成本置于变动成本之上。其绘制方法是：先确定销售收入线和变动成本线，然后在纵轴上确定固定成本值并以此为起点画一条与变动成本线平行的直线，也就是总成本线。这条线与销售收入线的交点即为保本点。图4－2是贡献毛益式保本图的示例。

贡献毛益式与基本式的主要区别在于：贡献毛益式保本图形象地反映出贡献毛益的形成过程和构成。产品的销售收入减去变动成本以后就是贡献毛益；保本点的贡献毛益刚好等于固定成本；超过保本点的贡献毛益大于固定成本，则表明实现了利润；而不足保本点的贡献毛益小于固定成本，则表明发生了亏损。而基本式保本图主要表明固定成本在相关范围内不变的特征上。

应该说贡献毛益式保本图更符合变动成本法的思路，也更符合保本点分析的思路。

图4－2　贡献毛益式保本图

3.利量式保本图

利量式保本图是一种简化的保本图，它以利润线代替了销售收入线和总成本线，仅仅反映销售量与利润之间的依存关系。它提供的信息简明扼要，易于理解，更易为企业高层管理人员所使用。

利量式保本图的绘制方法如下。

（1）在直角坐标系中，横轴表示销售量（或销售额），纵轴表示金额。

（2）在纵轴上标出固定成本点，该点即为销售量为零时的亏损额。

（3）在横轴上任取一整数销售量，并计算在该销售量下的损益数，并依此在坐标图中再确定一点，连接该点与纵轴上相当于固定成本的那一点相连，即为利润线。

图4－3是利量式保本图的示例。从图中可以看出，当销售量为零时，企业的亏损就等于固定成本；随着销售量的增长，亏损逐渐减低直至盈利。利量式保本图将固定成本置于横轴之下，还能更清晰说明固定成本在企业盈亏中的特殊作用。

图4－3　利量式保本图

4.2.5　多品种保本点的计算

以上所介绍的保本分析和保本图，都是假定在单一产品条件下进行的。但在实际经济生活中，企业生产的产品往往有数种、几十种甚至成百上千种，因此研究多品种条件下的保本分析具有重大的现实意义。

在企业产销多品种产品的情况下，其保本点的分析不能用实物量来表示，因为不同质的各种产品，在数量上是不能相加的，而必须选用能够反映各种产品销售量的货币指标，即计算它们的保本销售额。多品种下保本点的计算和分析可采用以下几种方法。

1.加权平均法

所谓加权平均法，是指根据各产品的销售单价、单位变动成本、销售量计算出一个加权平均贡献毛益率，然后根据固定成本和加权平均贡献毛益率计算出保本销售额，在此基础上再计算各产品保本额。

加权平均法，是一种常见的计算多产品保本点的方法，该方法不要求分配固定成本，而是将各种产品所创造的贡献毛益视为补偿企业全部固定成本的利润来源。这种方法提供的总括预测资料是高层管理人员所必需的，也是进行总体规划所不可缺少的。

其计算步骤如下。

（1）计算全部产品的销售总额

销售总额＝∑（各种产品的销售单价×各种产品的销售量）。

（2）计算各种产品的销售比重

某种产品的销售比重＝该产品的销售额／销售总额。

（3）计算各种产品加权贡献毛益率

加权贡献毛益率＝∑（各种产品的贡献毛益率×各种产品的销售比重）。

（4）计算整个企业的综合保本额

综合保本额＝固定成本总额／加权贡献毛益率。

（5）计算各种产品的保本额和保本点

某种产品保本额＝综合保本额×该种产品的销售比重，

某种产品保本量＝某种产品保本额／某种产品单价。

【例4.8】假设某企业的年固定成本为21000元，生产甲、乙、丙三种产品，有关资料如表4－2所示。则三种产品各自的保本额和保本量计算步骤如下。

表4－2　某企业生产甲、乙、丙三种产品的有关年度资料

（1）计算全部产品的销售总额

销售总额＝2500×20＋3000×10＋1250×16＝100000（元）。

（2）计算各种产品的销售比重

甲产品的销售比重＝（2500×20）／100000＝50%，

乙产品的销售比重＝（3000×10）／100000＝30%，

丙产品的销售比重＝（1250×16）／100000＝20%。

（3）计算各种产品加权贡献毛益率

加权贡献毛益率＝50%×50%＋30%×40%＋25%×20%＝42%。

（4）计算综合保本额

综合保本额＝21000÷42%＝50000（元）。

（5）计算各种产品的保本额和保本点

甲产品保本额＝50000×50%＝25000（元），

甲产品保本量＝25000／20＝1250（件）；

乙产品保本额＝50000×30%＝15000（元），

乙产品保本量＝15000／10＝1500（件）；

丙产品保本额＝50000×20%＝10000（元），

丙产品保本量＝10000／16＝625（件）。

2.分算法

分算法，适用于固定成本能够较准确地分摊给各产品的情形。首先，将固定成本总额分配给各种产品；然后，各种产品的保本点分别按单一品种保本点的计算方法计算，汇总后为企业的保本点。

【例4.9】某玩具厂生产甲、乙、丙三种玩具，各种玩具的销售单价、单位变动成本、单位贡献毛益和固定成本资料，以及计算得到的各产品保本点销售额，一并如表4－3所示。

表4－3　多品种保本点计算（分算法）

上面所列各种产品的保本销售额是计算得到的。但在实际工作中，有的产品销售可能超过了保本点，有的则不到。在这种情况下，整个企业的销售是否达到了保本点如何计算呢？

在管理会计实践中，把超过保本点的那部分销售额和不到保本点的那部分销售额，分别乘以各自产品的贡献毛益率，然后相加，如果其代数和为零，则说明企业正好盈亏平衡，即销售正好达到保本点；如果超过保本点销售额的贡献毛益之和小于不到保本点销售额的贡献毛益之和，表示企业销售还没有达到保本点；反之，表示企业销售已超过保本点。

