随机误差的性质

由随机误差的定义可知，随机误差具有随机变量的一切特点，它的概率分布服从一定的统计规律。这样，可以用数理统计的方法，研究其总体的统计规律，即从大量的数据中找出随机误差的规律。

对同一量值进行多次重复测量时，得到一系列不同的测量值，常称为测量列。在同一测量条件（相同的测量装置、相同的测量环境、相同的测量方法和相同的测量人员）下，进行的多次测量称为等精度测量，否则称为不等精度测量。

下面对随机误差的研究都是在假设无系统误差和粗大误差的条件下进行的。

（1）随机误差的分布规律

设被测量的真值为μ，一系列测得值为xi，则被测量列中的随机误差δi为

当重复测量次数足够多时，随机误差的出现遵循统计规律，具有以下统计特征：

①对称性。绝对值相等的正、负误差出现的概率相等。

②单峰性。绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率要大。

③有界性。在一定的测量条件下，随机误差的绝对值不会超过一定界限。

④抵偿性。当测量次数足够多时，随机误差的代数和趋于零。

这些统计特征说明测量值的随机误差多数都服从正态分布或接近正态分布，因而正态分布在误差理论中占有十分重要的地位。下面对正态分布进行介绍。

正态分布的概率密度函数为

式中 σ——标准偏差；

δ2——方差；

e——自然对数的底。

随机误差的概率分布曲线如图2．2所示。

图2．2 随机误差的概率分布

（2）随机误差的估计

1）测量列的算术平均值

用算术平均值代替真值作为测量结果通常还是会存在误差，这个误差称为残余误差，_它可表示为

式中 xi——被测量的第i个测得值。

残余误差有两个重要的性质：

2）测量列的标准差

由于随机误差的存在，测量列中各个测得值一般围绕着该测量列的算术平均值有一定的分散，分散程度说明了测量列中单次测得值的不可靠性，必须用一个数值作为其不可靠性的评定标准，常用参数为测量列的标准差σ，也可称为均方根误差。它是测量列的精密度参数，用于对测量中的随机误差大小进行估计，反映了在一定条件下进行等精度测量所得测量值及随机误差的分散程度。

测量列中的单次测量值的标准差σ定义为

图2．3 σ值对概率分布的影响

标准差σ对随机误差分布密度的影响可由式（2．8）得出，σ越小，概率密度分布曲线越陡峭，说明测量值和随机误差的分散性小，测量的精密度高，反之，σ越大，概率密度分布曲线越平坦，说明测量值和随机误差的分散性大，测量的精密度低，如图2．3所示。图2．3中的σ1＜σ2＜σ3。

式中 xi——第i次测量值；

n——测量次数，这里为一有限值；

νi——第i次测量的残差；

3）测量列算术平均值的标准差