【例4.10】上例中，该玩具厂甲种玩具已销售25000元，乙种玩具已销售35000元，丙种玩具只销售29500元。该厂是否达到保本点，可通过下述计算求得。

由于三种玩具超过保本额的贡献毛益和低于保本点销售额的贡献毛益之代数和为零，说明该企业第三季度末正好达到保本点，不盈不亏。

【注4.1】按此方法在选择分配固定成本标准时容易出现问题，尤其是品种较多时比较麻烦，而且对共同固定成本的分配无论用什么方法，都有一定的主观性。所以，此方法也是一种近似计算法。固定成本所选择分配的标准不同，分配给产品的固定成本数额不同，计算出的销售额也就不同。不过，不难见到，将共同的固定成本分配到各种产品中去时，采用不同的标准，不会使上例盈亏金额的计算产生误差。

3.联合单位法

如果多品种企业所生产的各种产品的产销量之间存在着比较稳定的数量关系，而且其产品的销路都有保障，就可用联合单位代表按实物量比例构成的一组产品。例如A、B、C三种产品的产销量比为3∶1∶2，则一个联合单位相当于A产品3个单位、B产品1个单位和C产品2个单位，其中B产品为标准产品。根据这种产销量比，可以算出每一联合单位的联合单价、联合单位变动成本、联合单位贡献毛益、整个企业的联合保本量及各产品保本量依次为

联合单价＝∑（某种产品单位售价×该产品销量比），

联合单位变动成本＝∑（某种产品单位变动成本×该产品销量比），

联合单位贡献毛益＝联合单价－联合单位变动成本，

联合保本量＝固定成本／联合单位贡献毛益

与

某种产品的保本量＝联合保本量×该产品销量比。

【例4.11】根据【例4.8】的资料，采用联合单位法计算各产品的保本量和保本额如下。

选择丙产品为基准，则产品销量比为：

甲∶乙∶丙＝2∶2.4∶1，

联合单价＝20×2＋10×2.4＋16×1＝80（元），

联合单位变动成本＝10×2＋6×2.4＋12×1＝46.4（元），

联合单位贡献毛益＝80－46.4＝33.6（元），

联合保本量＝21000／33.6＝625（联合单位），

甲产品保本量＝625×2＝1250（件），

乙产品保本量＝625×2.4＝1500（件），

丙产品保本量＝625×1＝625（件），

甲产品保本额＝20×1250＝25000（元），

乙产品保本额＝10×1500＝15000（元），

丙产品保本额＝16×625＝10000（元）。

4.顺序法

顺序法，是指按照事先确定的品种顺序，依次用各产品的贡献毛益补偿全部固定成本，从而进行保本分析的一种方法。通常以各产品贡献毛益率的高低来确定品种顺序，由高到低是比较乐观的排列，也就是假定贡献毛益高、获利能力强的产品先销售，反之，则是悲观的排列。

【例4.12】根据【例4.8】的资料，说明顺序法的应用（此例设固定成本为30000元）。

根据顺序法的要求，将产品甲、乙、丙依贡献毛益大小顺序排列，并计算累计贡献毛益额与固定成本比较，最后算得保本额。计算过程如表4－4所示。

表4－4　顺序法计算表　　单位：元

由上表可知，该企业的保本产品为乙产品，其综合保本销售额为从甲产品销售收入开始，累计到乙产品使利润为零的销售收入为止。这里，保本销售额为

保本额＝保本产品前累计销售收入＋保本产品应补偿的固定成本／保本产品的贡献毛益率，

其中，“保本产品前累计销售收入”是指“累计损益”栏中第一次出现正数前的产品销售收入累计数，例中为甲产品的销售收入50000元；“保本产品应补偿的固定成本”是指“累计损益”栏的最后一个负数，例中为5000元；“保本产品”是指“累计损益”栏中第一次出现正时所对应的产品，本例为乙产品，其贡献毛益率为40%。则上述保本额为

保本额＝50000＋5000／40%＝62500（元）。

5.主要产品贡献毛益率法

如果企业生产的多种产品中，只有一种是主要产品，其他产品的销售额比重极小，或其他产品的贡献毛益率与主要产品的贡献毛益率很接近，则为了简化计算，可把它们视同为单一产品，并按主要产品的贡献毛益率进行预测。

采用这种方法进行预测，肯定会出现一些误差。但只要事先掌握误差的方向和大致的幅度，适当加以调整，那么该方法还不失为一种简便的方法。

6.历史资料法

历史资料法，就是根据若干时期的历史资料，求出平均每年的销售收入和贡献毛益总额，然后再求出平均的贡献毛益率来预测保本点销售额。当企业生产品种很多时，该方法较简单。例如超市等，往往有几千种甚至几万种，这样用上述方法进行保本点分析就很麻烦。对于这类企业，可采用历史资料法进行计算和分析。

【例4.13】某大型超市当年固定成本总额为160万元。过去3年有关历史资料，以及按历史资料法计算的保本额，如表4－5所示。

表4－5　多品种下贡献毛益和保本额的计算（历史资料法）　单位：万元

注①：当年的保本点销售额＝160÷20%＝800（万元）。

用历史资料法可解决品种繁多企业保本点的计算，对于销售品种结构及各种产品的贡献毛益率相对稳定的企业，这种方法的优点尤为明显。但如果在品种结构变化较大，而且各种产品的贡献毛益率变化不一的情况下，其准确程度就较差，因而只能作为保本分析的辅助参考数据。

从上述介绍的几种方法可以看出，在企业生产多种产品的条件下，可选用多种方法计算其综合保本额，而每一种方法可能会得出不同的综合保本额。产生这个问题的原因，一是各方法都存在一定的适用条件，二是不同方法出自于综合保本额的不同理解。因此，在企业生产多品种的产品时，应根据具体情况，选择适合本企业特点的方法，进行多品种保本分析。

4.3　因素变动分析

在前述分析中，我们是假定固定成本、单位变动成本、销售价格、产品品种结构及产销平衡等等因素不变。但在现实经济生活中，上述诸因素是经常发变动的，并由此引起保本点和利润的升降变动。为了实现既定的目标，必须事前测算有关因素变动对保本点和利润的影响，使决策者和管理者心中有数，以便采取相应的预防措施，避免遭受损失，争取较好的经济效益。

4.3.1　销售价格单独变动的影响

销售价格变动，对保本点的影响最直接、明显。销售价格的变动，会引起单位贡献毛益与贡献毛益率同方向变动，从而会影响到保本点和利润。

在其他因素不变的情况下，当销售单价上升时，会增大单位贡献毛益与贡献毛益率，补偿期间固定成本所需的业务量会相应少一些，导致保本点降低。同时，一定销售量下实现的目标利润将增加，或亏损将减少。

在其他因素不变的情况下，当销售单价下降时，会使单位贡献毛益和贡献毛益率减少，就要求实现更多的产品销售才能补偿期间的固定成本，导致保本点上升。同时，一定销售量下实现的目标利润将减少，或亏损增加。

【例4.14】假设某公司只生产一种甲产品，单位变动成本为7.5元，期间的固定成本为300000元，产品销售单价为12.5元，当年的产销能力为100000件，则保本量、保本额与全年利润依次为

BEu＝300000／（12.5－7.5）＝60000（件），

BEd＝60000×12.5＝750000（元）

与

P＝（100000－60000）×（12.5－7.5）＝200000（元）。

假设该公司甲产品的销售单价从12.5元提高到15元，其他条件不变。则新的保本点、保本额与全年利润依次变为

BEu＝300000／（15－7.5）＝40000（件），

BEd＝40000×15＝600000（元）

与

P＝（100000－40000）×（15－7.5）＝450000（元）。

图4－4是销售价格变动的保本图。可见，在其他条件不变的情况下，销售单价的提高，会使销售收入线斜率变大，致使保本点左移，由V1到V2这一段，也由原来的亏损区变成了盈利区域，全年利润提高。

图4－4　销售价格变动的保本图

4.3.2　单位变动成本单独变动的影响

单位变动成本的变动会引起单位贡献毛益与贡献毛益率向相反方向变动。

在其他因素不变的情况下，单位变动成本上升，将使单位贡献毛益与贡献毛益率下降，补偿期间固定成本所需的业务量将上升，保本点将上升，同时一定销售量下实现的利润将下降；单位变动成本下降，将使单位贡献毛益或贡献毛益率上升，较少的产品销售就能补偿期间固定成本，保本点将下降，同时一定销售量下实现的利润将上升。

【例4.15】假设上例中，单位产品变动成本由7.5元上升到8.5元，其他条件不变。则新的保本点、保本额与全年利润依次变为

BEu＝300000／（12.5－8.5）＝75000（件），

BEd＝75000×12.5＝937500（元）

与

P＝（100000－75000）×（12.5－8.5）＝100000（元）。

图4－5是单位变动成本变动的保本图。可见，在其他条件不变的情况下，单位变动成本的提高，导致新总成本线斜率变大，致使保本点右移，亏损区增加而盈利区减少。

图4－5　单位变动成本变动的保本图

4.3.3　固定成本单独变动的影响

在相关范围内，固定成本虽然不随业务量的变动而变动，但企业经营能力的变化和管理决策都会导致固定成本的升降，特别是酌量性固定成本更容易发生变化。

在其他因素不变的情况下，固定成本总额上升，会抬高总成本线的位置，导致保本点上升及一定销售量下实现的利润的减少；固定成本总额下降，会导致保本点下降，同时，一定销售量下实现的利润会增加。

【例4.16】假设上例中，固定成本由300000元减少到275000元，其他条件不变。新的保本点、保本额与全年利润依次变为

BEu＝275000／（12.5－7.5）＝55000（件），

BEd＝55000×12.5＝687500（元）

与

P＝（100000－55000）×（12.5－7.5）＝225000（元）。

图4－6　固定成本变动的保本图

可见，在其他条件不变的情况下，固定成本的减少，将使总成本线下移、保本点左移、亏损区变小和盈利区扩大。

4.3.4　销售量单独变动的影响

在其他因素不变的情况下，销售量的变动对保本点无影响，但使贡献毛益总额与利润向同方向变动，即销售量上升会导致利润增加，销售量下降会导致利润减少。

4.3.5　多因素变动的影响

以上讨论的是单因素变动对保本点和利润的影响。在实际工作中，往往是多因素变动的。例如，降低销售单价时往往会增加销售量，增加固定成本时往往会提高售价等。因此，就需要对多因素变动的情况，进行保本点和利润分析。

【例4.17】假设上例中，该公司在固定成本减少到275000元的同时，使产品的销售单价降低1元，则新的保本点、保本额与全年利润依次变为

BEu＝275000／（11.5－7.5）＝68750（件），

BEd＝68750×11.5＝790625（元）

与

P＝（100000－68750）×（11.5－7.5）＝125000（元）。

4.3.6　产品品种结构变动的影响

当企业贡献毛益率较低的产品的销售额占总销售额的比重上升时，企业的加权平均贡献毛益率下降，保本点就会上升，达到同样的销售收入时，企业的利润下降；反之，当企业贡献毛益率较高的产品的销售额占总销售额的比重提高时，企业的加权平均贡献毛益率上升，保本点就会下降，达到同样的销售收入时，企业的利润上升。

图4－7　多因素变动的保本图

【例4.18】假设上述机电公司生产三种产品，该厂全年的固定成本为50000元。有关资料如表4－6所示。要求：

（1）在现有品种结构的条件下，计算加权贡献毛益率以及以此为基础计算的综合保本销售额和全年销售利润。

（2）假设A、B、C三种产品的销售比重变为20%、20%、60%，重新计算上述指标。

表4－6　某机电公司有关生产资料

计算过程如下。

（1）现有品种结构条件下的有关指标计算。

①计算各产品销售收入及总收入

②加权贡献毛益率为

40%×80000／200000＋60%×80000／200000＋70%×40000／200000＝54%。

③综合保本额＝50000／54%＝92593（元）。

④全年利润＝（200000－50000／54%）×54%＝58000（元）。

（2）A、B、C三种产品结构变为20%、20%、60%时的情形。

①加权贡献毛益率＝40%×20%＋60%×20%＋70%×60%＝62%。

②综合保本额＝50000／62%＝80645（元）。

③全年利润＝（200000－50000／62%）×62%＝74000（元）。

在销售收入不变的情况下，企业应积极采取措施，努力提高贡献毛益率水平较高的产品的销售比重，降低贡献毛益水平较低的产品的销售比重，从而提高企业的加权贡献毛益率水平，使企业的利润增加，亏损减少。

4.4　保利分析

保利分析，是指在假定销售单价、单位变动成本、固定成本总额不变的条件下，为保证目标的实现而应达到的销售量或销售额的一种方法。应用该方法之前，首先要确定企业计划期应达到的目标利润，然后再根据保利分析法测算实现目标利润的业务量，并为实现目标利润提供各种有关生产、销售和价格的可行性方案服务。

4.4.1　目标利润的确定

传统的利润预测，是根据事先预计的销售量、成本、价格水平测算可以实现的利润额。利润在这里是因变量，它只能随着销售量、成本、价格的变动而变动。现代的利润预测，则是以目标利润预测为中心。这里的目标利润，是指企业在未来一定期间内，经过努力能够达到的最优化利润水平。

为了能够确定一个既积极又可靠的利润目标，除应全面考虑其经济上的合理性、技术上的可行性和生产经营上的现实（可能）性之外，还应综合考虑企业生产经营的各种分项目标，如有关产品的数量目标、结构目标、质量及功能目标、价格及成本目标等，在总体目标所含各个组成部分的关联中，综合地确定利润目标，对企业未来一定期间内的生产经营做出正确的利润规划。

在我国，目前可根据各种不同预定的利润率来规划目标利润。最常用的有以下三种方法。

1.根据基期销售利润率来确定

目标利润＝预计销售收入×销售利润率，

其中

销售利润率：＝P／（px）。

2.根据基期资金利润率来确定

目标利润＝预计资金平均占用额×资金利润率，

其中

资金利润率：＝P／资金平均占用额。

3.根据基期产值利润率来确定

目标利润＝预计工业总产值×产值利润率，

其中

产值利润率：＝P／工业总产值。

【例4.19】某公司只生产经营一种产品，单价为每件100元，单位变动成本为60元，固定成本全年3000万元，2005年实现销售100万件，利润1000万元。企业按同行业先进的资金利润率预测2006年的目标利润，已知资金利润率为20%，预计企业2006年资金平均占用额为8000万元。要求计算企业2006年的目标利润。

解：2006年目标利润＝8000×20%＝1600（万元）。

4.4.2　目标利润分析

目标利润分析是保本分析的扩展，它的目的是揭示为实现企业目标利润所应达到的产销水平。根据目标利润是否考虑税收影响，它又可分为如下的税前目标利润分析和税后目标利润分析。

1.税前目标利润分析

由（4.1.5）与（4.1.7）式，为达到税前目标利润P，目标销售量x应为

x＝（a＋P）／（p－b）＝（a＋P）／Cm。

再由（4.1.8）式，为达到税前目标利润P，目标销售额px应为

px＝（a＋P）／（1－b／p）＝（a＋P）／cmR。

【例4.20】仍按上例的资料，假定2006年目标税前利润为1600万元，价格和成本水平不变。则该年实现税前目标利润的销售量x与销售额px分别为

x＝（a＋P）／（p－b）＝（3000＋1600）／（100－60）＝115（万件）

与

px＝100×115＝11500（万元）。

2.税后目标利润分析

前述公式中的目标利润是指缴纳所得税前的利润。但真正影响企业生产经营中现金流量的现实因素，不是税前利润，而是税后利润，即净利润。所以，从税后利润着眼，进行目标利润的规划和分析，会更符合企业生产经营的实际。

因为税后利润PT为

PT＝（1－T）P，

其中T为所得税税率，P为税前利润，所以，

P＝PT／（1－T）。

于是，为了达到税后利润为PT的目标，目标销售量x与目标销售额px分别为

x＝［a＋PT／（1－T）］／（p－b）＝［a＋PT／（1－T）］／Cm

与

px＝［a＋PT／（1－T）］／（1－b／p）＝［a＋PT／（1－T）］／cmR。

【例4.21】仍按上例的资料，假定2006年目标净利润为1072万元，所得税率为33%，价格和成本水平不变。则该年实现目标净利润的销售量x与销售额px分别为

x＝［3000＋1072／（1－33%）］／40＝115（万件）

与

px＝100×115＝11500（万元）。

3.目标利润中其他因素的计算

目标利润分析是保本分析的拓展和延伸，导致保本点发生变化的各个因素都可能对实现目标利润产生影响。

由（4.1.2）式，在销售量和成本水平保持不变的情况下，为保证实现目标利润，目标销售单价p应为

p＝（a＋bx＋P）／x＝b＋（a＋P）／x。

由（4.1.3）式，在销售量、固定成本、销售单价水平保持不变的情况下，为保证实现目标利润，目标单位变动成本b应为

b＝p－（a＋P）／x。

由（4.1.4）式，在销售量、单位变动成本、销售单价水平保持不变的情况下，为保证实现目标利润，目标固定成本a应为

a＝px－bx－P＝（p－b）x－P。

【例4.22】仍按上例的资料，假定2006年的目标利润为1600万元。则在销售量和成本保持上年水平时，实现目标利润的销售单价p应为

p＝b＋（a＋P）／x＝60＋（3000＋1600）／100＝106（元）；

在固定成本、销售量和销售单价保持上年水平时，实现目标利润的单位变动成本b应为

b＝p－（a＋P）／x＝100－（3000＋1600）／100＝54（元）；

在单位变动成本、销售量和销售单价保持上年水平时，实现目标利润的固定成本a应为

a＝（p－b）x－P＝（100－60）100－1600＝2400（万元）。

上述分析是在假定其他因素不变时，为实现目标利润而应采取的单项措施。但在现实经济生活中，往往更多地采取综合措施以实现目标利润。

【例4.23】仍按上例的资料，假定2006年的目标利润为1600万元，经过各方面的预测，为了扩大销售量，企业只能采取降价措施。当价格降至95元时，销售量可达到125万件，但还实现不了目标利润。企业决定再追加150万元约束性固定成本，可以提高人工效率，降低材料消耗，从而降低单位变动成本。这时，为实现目标利润，单位变动成本b应降至

b＝p－（a＋P）／x＝95－（3000＋150＋1600）／125＝57（元）。

也即在采取上述措施后，只要单位变动成本从原来的60元降至57元，企业也能实现目标利润。

4.5　本量利的敏感性分析

敏感性分析（Sensibility Analysis）就是研究与某一变量相关的因素发生变动时对该变量的影响程度，它是确定性模型中常用的分析。

在本量利关系中，敏感性分析的主要目的，是研究：能引起目标发生质变，如由盈利转为亏损时的各种因素变化的界限；各个因素变化对利润变化影响的敏感程度；当个别因素变化时，如何保证原定目标利润的实现。

这种对确定性模型的敏感性分析，可以揭示致使企业亏损或项目失败的原因及关键变量，使企业管理当局对敏感变量进行控制，作出相应的决策。

4.5.1　保本时的各变量临界值

根据本量利分析的基本模型，可以明确销售量、单价、单位变动成本和固定成本的变化都会引起利润的变化。当这种变化是消极的且达到一定程度时，企业利润就为零，进入保本状态；如这种变化超出上述程度，企业就进入了亏损状态，发生了质变。

由（4.1.2）～（4.1.5）式可知，在其他变量不变的条件下，可以求得保本（P＝0）时的销售量、单价、单位变动成本和固定成本的临界值：

（1）销售量的最小允许值xmin＝a／（p－b）；

（2）销售单价的最小允许值pmin＝b＋a／x；

（3）单位变动成本的最大允许值bmax＝p－a／x；

（4）固定成本的最大允许值amax＝（p－b）x。

【例4.24】假设某公司生产一种产品——甲产品，单价为200元，单位变动成本为120元，全年固定成本估计为1000万元，销售量预计为15万件。全年利润为

P＝（200－120）×15－1000＝200（万元）。

为了保本的各个临界值如下。

（1）销售量的最小允许值xmin＝a／（p－b）＝1000／（200－120）＝12.5（万件）。

即12.5万件是销售量的最小临界值，小于12.5万件就会发生亏损，或者说完成计划销售量的83.33%，企业就可以保本。

（2）销售单价的最小允许值pmin＝b＋a／x＝120＋1000／15＝186.67（元）。

即单价不能低于186.67元，下降幅度不能超过6.67%，否则就会发生亏损。

（3）单位变动成本的最大允许值bmax＝p－a／x＝200－1000／15＝133.33（元）。

即当单位变动成本由120元上升到133.33元时，企业由盈利200万元转为不盈不亏，若单位变动成本上升超过这个临界点，就转为亏损。即单位变动成本只允许增加11.11%。

（4）固定成本的最大允许值amax＝（p－b）x＝（200－120）×15＝1200（万元）。

即固定成本最高只能为1200万元，超过了就会发生亏损。即固定成本只允许增加20%。

除了以上四个因素外，诸如产品结构等因素也影响利润。在现代经济生活中，企业要面向市场，以销定产，尽可能满足不同的社会需要。因此，企业应及时调整产品结构。

4.5.2　敏感系数分析（弹性分析）

敏感系数分析，又可以称为弹性分析。“弹性”是经济学中的基本概念。

一般说来，对于一个多元函数

Y＝f（x1，x2，…，xn），

因变量Y依其中第i个自变量xi的弹性，是指：第i个自变量在其他自变量暂时不变的条件下作很小的变化时，因变量变化的百分率（dY／Y）与第i个自变量变化的百分率（dxi／xi）之比值（dY／Y）／（dxi／xi）＝（dY／dxi）（xi／Y）。

这一概念较粗糙的通俗表述可以是：第i个自变量增加1%且其他自变量暂时不变时，因变量增加的百分点。

单价、单位变动成本、销量、固定成本这些因素的变化，都会对利润产生影响，但它们的敏感程度（弹性）不同。有的因素只要有较小的变动就会引起利润较大的变动，这种因素称为强敏感（弹性）因素；有的因素虽有较大的变动，但对利润的影响不大，称之为弱敏感（弹性）因素。

测定各因素敏感程度（弹性）的指标称为敏感系数（弹性），其计算公式为

某因素的敏感系数（弹性）＝利润变动的百分比／该因素变动的百分比。

可见，在这里，某因素的敏感系数，实际上是利润依该因素的弹性。

通过计算各因素的敏感系数（弹性），企业管理当局可以了解在影响利润的诸因素中，哪个因素的敏感程度（弹性）较强，哪个因素的敏感程度（弹性）较弱，以便分清主次，及时采取调整措施，使利润尽可能大。

由利润函数（4.1.1）式，不难算出，利润P依各因素的弹性如下。

（1）利润P依单价p的弹性ep为

ep＝px／P。

（2）利润P依单位变动成本b的弹性eb为

eb＝－bx／P。

（3）利润P依固定成本a的弹性ea为

ea＝－a／P。

（4）利润P依销售量x的弹性ex为

ex＝（p－b）x／P。

【例4.25】根据上例的资料，各因素的敏感系数分别为

（1）单价p的敏感系数

ep＝px／P＝200×15／200＝15。

这就是说，单价对利润的影响很大，单价变动1%，利润就会变动15%。

（2）单位变动成本b的敏感系数

eb＝－bx／P＝－120×15／200＝－9。

可见，单位变动成本对利润的敏感系数比单价小。

（3）销售量x的敏感系数

ex＝（p－b）x／P＝（200－120）15／200＝6。

（4）固定成本a的敏感系数

ea＝－a／P＝－1000／200＝－5。

在本例中，四个因素的敏感系数从大到小，依次是：单价（15）、变动成本（－9）、销售量（6）、固定成本（－5），即敏感系数最大的是单价，固定成本的影响相对要小一点。其中敏感系数为正（负），表明它与利润同（反）向变动。在进行敏感程度分析时，敏感系数的正值或负值无关紧要，关键是系数的大小，越大则敏感程度越高。

在企业正常盈利条件下，这四个因素的利润敏感系数的大小次序有如下规律。

（1）单价的敏感系数等于单位变动成本敏感系数之绝对值与销量敏感系数之和，也即

ep＝（－eb）＋ex。

（2）企业在盈利（P＞0）的情况下，销量的敏感系数始终比固定成本敏感系数之绝对值大1，也即

ex＝1＋（－ea）。

（3）由上两式可知，单价的敏感系数ep是最大的。

因素敏感系数的大小程度，当然也受到企业成本结构的影响。

【例4.26】假设某公司可以用两种方式来进行甲产品的生产，一是原有的手工系统，二是引进一套先进的自动化系统，后者的成本结构为单位变动成本80元，年固定成本1600万元。在现有的产销量水平上，两种生产模式取得的年度利润都是200万元，但是它们的成本结构是不一样的，手工系统生产中变动成本比重大一些，贡献毛益率为40%；而自动化系统中，以固定成本为主，贡献毛益率高达60%。

分别计算两种生产系统下，各因素的敏感系数如表4－7所示。

表4－7　各因素的敏感系数

因此，当企业成本结构发生变化时，各因素的敏感系数也发生了变化，而且敏感性的顺序也可能发生变化。

尤其值得注意的是，表4－7中，随着固定成本的增加，销售量的敏感系数变大了。由于固定性经营成本的运用，而导致销售量的较小幅度的变动会引起利润较大幅度的变动，这种现象我们称之为经营杠杆。经营杠杆程度的大小可以用经营杠杆系数来衡量：

经营杠杆系数：＝P变动百分比／x变动百分比＝ex＝（p－b）x／P。

在上例中，该公司在采用手工系统和自动化系统下的经营杠杆系数分别为

ex手工系统＝（p－b）x／P＝（200－120）15／200＝6

与

ex自动化系统＝（p－b）x／P＝（200－80）15／200＝9。

也就是说，当该公司的销售量增加（或减少）1%时，在手工系统和自动化系统下，企业的利润将增加（或减少）6%或9%。自动化系统的固定成本比较高，经营杠杆系数比较大，对业务量的变动就比较敏感。

传统的劳动力密集型企业逐步采用高新技术设备向资本密集型过渡的过程中，随着固定成本的增加，相应的，保本点和经营杠杆也都逐步抬高。一般而言，随着高新技术、设备的应用，一方面，企业的贡献毛益率将逐步提高，因此存在比较大盈利可能性；但是另一方面，保本点和经营杠杆也相应变大，这时如果出现市场需求下降等不确定性事件，企业承受的风险也就比较大。

4.6　本量利分析的扩展

本章第一节提出了本量利分析的一些基本假设，如变动成本法假设、相关范围假设等等，即通常所说的确定条件或线性条件下的本量利分析。

然而，在现实经济生活中，由于多种因素的影响，上述种种假设条件并不一定满足。因此，有必要将现有本量利分析的内容及范围加以扩展和延伸，即应进行不确定和非线性条件下的本量利分析。

4.6.1　概率条件下的本量利分析

前述的本量利分析是建立在有关产品的销售单价、单位变动成本、固定成本等基本因素完全确定的基础之上的。但在实际工作中，由于企业内、外或主、客观条件的影响与制约，无论是销售单价、销售量，还是单位变动成本、固定成本等，都往往很难预先确定下来，而只能大体上预计其发生的各种可能状态及可能性的大小。这种可能性的大小，称为概率。概率条件下的本量利分析，就是将概率统计分析方法应用到本量利分析中。

1.概率条件下的保本点分析

【例4.27】某公司开发出一种新产品乙，经调查分析与测算，预计未来年度的单价、单位变动成本和固定成本的取值及相应的概率如表4－8所示，而且它们的取值互相独立。要求：确定新产品乙的保本销售量。

表4－8　预计未来年度的单价、单位变动成本和固定成本的估计值及相应的概率

当产品的销售单价为20元，单位变动成本为15元，固定成本为4000元时

保本销售量＝4000／（20－15）＝800（件），

而由于它们的取值互相独立，所以出现这种情况的概率（联合概率）为

0.8×0.6×0.9＝0.432，

由此得到：800×0.432＝345.6（件）。

用同样的方法，可得到其他组合的保本点，然后进行汇总，最终得到期望保本量，如表4－9所示。

表4－9　期望保本量的计算

上例中假设了“它们的取值互相独立”。如果不假设“独立”，只要知道各种组合出现的联合概率，其计算类似。

运用概率统计分析是将各种可以预计到的可能性都考虑进去了。这样的计算结果，比不考虑概率因素的计算自然更合理。但是，运用概率分析进行保本点分析，工作量相对来说较大，同时在确定各因素的变化范围及其概率时，应注意概率数值的客观性和正确性。

2.概率条件下的利润分析

【例4.28】上例中，假定该公司未来年度新产品乙的销售量取1800件的概率为1／3，取2100件的概率为2／3，其他因素的取值及相应的概率仍如上例。则由（4.1.1）式，以及这里的“它们的取值互相独立”假设，所以利润P的期望EP为

EP＝（Ep－Eb）Ex－Ea。

由表4－8可得

Ep＝20×0.8＋18×0.2＝19.6，

Eb＝15×0.6＋12×0.3＋10×0.1＝13.6，

Ex＝1800×1／3＋2100×2／3＝2000，

Ea＝4000×0.9＋4500×0.1＝4050，

将这些代入上式，便得

EP＝（19.6－13.6）2000－4050＝7950。

由于在互相独立的假设下，不仅和的期望等于期望的和，而且乘积的期望也等于期望的乘积，所以本例充分利用了“它们的取值互相独立”这一假设，使计算变得非常简单。

4.6.2　折线条件下的本量利分析

这里的折线，是指在整个业务量范围内，收入、成本与产销量不呈线性关系，但是把整个业务量划分为若干区间以后，在每个区间内收入、成本与产销量之间的变化情况又大体符合线性关系。若将这种关系描绘在坐标图上，总收入线或总成本线会出现折点。

假设某企业生产单一产品，产量与销售相等，单价与总成本，随生产能力利用率的变动作折线变动。此时的保本点如图4－8所示。

图4－8的说明如下。

固定成本线（L4）在生产能力利用率达到50%以前，都是10000元，但当达到50%时，由于需要在某些方面追加一定的固定支出，才能保证生产的正常进行，使固定成本发生了一个跳跃，上升为20000元，此时的固定成本线其实是两条不连贯的平行于横轴的直线。

变动成本线（L3）是一条有2个转折点的连线。第1个转折点发生在生产能力利用率达到30%时，因为在此之前，由于产量较低，原材料的采购和组织生产都难以取得批量效率，故单位变动成本较高。而在此之后，即产量逐渐增加以后，采购和生产都可取得批量效率，单位变动成本降低，故变动成本线的斜率也相对降低。但当生产能力利用率达到100%时，又发生1个转折点，这是因为产量超出了正常的界限以后，出现了一些不经济的因素，引起单位变动成本上升。这样，变动成本线便成为一条经由原点并与2个转折点连接的折线。

图4－8　保本点分析图

总成本线是（L1）是由L3和L4相加所成的，所以它也是一条折线。和L4相对应，总成本线也于生产能力利用率达到50%时发生一个跳跃而中断。

销售总收入线（L2）是一条经由原点至利用率达90%时发生的转折点连接而成的折线。因为产销量达到此界限以后，为了扩大销路，需要对客户给予较多的数量折扣的优惠，使平均单价有所降低，这样使得销售总收入线的斜率改变而降低。

总成本线（L1）与销售总收入线（L2）的3个交点也就是3个保本点。BEP1发生在生产能力利用率在30%～40%之间，BEP2发生在生产能力利用率在70%～80%之间，BEP3发生在生产能力利用率在110%左右。第1个临界点的出现，说明总收入已可抵偿总成本，开始有利可图。这种情况一直继续到生产能力利用率在50%，此时由于固定成本的突然上升，使生产经营暂时由盈转亏。超过第2个临界点后，企业又重新由亏转盈。直到第3个盈亏临界点为止。在第3个临界点后，由于单价降低和变动成本提高，生产经营又再次出现亏损。显然，具体了解在不同的生产水平下企业的盈亏如何交替，对于正确地进行经营决策和有效地改善生产管理，都是十分有用和必要的。

上图还表明，四条折线都可以看作是由几段直线连接起来的，这样，在相关范围内，就可以用直线方程式来描述有关变量之间的关系。所以，一般所说的保本图，实际上只是有关变量之间基本关系的简单化图形。

4.6.3　非线性的本量利分析

线性方程只是描述成本、收入与产量之间依存关系的一种简化形式，由于现实经济生活的复杂性，用非线性方程来描述本量利之间的关系，可能更符合客观实际。

1.非线性函数表达式的确定

销售收入TR与销售量x的函数关系，以及总成本TC与销售量x的函数关系，都可以用二次曲线a＋bx＋cx2表示，其方程系数可采用线性回归方法确定。下面举例说明。

【例4.29】假设某企业的成本与产量依存关系如表4－10所示。

其成本函数可用二次曲线

TC（x）＝a＋bx＋cx2

拟合。具体可运用“2.3.2混合成本的分解”这一节中的方法，求得

TC（x）＝50＋4x－0.02x2。

表4－10　成本与产量依存关系表

2.非线性的本量利分析

当销售收入线、成本线均为曲线，需分别确定其各自的函数表达式，然后建立利润的函数式，并据以进行本量利分析。

【例4.30】假设某企业产销平衡，其收入TR、成本TC与产销量x之间的关系可表示为

TR＝5.6x－0.05x2　　与　　TC＝10－0.4x＋0.7x2。

（1）计算保本点。利润P为

P＝TR－TC＝5.6x－0.05x2－10＋0.4x－0.7x2＝－0.75x2＋6x－10。令P＝0，可解得x1＝2.367（万件），x2＝5.663（万件）

这说明收入线和总成本线有2个交点（即保本点），它们分别相交于销售量为2.367万件和5.633万件处，如图4－9所示。

图4－9　收入线和总成本线

（2）计算利润最大化下的销售量、最大利润与最优平均售价。使利润P达到最大值的必要条件是

dP／dx＝0，

由此解得，x＝4（万件）。这时的最大利润为

P＝－0.75x2＋6x－10＝－0.75×16＋6×4－10＝2（万元），

销售收入为

TR＝5.6x－0.05x2＝5.6×4－0.05×42＝21.6（万元），

于是，最优平均售价为

SP＝TR／x＝21.6／4＝5.4（元）。

4.6.4　利用本量利分析编制贡献利润表

通过理解本量利关系，不仅便于执行决策、计划和控制这些管理职能，而且企业可以运用本量利关系来编制贡献利润表。以下用实例来说明，传统利润表和贡献利润表的特点，及其在编制格式上的区别。

【例4.31】假设A公司是生产手表的公司。在2004年，该公司生产了20000只手表，并以每只25美元的价格售出。每只手表的变动制造成本是14美元，全年固定制造成本总额为100000美元。假设不存在所得税，则传统利润表和贡献利润表分别编制如表4－11所示。

通过对比，可以看出，贡献利润表与传统利润表的最大区别，就是它区分了固定成本和变动成本，揭示了企业产品的本量利关系。使得任何影响企业本量利关系的因素都能在利润表中及时得到反映。

表4－11　A公司传统利润表

表4－12　A公司贡献利润表

4.7　复习思考题

4.7.1　思考题

1.什么是本量利分析？本量利分析的含义和前提条件是什么？其基本公式是什么？

2.什么是贡献毛益？什么是贡献毛益率？它们具有什么作用？

3.什么是盈亏平衡点？盈亏平衡点销售量有哪几种表现形式？分别说出他们的计算方法。

4.为什么超过盈亏平衡点的贡献毛益就是企业的利润？试说明其理由。

5.什么是安全边际？什么是安全边际率？说出他们的意义和作用。

6.什么是盈亏平衡图？它有多少种表现模式，如何利用以盈亏平衡图进行损益分析？

7.什么是加权平均贡献毛益率？他有几种变现方式，分别举例说明其计算方法。

8.企业在多品种产品产销情况下，盈亏平衡点分析的方法有哪几种？试说明如何利用这些计算方法进行盈亏平衡分析。

9.什么是本量利分析的扩展模式，如何利用本量利分析扩展模式进行目标利润的预测分析？

10.什么是敏感系数（弹性分析）分析？单价、单位变动成本、销量、固定成本这四个因素的敏感系数有什么规律？

11.何谓经营杠杆和经营杠杆系数？

12.什么是盈亏平衡点的概率分析？什么是盈亏平衡点的敏感性分析？分别说明他们是如何进行分析计算的。

4.7.2　练习题

1.某企业产销A产品，单位售价160元，单位变动成本100元，固定成本总额600000元，产销能力100000只。

求：（1）计算该产品的损益平衡点的销售量和销售额。

（2）假定单位售价降低至150元，单位变动成本减少至70元，计算新的损益平衡点的销售量和销售额。

2.某企业设计B产品，预计单位变动成本200元，固定成本总额1000000元，预计产销10000只。

求：（1）如果目标利润200000元，单位产品售价应定在多少？

（2）如果单位售价350元，目标利润600000元，在不扩大产销条件下应采取什么措施？

（3）如果售价400元，预计单位变动成本、固定成本总额不变，则需销售多少只才能获利800000元？

3.某公司预测下年度的有关资料如下：销售收入125000元，变动成本总额100000元，固定成本总额10000元。

求：（1）计算下一年度的预期利润。

（2）在下列情况下，分别计算获利水平：

1）贡献毛益增加10%；

2）贡献毛益减少10%；

3）销售量增加10%；

4）销售量减少10%；

5）变动成本增加5%；

6）变动成本减少5%；

7）固定成本总额增加8%；

8）固定成本总额减少8%；

9）销售量增加10%，售价降低10%；

10）变动成本降低5%，固定成本总额增加5%；

11）销售量增加10%，售价降低10%，变动成本降低10%，固定成本总额增加10%。

4.某企业生产C产品，销售单价7.5元，单位变动成本4元，固定成本总额与产销量之间的关系如表4－13所示。

表4－13　某企业生产C产品的有关资料

求：（1）假定下一年度预计正常销售50000件，为保证目标利润3000元，需要按5.5元售价接受特殊订货多少件？如果按5元特殊定价，应接受订货多少件？

（2）假定目前产销量60000件，下一年度期望增加到80000件，如果售价不变，销售利润率必须保证5%，试问该企业可用于扩大销售的费用有多少？

（3）假定C产品的售价不确定，只知道单位变动成本不变，固定成本总额160000元，目标利润10000元；预计下一年度售价将提高2%，产销数量不变，利润能增加5000元，试计算该产品的销售数量和销售单价。

5.某企业只生产和销售一种D产品，有关资料如表4－14所示。

表4－14　某企业生产和销售D产品的的有关资料　　单位：元

求：（1）如果销售35000件，每年的利润或亏损是多少？

（2）用数量和金额分别编制损益平衡图。

（3）如果每件产品增加佣金0.05元，能销售50000件，损益平衡点是多少？利润是多少？

（4）假定销售佣金每年为8000元固定工资，则新的保本点应是多少？这样改变是否有利？为什么？

（5）如果销售佣金改为达到损益平衡点后，每件增加0.15元，问销售50000件的利润是多少？与要求（3）比较，两种方案哪一种较优？

（6）根据要求（4），计算销售多少数量能使采用销售佣金和固定工资方案的利润相等？

（7）如果要获利6000元，计算采用佣金方案和采用固定工资方案时的销售量。

6.某企业生产E产品，过去外购每只成本0.1元，现考虑自己生产，可用半自动机器，也可用全自动机器进行加工生产。有关资料如表4－15所示。

表4－15　某企业生产E产品的的有关资料　　单位：元

求：（1）每种机器要生产E产品多少只，才能使自制与外购成本相等？

（2）如果销售300000只，哪种方案最有利？

（3）如果销售600000只，那种方案最有利？

（4）如果两种机器生产成本相等时，应销售多少只？

7.某企业生产和销售F产品和H产品，有关资料如表4－16所示。

表4－16　某企业生产和销售F产品和H产品的的有关资料　　单位：元

试分别用以下方法计算损益平衡点销售额：

（1）加权平均法；

（2）个别计算法（固定成本按工时分摊）；

（3）历史资料法（假定过去3年F和H产品实际产销量分别为1200、1900；950、2100；1100、1800；其他条件不变）。

8.某企业生产和销售A、B两种产品。单位售价分别为：A产品5元，B产品2.5元；贡献毛益率分别为：A产品40%，B产品30%，全月固定成本总额72000元。

求：（1）假设本月给产品的预计销售量分别为：A产品30000件，B产品40000件。试计算以下各项指标：①损益平衡点销售额；②A、B两产品损益平衡点销售量（用实物单位表现，固定成本按销售收入比例分配）；③用金额表示的安全边际和安全边际率；④本月的预计利润；⑤绘制损益平衡图。

（2）设每月增加广告费9700元，可使A产品月销量增加到40000件，B产品月销量将减少到32000件，计算采取该措施是否有利？请重新计算损益平衡点。

9.某企业生产和销售A、B两种产品。产品A单位售价5元，单位变动成本4元；产品B单位售价5元，单位变动成本3元；全月固定成本总额100000元。

求：（1）设产品A和产品B的销售量分别为120000件和40000件，试计算：①损益平衡点销售额；②可实现的利润；③绘制损益平衡图。

（2）假设销售总额不变，销售产品的品种构成由原来的3∶1改为1∶1，试计算：①损益平衡点的销售量；②可实现的利润；③绘制损益平衡图。

10.甲、乙两公司制造同一产品，但两公司经营方式不同。甲公司主张高度机械化，并采用固定工资形式；乙公司主张手工操作，并采用奖励工资制。甲公司付给推销员的报酬是固定工资，乙公司采用少量工资加佣金的方式。2001年两企业利润均是10000元，但2002年末，乙公司对其经营成果大吃一惊，两公司有关资料如表4－17所示。

表4－17　甲、乙两公司2001年、2002年的有关资料　　单位：元

假设销售单价和费用耗用水平不变，试解答以下问题。

（1）为什么乙公司的销售额大于甲公司，但乙公司利润却低于甲公司？

（2）如果乙公司也要获取26000元利润，应达到多少销售额？

（3）试评价两公司损益平衡点，以及2001年和2002年的产销情况。

11.某企业只产销一种产品，单位售价5元，单位变动成本3元，年固定成本总额5000元，全年销售量为随即变量，销售量的概率分布如表4－18所示。

表4－18　某企业产品销售量的概率分布　　单位：元

求：（1）在考虑概率的情况下，计算该企业销售量的期望值；

（2）在考虑概率的情况下，计算该企业的预期利润。

12.华庆公司只生产和销售一种产品，该产品单价为80元，单位变动成本为50元，固定成本总额60000元，预计正常销售量4000件。

求：（1）保本量及保本作业率；

（2）安全边际量及安全边际率。